Acción por conjugación
En matemáticas , y más precisamente en teoría de grupos , una acción por conjugación es un caso especial de acción grupal . El conjunto sobre el que actúa el grupo G es aquí el propio G.
Definiciones
Note aquí, para cualquier elemento g de G ,
el automorfismo interior de G asociado con g ( es un automorfismo de G ). Entonces, el mapa g ↦ aut g , de G a S G , es un morfismo de grupo .
De hecho, aut g ∘ aut h = aut gh .
La acción de grupo asociada, definida por
se llama la acción por conjugación de G sobre sí mismo.
Para todo x que pertenece a G , la órbita de x bajo esta acción se llama clase de conjugación de x y se denota por C x :
Sus elementos se denominan conjugados de x .
Aplicaciones
- Las clases de conjugación se utilizan para demostrar el teorema de Wedderburn de que todo campo finito es conmutativo .
- En el marco de la teoría de las representaciones de un grupo finito , las clases de conjugación están en la base de la definición de las funciones centrales de un grupo finito , se utilizan para definir el espacio vectorial , los caracteres de las representaciones . En el mismo contexto, los encontramos para el análisis del centro de un álgebra de un grupo .
- Los automorfismos internos se utilizan para la demostración de los teoremas de Sylow , el teorema de Frattini y en muchas demostraciones relativas a grupos.
- La diagonalización de matrices consiste en encontrar una buena acción por conjugación igual a una matriz dada.
- La conjugación de un cuaternión puramente imaginario por un cuaternión unitario es equivalente a la rotación de un vector espacial tridimensional. La conjugación de un cuaternión puramente imaginario por cualquier cuaternión es equivalente a una semejanza .
Ejemplos de
- Las clases de conjugación de un grupo simétrico se componen de productos de anillos soportados disjuntos de la misma estructura. Esto significa que el número de ciclos de la misma duración es el mismo para cada elemento de una clase de conjugación.
- Las clases de conjugación de un grupo alterno y un grupo simple de orden 168 se estudian en el artículo asociado.
Propiedades
- Cuando G es conmutativa, la acción por conjugación es identidad.
- Las clases de conjugación constituyen una partición de G asociada con la relación de equivalencia:
- Un elemento g de G fija un elemento particular x si y solo si g es un elemento del centralizador Z x de x :.La fórmula de la clase muestra que, si C x denota la clase de conjugación de x :en particular, el cardinal cualquier divide conjugación clase Cardinal G .
- Un elemento g de G fija por lo tanto cualquier elemento de G si y sólo si g pertenece al centro Z ( G ) de G . De manera más general, iff g = g ' mod Z ( G ). En consecuencia, la acción de G (sobre G ) induce una acción (sobre G ) del grupo cociente G / Z ( G ).
- La órbita C x se reduce a { x } si y sólo si x pertenece al centro de G . Al elegir un representante x i por clase de conjugación disjunta del centro, la fórmula anterior da la ecuación a las clases :
