Espacio localmente convexo

En matemáticas , un espacio localmente convexo es un espacio vectorial topológico cuya topología se puede definir utilizando una familia de semi-normas . Es una generalización de la noción de espacio normado .

Definición

Se dice que un espacio vectorial topológico E es localmente convexo si satisface una de las siguientes dos propiedades equivalentes:

existe una familia de semi-estándares tal que la topología de E es inicial para el conjunto de aplicaciones ; $\ mathcal {P}$ ${\ Displaystyle \ {x \ mapsto p (xy) \ mid y \ in E, p \ in {\ mathcal {P}} \}}$
el vector cero tiene una base de vecindarios formados por convexos .

En este caso, la familia de semi-estándares siempre se puede elegir filtrando .

Demostración de la equivalencia de las dos definiciones

(1) ⇒ (2)
De hecho, cualquier semi-norma p en E es una función convexa y, por lo tanto, para cualquier R > 0, el conjunto de x de E que satisface p ( x ) < R es convexo .
(2) ⇒ (1)
Sea T topología E , que se supone ser comprobado (2), y T ' que, más grueso, definido por la familia de todos seminormas en E continuas de t .
Se trata de demostrar que a la inversa, T ⊂ T ' . Basta con esto para mostrar que cualquier T- vecindario V de 0 contiene un T ' -vecindario de 0.
Ahora, para tal V , por continuidad del mapa (λ, v ) ↦ λ v , existe un α> 0 real y una vecindad T- W de 0, que se puede suponer que es convexa de (2), tal que ${\ Displaystyle | \ lambda | <\ alpha}$ y ${\ Displaystyle v \ in W \; \ Rightarrow \ lambda v \ in V.}$ V entonces contiene el conjunto Ω definido por ${\ Displaystyle \ Omega = \ bigcup _ {| \ lambda | <\ alpha} \ lambda W.}$ Además, Ω está cerca de 0 (por lo tanto absorbente ), convexo y equilibrado . su calibre es, pues, un semi-estándar continua E , la bola de centro 0 y el radio 1 / 2 es por lo tanto un T ' -voisinage 0. O esta bola está incluido en Ω, así que en V .

Ejemplos de

Cualquier espacio vectorial normalizado es localmente convexo (topología definida por una única semi-norma: la norma).
La topología débil de un espacio vectorial topológico es localmente convexa. Las formas de módulo lineal continuo se utilizan como una familia de semi-normas.
En su dual topológico , las topologías fuerte y débil * también están definidas cada una por una familia de semi-normas.

Contraejemplos

Para $0 < p <1$ , los espacios métricos de las secuencias $ℓ py$ los espacios métricos de las funciones $L p$ no son espacios localmente convexos.

Criterio de separación

Teorema - Para que un espacio localmente convexo definido por una familia de semi-normas esté separado , es necesario y suficiente que para cualquier vector distinto de cero exista una semi-norma tal que . $mi$ ${\ Displaystyle (p_ {i}) _ {i \ in I}}$ ${\ Displaystyle v \ in E}$ $Pi}$ ${\ Displaystyle p_ {i} (v) \ neq 0}$

De hecho, un espacio vectorial topológico se separa si y solo si la intersección de las vecindades de 0 se reduce al singleton {0}, en otras palabras, si y solo si para cualquier vector v distinto de cero, existe una vecindad de 0 no que contiene v .

Continuidad de una función

Sean dos espacios localmente convexos, cuyas topologías están definidas respectivamente por familias de semi-normas (supuestamente filtrado) y (cualquiera), y f una aplicación del primer espacio en el segundo. La siguiente proposición resulta de las definiciones. ${\ Displaystyle (E, {\ mathcal {P}}), (F, {\ mathcal {Q}})}$ ${\ mathcal {P}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {Q}}}$

Propuesta -

f es continua en un punto v de E si y solo si

${\ Displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ existe p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ existe \ alpha> 0 \ quad \ forall w \ in E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}$ .

f es uniformemente continua sobre E si y solo si

${\ Displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ forall \ epsilon> 0 \ quad \ existe p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ existe \ alpha> 0 \ quad \ forall v \ in E \ quad \ forall w \ in E \ quad p (wv) <\ alpha \ quad \ Rightarrow \ quad q (f (w) -f (v)) <\ epsilon \}$ .

