La lógica , la griega λογική / logiké , es un término derivado de λόγος / lógos - lo que significa tanto " razón ", " lengua " y " razonamiento " - es, en una primera aproximación, el estudio de las reglas formales que debe cumplir cualquier correcta argumento . El término habría sido utilizado por primera vez por Jenócrates .
La lógica antigua se descompone primero en dialéctica y retórica .
Desde la Antigüedad, ha sido una de las grandes disciplinas de la filosofía , junto con la ética ( filosofía moral ) y la física ( ciencia de la naturaleza ).
En la Edad Media , no se incluyó explícitamente entre las siete artes liberales :
El trabajo de George Boole , Jevons permitió desde el XIX e siglo el desarrollo de un deslumbrante matemática enfoque de la lógica. Su convergencia funcionar con el equipo desde el final de la XX XX siglo le dio una renovada vitalidad.
Es a partir del XX ° siglo muchas aplicaciones en la ingeniería , en el lenguaje , en la psicología cognitiva , en la filosofía analítica o de comunicación .
La lógica es el estudio de la inferencia .
La lógica es en el origen la búsqueda de reglas generales y formales que permitan distinguir un razonamiento concluyente de otro que no lo es. Encuentra sus primeros tanteos en las matemáticas y especialmente en la geometría, pero es principalmente bajo el ímpetu de los megáricos y luego de Aristóteles que despega.
La lógica se utilizó muy temprano contra sí misma, es decir, contra las condiciones mismas del discurso: el sofista Gorgias la usa en su Tratado sobre el no ser para demostrar que no hay ninguna ontología posible: "no es el ser que es el objeto de nuestros pensamientos " : la verdad material de la lógica se arruina así. El lenguaje adquiere así su propia ley, la de la lógica, independiente de la realidad. Pero los sofistas fueron excluidos de la historia de la filosofía (el sofista tomó un significado peyorativo), de modo que la lógica, en la comprensión que teníamos de ella, por ejemplo, en la Edad Media , quedó sujeta al pensamiento del ser .
En el XVII ° siglo , el filósofo Gottfried Wilhelm Leibniz lleva a cabo la investigación fundamental en la lógica de que revolucionar la lógica aristotélica profundamente. Constantemente exige de la tradición de silogismos de Aristóteles e intenta integrar su propio sistema. Es el primero en imaginar y desarrollar una lógica formal .
Immanuel Kant , por su parte, define la lógica como "una ciencia que detalla y demuestra rigurosamente las reglas formales de todo pensamiento" . Las seis obras de Aristóteles agrupadas bajo el título de Organon , incluidas las Categorías y el estudio del silogismo , fueron consideradas durante mucho tiempo la referencia sobre este tema.
En 1847 se publicó el libro de George Boole , titulado Análisis matemático de la lógica , luego Una investigación sobre las leyes del pensamiento, en el que se basan las teorías matemáticas de la lógica y las probabilidades . Boole desarrolla allí una nueva forma de lógica, tanto simbólica como matemática. Su objetivo es traducir ideas y conceptos en expresiones y ecuaciones , aplicarles ciertos cálculos y traducir el resultado en términos lógicos, marcando así el inicio de la lógica moderna, basada en un enfoque algebraico y semántico , que más tarde llamaremos álgebra de Boole. en su honor.
En general, hay cuatro enfoques de la lógica:
El Organon es la principal lógica de trabajo de Aristóteles , incluyendo en particular el Prior Analytics ; constituye el primer trabajo explícito de lógica formal , en particular con la introducción de la silogística .
Las obras de Aristóteles se consideran en Europa y Oriente Medio en la época medieval clásica como la imagen misma de un sistema plenamente desarrollado . Sin embargo, Aristóteles no fue el único ni el primero: los estoicos propusieron un sistema de lógica proposicional que fue estudiado por los lógicos medievales. Además, el problema de la generalidad múltiple se reconoció en la época medieval .
El cálculo de proposiciones es un sistema formal en el que las fórmulas representan proposiciones que pueden formarse combinando proposiciones atómicas y usando conectores lógicos , y en el que un sistema de reglas formales de prueba establece ciertos " teoremas ".
Un cálculo de predicados es un sistema formal , que puede ser la lógica de primer orden , o la lógica de segundo orden o la lógica de orden superior , es la lógica infinitaria . Expresa por cuantificación una gran muestra de proposiciones del lenguaje natural . Por ejemplo, la paradoja del barbero de Bertrand Russell , "hay un hombre que afeita a todos los hombres que no se afeitan" se puede formalizar mediante la fórmula : usar el predicado para indicar que es un hombre, la relación binaria para indicar que está afeitado por y otros símbolos para expresar cuantificación , conjunción , implicación , negación y equivalencia .
En lenguaje natural , una modalidad es una inflexión o una adición para modificar la semántica de una proposición .
Por ejemplo, el enunciado "Vamos a los juegos" puede modificarse para que diga "Deberíamos ir a los juegos", "Podemos ir a los juegos" o "Vamos a ir a los juegos" o "Tenemos que ir a los juegos ”.
De manera más abstracta, la modalidad afecta el marco dentro del cual se satisface una afirmación.
