Hipercubo

Un hipercubo es, en geometría , un análogo n- dimensional de un cuadrado ( n = 2) y un cubo ( n = 3). Es una figura cerrada , compacta , convexa formada por grupos de segmentos paralelos opuestos alineados en cada una de las dimensiones del espacio, en ángulo recto entre sí.

Un hipercubo n- dimensional también se llama n -cube . El término “politopo de medición” también se ha utilizado (especialmente por Coxeter ), pero ha caído en desuso. Finalmente, el caso particular del cubo de 4 a menudo se designa con el término tesseract .

Definición

Si E es un espacio euclidiano de dimensión n provisto de una base ortonormal , definimos un hipercubo unitario como el hipervolumen delimitado por los 2 n puntos en E que tienen coordenadas iguales a 0 o 1 conectados por segmentos de línea. Los hipercubos son las figuras obtenidas de la unidad hipercubo por similitudes .

Representar un hipercubo de dimensión n

Para representar un hipercubo de dimensión n , procedemos de la siguiente manera:

dimensión 1: un punto es un hipercubo de dimensión cero. Si movemos este punto en una unidad de longitud, barrerá un segmento de línea, que es un hipercubo unitario de dimensión 1

dimensión 2: si movemos este segmento en una unidad de longitud en una dirección perpendicular a sí mismo; barre un cuadrado bidimensional.

dimensión 3: si movemos el cuadrado una unidad de longitud en la dirección perpendicular a su ubicación, generará un cubo tridimensional.

dimensión 4: si movemos el cubo en una unidad de longitud en la cuarta dimensión, se generará un hipercubo unitario de cuatro dimensiones (un tesseract unitario).

(Dimensión n > 3: dibujamos un hipercubo de dimensión n - 1, reproducimos su imagen y enlazamos los puntos de dos en dos).

En resumen, la construcción de un hipercubo se realiza mediante la traslación del cubo de menor dimensión a lo largo de un eje perpendicular a las dimensiones de este cubo.

Hipercubos son una de las tres familias de politopos regulares que están representados en cualquier número de dimensiones (los otros dos son simplexes y hyperoctahedra ). El politopo dual de un hipercubo es un hiperoctaedro . El 1- esqueleto de un hipercubo es un gráfico de hipercubo .

Una generalización del cubo a dimensiones n mayores que 3 se denomina hipercubo n- dimensional o n -cube. El tesseract es el hipercubo de cuatro dimensiones o de 4 cubos. Es un politopo regular . También es un caso especial de un paraleloótopo : un hipercubo es un paraleloótopo recto cuyos bordes tienen la misma longitud.

4 dimensiones

El cubo de 4 también se llama tesseract, en honor a Charles Howard Hinton .

De la fórmula de Sommerville (en) ( ver infra ), el tesseract se compone de:

16 vértices;
32 aristas;
24 caras planas cuadradas;
8 caras cúbicas tridimensionales (cubos).

Para un cubo de 4 de lado c, tenemos las siguientes medidas:

“Volumen” (tetradimensional): c 4 ;
“Superficie externa” (tridimensional): 8c 3 ;
“Área total” (bidimensional): 24c 2 .

Las caras de un cubo de 4 son:

antes detrás;
izquierda derecha ;
alto bajo ;
ana / kata.

n dimensiones

Para un n -cube del lado c :

el volumen es c n . Si lo cortamos en n rebanadas por hiperplanos perpendiculares a la diagonal, los volúmenes de las rebanadas son los números de Euler;
el área total es F n c 2 con F n el número de 2 caras ( ver más abajo );
el politopo dual es el politopo cruzado en n dimensiones (también llamado n- politopo cruzado).

Elementos

Al señalar N n, k el número de k -cubos en el borde de un n -cubo (que es cero si k <0 o k> ny que es igual a 1 si k = n = 0), tenemos:

{\ Displaystyle N_ {n, k} = 2N_ {n-1, k} + N_ {n-1, k-1}}

En consecuencia,

{\ Displaystyle \ sum _ {k = 0} ^ {n} N_ {n, k} X ^ {k} = \ left (2 + X \ right) ^ {n}}

Entonces

{\ Displaystyle N_ {n, k} = 2 ^ {nk} {\ binom {n} {k}}}

Por ejemplo, en un n -cube:

el número N n , 2 = F n de 2 caras es n ( n - 1) 2 n –3 ;
el número N n , n –1 de "lados" es 2 n (un segmento unidimensional tiene dos puntos finales; un cuadrado bidimensional tiene cuatro aristas; un cubo tridimensional tiene 6 caras bidimensionales; un hipercubo 4 -dimensional (tesseract) tiene 8 celdas).