Por ejemplo (tomando y ), todas las semi-normas pertenecientes a son uniformemente continuas en E (porque 1- Lipschitzian ). Una semi-norma q sobre E es de hecho uniformemente continua si y solo si es continua en 0, lo que equivale a la existencia de una semi-norma p ∈ y una constante C > 0 tal que q ≤ Cp . Deducimos un análogo para aplicaciones lineales: ${\ Displaystyle F = \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {Q}} = (| \ |)}$ ${\ mathcal {P}}$ ${\ mathcal {P}}$

Motion - A lineal de mapeo es uniformemente continua si y sólo si es continua en 0, lo que resulta en: . ${\ Displaystyle T: E \ a F}$
${\ Displaystyle \ forall q \ in {\ mathcal {Q}} \ quad \ existe p \ in {\ mathcal {P}} \ quad \ existe C> 0 \ quad \ forall v \ in E \ quad q (T ( v)) \ leq C \ p (v) \}$

Metrisabilidad

Teorema - Sea E un espacio localmente convexo separado , cuya topología está definida por una familia de semi-normas. Las siguientes condiciones son equivalentes: ${\ mathcal {P}}$

E es metrizable .
Cada punto de E tiene una base contable de vecindarios.
La topología de E puede definirse mediante una subfamilia contable de semi-normas. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} \ subconjunto {\ mathcal {P}}}$
La topología de E puede definirse mediante una familia de filtrado contable de semi-normas.
La topología de E se puede definir mediante una distancia invariante por traslación.

Demostración

La equivalencia entre 1, 2 y 5 es un caso especial del teorema de Birkhoff-Kakutani sobre grupos topológicos . Demostremos que 3 y 4 también son equivalentes a 2.

2 ⇒ 3: es decir una base de vecindarios de 0. Cada uno contiene una bola de la forma , donde y para una determinada parte finita . La topología definida por la subfamilia contable es obviamente menos fina que la de E , pero también más fina por construcción. ${\ Displaystyle (V_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ $V_ {n}$ ${\ Displaystyle B_ {q_ {n}} (0, r_ {n})}$ ${\ Displaystyle r_ {n}> 0}$ ${\ Displaystyle q_ {n} = \ max _ {p \ in {\ mathcal {D}} _ {n}} p}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} _ {n} \ subconjunto {\ mathcal {P}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} = \ cup _ {n \ in \ mathbb {N}} D_ {n}}$
3 ⇒ 4: es una serie de semi-normas que definen la topología de E . Al plantear , obtenemos una secuencia de filtrado de semi-normas que definen la misma topología. ${\ Displaystyle (p_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle q_ {n} = \ max _ {k \ leq n} p_ {k}}$
4 ⇒ 2: sea una secuencia de filtrado de semi-normas que definen la topología de E , entonces cada punto $x$ tiene una base contable de vecindarios, de la forma . ${\ Displaystyle (q_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$ ${\ Displaystyle V (x, n) = \ {y \ in E \ mid q_ {n} (yx) <2 ^ {- n} \}}$

Los análogos para p <1 de los espacios L p con p ≥ 1 son metrizables por una distancia invariante, pero no son localmente convexos.

Para cualquier espacio abierto no vacío, el espacio de funciones C ∞ con soporte compacto de in está naturalmente provisto de una estructura localmente convexa que no se puede medir. ${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ mathcal D} (\ Omega)$ $\Omega$ $\ mathbb {R}$

Tenga en cuenta que cualquier espacio vectorial topológico normal es localmente convexo y metrizable. Sin embargo, lo contrario no es cierto: por ejemplo, el espacio de Schwartz es Fréchet , en particular localmente convexo y metrizable, pero nuclear y de dimensión infinita, por lo tanto no normable. Otro ejemplo de un espacio metrizable pero no normable localmente convexa es R N .

Criterio de normalidad de Kolmogorov (1934) -

Un espacio localmente convexo es semi-normal si y solo si está limitado localmente, es decir, si 0 tiene una vecindad limitada .
Por lo tanto, un espacio vectorial topológico es normable si y solo si está separado, localmente convexo y localmente limitado.

Espacio Fréchet

Un espacio de Fréchet es un espacio localmente convexo que es metrizable y completo en el sentido de espacios uniformes , o más simplemente: un espacio localmente convexo que es completamente metrizable (es decir, cuya topología es inducida por una distancia completa).

Notas y referencias

Para una demostración de que no utiliza el teorema de Birkhoff-Kakutani , consulte, por ejemplo, Claude Wagschal , Topología y análisis funcional , Hermann, coll. " Métodos ",1995.
(en) Eric Schechter (es) , Manual de análisis y sus fundaciones , Academic Press ,1997( leer en línea ) , pág. 724.