En lógica formal , una lógica modal es una lógica ampliada por la adición de operadores , que se aplican a las proposiciones para modificar su significado.
La lógica filosófica se ocupa de las descripciones formales del lenguaje natural . Estos filósofos consideran que la esencia del razonamiento cotidiano se puede transcribir a la lógica, si uno o más métodos logran (logran) traducir el lenguaje ordinario a esta lógica. La lógica filosófica es esencialmente una extensión de la lógica tradicional que es anterior a la lógica matemática y se ocupa de la conexión entre el lenguaje natural y la lógica.
Por lo tanto, los lógicos filosóficos han contribuido en gran medida a la lógica del desarrollo no estándar (por ejemplo, la lógica libre , la lógica temporal ) y las diversas extensiones lógicas (por ejemplo, lógica modal ) y semántica de estas lógicas (por ejemplo, supervaluacionismo (en) de Kripke en la semántica de la lógica).
Un lenguaje lógico se define por una sintaxis , es decir un sistema de símbolos y reglas para combinarlos en forma de fórmulas . Además, se asocia una semántica con el lenguaje. Permite interpretarlo, es decir, dar un significado tanto a estas fórmulas como a los símbolos. Un sistema de deducción permite razonar construyendo demostraciones.
La lógica incluye convencionalmente:
A lo que se suma:
La sintaxis de la lógica de las proposiciones se basa en variables proposicionales también llamadas átomos que denotamos con letras minúsculas (p, q, r, s, etc.) Estos símbolos representan proposiciones sobre las cuales no emitimos juicios vis - con respecto a su verdad: pueden ser verdaderos o falsos, pero tampoco podemos querer decir nada sobre su estado. Estas variables se combinan mediante conectores lógicos que son, por ejemplo:
Estas variables luego forman fórmulas complejas.
La sintaxis de la lógica de segundo orden , a diferencia de la lógica de primer orden , considera:
A continuación, denotaremos por V el conjunto de variables (x, y, z ...), F el conjunto de símbolos de función (f, g ...) y P el conjunto de símbolos de predicado (P, Q .. .). También tenemos el llamado mapa de m aridad . El significado de las fórmulas es objeto de semántica y difiere según el lenguaje considerado.
En la lógica tradicional (también llamada lógica clásica o lógica del "tercero excluido"), una fórmula es verdadera o falsa. Más formalmente, el conjunto de valores de verdad es un conjunto B de dos valores booleanos : verdadero y falso. El significado de los conectores se define mediante funciones de booleanos a booleanos. Estas funciones se pueden representar en forma de tabla de verdad .
Por tanto, el significado de una fórmula depende del valor de verdad de sus variables. Estamos hablando de interpretación o cesión. Sin embargo, es difícil, en el sentido de complejidad algorítmica , utilizar la semántica para decidir si una fórmula es satisfactoria (o no) o incluso válida (o no). Para eso, sería necesario poder enumerar todas las interpretaciones que son exponenciales en número.
Una alternativa a la semántica es examinar pruebas bien formadas y considerar sus conclusiones. Esto se hace en un sistema de deducción . Un sistema de deducción es un par (A, R), donde A es un conjunto de fórmulas llamadas axiomas y R un conjunto de reglas de inferencia , es decir, de relaciones entre conjuntos de fórmulas (las premisas) y fórmulas (la conclusión).
Llamamos derivación de un conjunto dado de hipótesis a una secuencia no vacía de fórmulas que son: axiomas o fórmulas deducidas de las fórmulas precedentes en la secuencia. Una prueba de una fórmula ϕ de un conjunto de fórmulas Γ es una derivación de Γ cuya última fórmula es ϕ.
Básicamente, introducimos dos cuantificadores en la lógica moderna:
Gracias a la negación, los cuantificadores existenciales y universales juegan un papel dual y, por tanto, en la lógica clásica , podemos basar el cálculo de predicados en un único cuantificador.
Un predicado binario, llamado igualdad , establece que dos términos son iguales cuando representan el mismo objeto. Se gestiona mediante axiomas o esquemas de axiomas específicos. Sin embargo, entre los predicados binarios es un predicado muy particular, cuya interpretación habitual no solo está restringida por sus propiedades declaradas por los axiomas: en particular, generalmente solo hay un predicado de igualdad posible por modelo, el que corresponde al esperado interpretación (identidad). Su adición a la teoría conserva algunas buenas propiedades, como el teorema de completitud del cálculo de predicados clásico. Por lo tanto, a menudo consideramos que la igualdad es parte de la lógica básica y luego estudiamos el cálculo de los predicados igualitarios .
En una teoría que contiene igualdad, a menudo se introduce un cuantificador, que se puede definir a partir de los cuantificadores anteriores y la igualdad:
Se pueden introducir otros cuantificadores en el cálculo de predicados igualitarios (hay a lo sumo un objeto que verifica tal propiedad, existen dos objetos ...), pero cuantificadores útiles en matemáticas, como "hay un infinito ..." o "Existe un número finito ..." no se puede representar allí y requiere otros axiomas (como los de la teoría de conjuntos ).
No fue hasta principios del XX ° siglo a la lógica binaria está claramente cuestionada en muchas maneras diferentes:
Sobre la filosofía:
Sobre lógica matemática:
Ver también :