Extensión ciclotómica

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En la teoría algebraica de números , llamamos extensión ciclotómica del campo ℚ de números racionales a cualquier campo de ruptura de un polinomio ciclotómico , es decir, cualquier campo de la forma ℚ (ζ) donde ζ es una raíz de la unidad .

Estos campos juegan un papel crucial, por un lado, en la comprensión de ciertas ecuaciones diofánticas : por ejemplo, la aritmética ( grupo de clases , en particular) de su anillo de enteros permite mostrar el último teorema de Fermat en muchos casos (ver número primo regular ); pero también, en la comprensión de las extensiones algebraicas de ℚ, que puede considerarse como una versión abstracta del problema anterior: el teorema de Kronecker-Weber , por ejemplo, asegura que cualquier extensión abeliana esté contenida en una extensión ciclotómica. Finalmente, la teoría de Iwasawa permite estudiar estas extensiones ciclotómicas, ya no considerándolas por separado, sino como familias coherentes.

Las extensiones ciclotómicas también se pueden definir para otros cuerpos:

para campos finitos , la teoría es esencialmente completa;
para campos locales de característica 0, se entiende mejor que para el caso global;
para los órganos de funciones ...

Primeras propiedades

Sea n el orden de ζ, es decir que ζ es una enésima raíz primitiva de la unidad, o incluso una raíz del polinomio ciclotómico Φ n .

Si n divide m , el n -ésimo campo ciclotómico ℚ (ζ) es un subcampo del m -ésimo.
La extensión ℚ (ζ) / ℚ es de grado φ ( n ), donde φ denota la función del indicador de Euler .
La extensión ciclotómica es también el campo de descomposición del polinomio Φ n . Por tanto, ella es Galois .
Esto significa que el campo más pequeño que contiene una raíz del polinomio también contiene todas las raíces del polinomio. Decir que este campo es una extensión de Galois significa dos cosas: por un lado, los polinomios mínimos de este campo no tienen raíces múltiples (lo que siempre es cierto para las extensiones de números racionales); y por otro lado, todos los morfismos de este cuerpo en números complejos tienen como imagen el cuerpo mismo. Por tanto, son automorfismos .
Esta extensión es abeliana . De hecho, su grupo de Galois (el grupo de sus automorfismos) es abeliano , porque isomorfo a (ℤ / n ℤ) × .

Demostraciones

La extensión ciclotómica es también el cuerpo de descomposición del polinomio. Por tanto, ella es Galois.

La extensión contiene ζ y, por tanto, todas sus potencias, pero las potencias de the forman el conjunto de raíces n - ésimas de la unidad y, por tanto, en particular las raíces primitivas que son las raíces del polinomio ciclotómico. Esto prueba que ℚ (ζ) es el campo de descomposición. En un campo perfecto como el de los números racionales (un campo perfecto es un campo donde todos los polinomios irreducibles son separables, es decir, no tienen raíces múltiples en el cierre algebraico ), un campo de descomposición es siempre una extensión de Galois.

La extensión ciclotómica es abeliana.

Sea d un número entero menor que ny primo en n . Entonces ζ d es una raíz del polinomio ciclotómico, por lo que existe un ℚ-automorfismo m d (obviamente único) del campo de descomposición ℚ (ζ) que envía ζ en ζ d . Consideremos entonces la aplicación del grupo multiplicativo de los elementos invertibles de ℤ / n ℤ en el grupo de Galois que, a la clase de d, asocia el automorfismo m d . Este mapa es claramente un isomorfismo de grupos. Este isomorfismo muestra que el grupo de Galois es abeliano, lo que pone fin a la prueba.

Según el teorema de Gauss-Wantzel , esta extensión se descompone en una torre de extensiones cuadráticas si y solo si n tiene la forma: $n = 2 ^ {k} \ prod _ {i} F_ {i},$ donde F i son primos de Fermat distintos (se dice que un número primo es Fermat si tiene la forma 2 (2 k ) + 1 para algún entero k ).
Sin embargo, un punto es construible si y solo si la extensión asociada verifica esta propiedad. Por lo tanto, este teorema proporciona en teoría la lista de enteros n para los cuales el polígono regular con n vértices es construible, y hace posible, para valores “pequeños” de n , determinar si n pertenece o no a esta lista. (Los números primos conocidos de Fermat son 3, 5, 17, 257 y 65.537).
El anillo de números enteros del campo ℚ (ζ) es el anillo ℤ [ζ]
Un número primo p se ramifica en ℚ (ζ n ) si y solo si divide n , excepto en el caso p = 2 = (4, n ); un número primo p ≠ 2 se descompone completamente en ℚ (ζ n ) si y solo si p ≡ 1 mod n .
El discriminante del campo ℚ (ζ) (o del polinomio Φ n ) es: donde φ es la indicatriz de Euler . $(-1) ^ {{\ varphi (n) / 2}} {\ frac {n ^ {{\ varphi (n)}}} {\ prod _ {{p {\ text {first}} \ atop {\ texto {división}} n}} p ^ {{\ varphi (n) / (p-1)}}}}$
El campo ℚ (ζ) tiene multiplicación compleja : es un campo totalmente imaginario, extensión cuadrática del campo totalmente real ℚ (ζ + ζ −1 ).
Cuando n = p primero impar, el campo ℚ (ζ) contiene el campo cuadrático ℚ ( $\sqrt (-1) ( p -1) / 2 p$ ). Por ejemplo, para p = 5, ℚ (ζ) contiene ℚ ( √ 5 ) y para p = 3, ℚ (ζ) contiene ℚ ( $\sqrt -3$ ).
Los campos cuadráticos ℚ ( √ 2 ) y ℚ ( $\sqrt -2$ ) están contenidos en ℚ (ζ) para n = 8.