Elementos de hipercubo

Nombres	Símbolo de Schläfli Coxeter-Dynkin	Vértices (0 caras)	Bordes (1 caras)	Caras (2 caras)	Celdas (3 lados)	(4 caras)	(5 caras)
n -cube		$2 n$	$n 2 n -1$	$n ( n - 1) 2 n -3$	$n ( n - 1) ( n - 2) / 3 2 n -4$	$norte ( norte - 1) ( norte - 2) ( norte - 3) / 3 2 n -7$	etc.
Punto 0-cube		1
Segmento de 1 cubo	{} o {2}	2	1
Tetragone cuadrado de 2 cubos	{4}	4	4	1
3-cubo Cubo Hexahedron	{4.3}	8	12	6	1
Tesseract Octachore de 4 cubos	{4.3.3}	dieciséis	32	24	8	1
Penteract de 5 cubos	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1

Vecindario en una cuadrícula de hipercubo

La fórmula anterior responde a la pregunta: en una cuadrícula regular de hipercubos, ¿cuántos vecinos tiene un hipercubo? Hay un vecino para cada elemento del límite, es decir, usando la fórmula binomial : $v_ {n}$

{\ Displaystyle v_ {n} = \ sum _ {k = 0} ^ {n-1} 2 ^ {nk} {\ binom {n} {k}} = 3 ^ {n} -1}

Podemos comprobar, por ejemplo, que cada cuadrado de un mosaico tiene 3 2 - 1 = 8 vecinos, o que cada cubo de una pila regular de cubos tiene 3 3 - 1 = 26 vecinos.

Rotación de un n -cube

La definición de rotaciones en cualquier espacio euclidiano pasa por el álgebra lineal , y sus propiedades no se deducen fácilmente de las de las rotaciones en la dimensión 3. Sin embargo, se muestra que, al igual que es posible rotar un cubo alrededor de uno de sus 12 aristas (o cualquier eje), podemos rotar un tesseract alrededor de una de sus 24 caras cuadradas (o cualquier superficie) y un hipercubo de 5 dimensiones puede rotar alrededor de uno de sus 40 cubos enteros, etc.

Representaciones literarias y artísticas

En The Quirky House , un cuento de ciencia ficción de Robert Heinlein , un arquitecto construye una casa cuyo plano es un patrón hipercubo; después de un terremoto, la casa se pliega para convertirse en un verdadero hipercubo.
En la película de ciencia ficción Cube 2 , los héroes están encerrados en un tesseract, o al menos evolucionan moviéndose de cubo en cubo entre las caras del hipercubo. De un cubo a otro, la orientación de la gravedad puede variar (en cualquier caso los personajes lo sienten cuando pasan de un cubo a otro) el tiempo puede expandirse o contraerse, y los personajes se encuentran duplicados de sí mismos debido a la superposición de futuros posibles. Pero la conexión entre estas propiedades y el hecho de que la historia tiene lugar en un tesseract no es explícita y quizás incluso innecesaria, ya que la cuarta dimensión está más cubierta que el hipercubo en cuestión.
En arquitectura, el Arche de la Défense cerca de París en Francia , es una proyección tridimensional de un hipercubo de cuatro dimensiones.
El cuadro Corpus hypercubus ( Salvador Dalí , 1954 ) describe a Jesús crucificado sobre el patrón de un hipercubo.
La novela Factoring Humanity ( Robert J. Sawyer , 1998 ), que trata sobre el tema de la comunicación con una civilización extraterrestre, describe la hipótesis según la cual los mensajes extraterrestres aparecen en forma de hipercubo.
En el juego FEZ , el personaje DOT (que acompaña al héroe) es la proyección 3D de un hipercubo.
En la serie británica Doctor Who , temporada 6, episodio 4, el Doctor recibe un tesseract de un Señor del Tiempo en apuros. En la serie, el tesseract actúa como un correo electrónico de audio / video y también como una baliza de localización geoespacial-temporal.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Hypercube " ( ver la lista de autores ) .

Coxeter 1973 , p. 122 en Google Libros .
(en) DMY Sommerville, Introducción a la geometría de n dimensiones , Londres, Methuen ,1929( leer en línea ) , pág. 29.
(in) The Tesseract y (in) 4D Visualization explican e ilustran con animaciones las rotaciones en cuatro dimensiones.

Ver también

Artículo relacionado

Hipercubo mágico

enlaces externos

(es) Ver en cuatro dimensiones : cómo ver un hipercubo, por Ken Perlin .
( fr ) Hypercube , de Milosz: proyección de un hipercubo con o sin perspectiva, rotación del ratón alrededor de los 4 ejes.
(es) 4dimensions : explicación de la noción de espacio tetradimensional por el hipercubo. Creado por Florian Mounier.

Bibliografía

(es) HSM Coxeter , Politopos regulares , Dover ,1973, 3 e ed. ( 1 st ed. 1943), 321 p. ( ISBN 978-0-486-61480-9 , leer en línea ) , pág. 295, Tabla I (iii): Politopos regulares, tres politopos regulares en n-dimensiones (n ≥ 5) .
(en) Jonathan Bowen , “ Hypercubes ” , Practical Computing (en) , vol. 5, n o 4,mil novecientos ochenta y dos, p. 97-99 ( leer en línea )