Polinomio recíproco

En matemáticas , el polinomio recíproco de un polinomio con coeficientes complejos

{\ Displaystyle P (X) = a_ {0} + a_ {1} X + a_ {2} X ^ {2} + \ ldots + a_ {n} X ^ {n}}

es el polinomio P * definido por:

{\ Displaystyle P ^ {*} (X) = {\ overline {a}} _ {n} + {\ overline {a}} _ {n-1} X + \ ldots + {\ overline {a}} _ {0} X ^ {n} ~,}

donde denota el conjugado de . Para cualquier número complejo z distinto de cero, tenemos: ${\ Displaystyle {\ overline {a}}}$ $a$

{\ Displaystyle P ^ {*} (z) = z ^ {n} {\ overline {P ({\ bar {z}} ^ {- 1})}} ~.}

Se dice que un polinomio es recíproco cuando es igual a su polinomio recíproco.

Si los coeficientes a i son reales , esta definición es equivalente a a i = a n - i . En este caso, P también se denomina polinomio palindrómico (en) .

El polinomio mínimo sobre $\ mathbb {Q}$ un número algebraico de módulo 1 es igual o opuesto a su polinomio recíproco.

Demostración

Sea un número algebraico de módulo 1 y $\beta$

{\ Displaystyle P (X) = a_ {0} + a_ {1} X + \ ldots + a_ {n-1} X ^ {n-1} + X ^ {n}}

su polinomio mínimo en . Su polinomio recíproco, ${} ^ {\ mathbb {Q}}$

{\ Displaystyle P ^ {*} (X) = 1 + a_ {n-1} X + \ ldots + a_ {1} X ^ {n-1} + a_ {0} X ^ {n},}

admite para root desde $\beta$

{\ Displaystyle P ^ {*} (\ beta) = \ beta ^ {n} P (1 / \ beta) = \ beta ^ {n} P ({\ overline {\ beta}}) = \ beta ^ {n } {\ overline {P (\ beta)}} = \ beta ^ {n} .0 = 0.}

Por lo tanto, existe un racional tal que . En esta igualdad, el coeficiente dominante y el término constante son: y . Deducimos que $\ lambda$ ${\ Displaystyle P ^ {*} = \ lambda P}$ ${\ Displaystyle a_ {0} = \ lambda}$ ${\ Displaystyle 1 = \ lambda a_ {0}}$

{\ Displaystyle P ^ {*} = a_ {0} P \ quad {\ text {y}} \ quad a_ {0} = \ pm 1.}

Una consecuencia es que los polinomios ciclotómicos Φ n son palindrómicos para n > 1; esto se usa en el tamiz de campo numérico particular para factorizar números de la forma x 11 ± 1, x 13 ± 1, x 15 ± 1 yx 21 ± 1 aprovechando los factores polinomiales de los respectivos grados 5, 6, 4 y 6 - tenga en cuenta que la indicatriz de Euler de los exponentes vale 10, 12, 8 y 12.

Crédito de autor

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Polinomio recíproco " ( ver la lista de autores ) .

Referencias

Émile Durand (1961) Soluciones numéricas de ecuaciones algebraicas I, Masson et Cie: XV - polinomios cuyos coeficientes son simétricos o antisimétricos, p. 140-141.