Algunas preguntas aritméticas

Consideramos el campo ℚ (ζ p ), para p un número primo. Entonces, podemos mostrar que la ecuación x p + y p = z p no admite un no trivial número entero solución ( x , y , z ) con xyz privilegiada para p , bajo el supuesto de que p no divide el número de clases de ℚ (ζ p ). Este número primo se llama número primo regular . Este es a menudo llamado el primer caso del último teorema de Fermat y ha sido estudiado por Ernst Kummer . Kummer tiene en particular un criterio relativo a los números de Bernoulli para determinar si un número primo es regular. Actualmente se sabe que una infinidad de números primos no son regulares: por otro lado, no sabemos si hay una infinidad de regulares.

Más precisamente, uno puede preguntarse para qué valores de n el anillo ℤ [ζ n ] es principal , es decir que el número de clases es 1. Esto se conoce: los únicos números n tales que ℤ [ζ n ] es principal (o lo que es equivalente aquí : factorial ), son: 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25 , 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84, así como los dobles de los n impares de esta lista desde entonces, ℚ (ζ 2 n ) = ℚ (ζ n ).

Acción de conjugación compleja

El hecho de que el campo sea CM permite hacer que Gal (ℚ (ζ p ) / ℚ (ζ p + ζ p −1 )) ≃ ℤ / 2ℤ actúe sobre los diferentes objetos aritméticos vinculados a ℚ (ζ p ). En particular, esto permite (ver representación de grupos ) definir dos partes en el número de clases: la parte + y la parte -. La suposición de Vandiver dice entonces: "Para cualquier primo p , p no divide la parte + el número de clases". En particular, un número primo regular satisface la conjetura de Vandiver. Bajo este supuesto, y un supuesto adicional sobre las unidades del subcampo real ℚ (ζ p + ζ p −1 ), podemos mostrar el segundo caso del teorema de Fermat: x p + y p = z p no admite no- soluciones enteras triviales tales que p no divide xy y p divide z .

La conjetura de Vandiver sigue siendo una conjetura en este momento . Se ha verificado numéricamente para p <2 27 = 134 217 728.

Extensiones ciclotómicas infinitas

Para cada campo numérico y cada número primo p , se puede considerar una torre infinita de extensión: la extensión ℤ p -ciclotómica. Si es impar, la ℤ p -extensión ciclotómica de ℚ es la torre de extensiones definida a través de la correspondencia de Galois como la subextensión fijada por el subgrupo isomorfo a ℤ / ( p –1) ℤ de Gal (ℚ (ζ p n ) / ℚ) ≃ ℤ / ( p –1) ℤ × ℤ / p n –1 ℤ. Por tanto, el campo es una extensión de Galois de ℚ, e incluso cíclica de orden p n ; por definición del límite proyectivo , la unión de es Galois en ℚ del grupo de Galois ℤ p , de ahí el nombre. $pag$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$ ${\ mathbb {B}} _ {n}$

La extensión ℤ p -ciclotómica de cualquier campo numérico se obtiene por compositum con él.

Notas y referencias

(en) Jürgen Neukirch , Teoría algebraica de números [ ediciones minoristas ], cuerno. 10.4, pág. 63 .
(en) Lawrence C. Washington (de) , Introducción a los campos ciclotómicos [ ediciones minoristas ], cap. 11 .
(en) David Harvey, " Verificación a gran escala de la conjetura de Vandiver " ,diciembre de 2008( Seminario de Teoría de Números del MIT ).

Ver también

Artículo relacionado

Teorema de stickelberger

Enlace externo

André Weil , “ El pasado y el pasado de la ciclotomía ”, Séminaire Bourbaki , vol. 16, n o 452, 1973-1974 ( leer en línea )