Cuantificador (lógico)

En matemáticas , las expresiones " para todo " y " existe ", utilizadas para formular proposiciones matemáticas en el cálculo de predicados , se denominan cuantificaciones . Los símbolos que representan el lenguaje formal se denominan cuantificadores (o anteriormente cuantificadores ).

Cuantificación universal

La cuantificación universal ("para todos ..." o "lo que sea ...") se denota con el símbolo ∀ (una A al revés ).

Ejemplo:

∀ x P ( x )

lee

"Para todo x P ( x )"

y medios

"Cualquier objeto del dominio considerado tiene la propiedad P ".

La notación "∀" fue utilizada por primera vez por Gerhard Gentzen en 1933 (publicada en 1934). La palabra alemana alle que significa "todos", propone un "símbolo ( Zeichen ) válido para todos ( für alle )" . Gentzen indica que eligió como "símbolo para todo" ( All-Zeichen ) la A invertida por analogía con el símbolo "∃" para el cuantificador existencial que toma de Russell .

Cuantificación existencial

La cuantificación existencial ("existe un ..." en el sentido de "hay al menos uno ...") se indica con el signo ∃ (una E devuelta). Mas presisamente,

∃ x P ( x )

medio

existe al menos una x tal que P ( x ) (al menos un objeto del dominio considerado tiene la propiedad P )

Para expresar la unicidad además de la existencia, el signo utilizado es ∃! (el cuantificador existencial seguido de un signo de exclamación), más precisamente,

∃! x P ( x )

medio

existe una x única tal que P ( x ), o de lo contrario existe una y sólo una x tal que P ( x ) (un objeto exactamente del dominio considerado tiene la propiedad P ).

Este último cuantificador se define calculando predicados igualitarios a partir de los dos cuantificadores precedentes (y a partir de la igualdad), por ejemplo mediante

∃! x P ( x ) ≡ ∃ x [ P ( x ) y ∀ y ( P ( y ) ⇒ y = x )].

La notación ∃ fue utilizada por primera vez por Giuseppe Peano en 1897 en el volumen II de su Forma matemática con una sintaxis diferente, el signo está directamente asociado con el predicado (∃ P para nuestro ∃ x P ( x )). Bertrand Russell es el primero en utilizarlo de la forma actual, como operador de enlace.

Negación de cuantificadores

La negación de es: ${\ Displaystyle \ existe x \, P (x)}$

{\ Displaystyle \ neg \ existe x \, P (x)}

O: .

{\ Displaystyle \ forall x \, \ neg P (x)}

La negación de es: ${\ Displaystyle \ forall x \, P (x)}$

{\ Displaystyle \ neg \ forall x \, P (x)}

, o: en lógica clásica , pero no en lógica intuicionista .

{\ Displaystyle \ existe x \, \ neg P (x)}

Orden de cuantificadores

Para una fórmula formateada de antemano , el orden de los cuantificadores entre cada bloque de cuantificadores idénticos (por lo tanto, bloque de cuantificadores existenciales o bloque de cuantificadores universales) es irrelevante, la fórmula sigue siendo la misma. Por otro lado, la alternancia de los bloques de cuantificadores existenciales o universales da fórmulas muy distintas cuya complejidad lógica se observa en particular en la jerarquía aritmética .

Deducción natural

En la deducción natural , Gerhard Gentzen presenta los dos cuantificadores de la siguiente manera:

	Reglas introductorias	Reglas de eliminación
por todo	${\ Displaystyle {\ frac {F} {\ forall xF}}}$ .	${\ Displaystyle {\ frac {\ forall xF} {F}}}$
existe	${\ displaystyle {\ frac {F} {\ existe xF}}}$	${\ Displaystyle {\ frac {\ existe xF \ quad {\ begin {array} {c} [F] \\\ vdots \\ q \ end {array}}} {q}}}$

Ejemplos de

Si tomamos un grupo de gatos negros, podemos decir que cualquier gato que elijamos de este grupo, será negro. ( ) ${\ displaystyle \ forall chat \ mathrm {\ textvisiblespace} en \ mathrm {\ textvisiblespace} este grupo \ mathrm {\ textvisiblespace}, el \ mathrm {\ textvisiblespace} color \ mathrm {\ textvisiblespace} de \ mathrm {\ textvisiblespace} chat \ mathrm {\ textvisiblespace} es \ mathrm {\ textvisiblespace} negro}$

Si en un grupo de gatos negros hay pocos gatos blancos (o solo uno), podemos decir que hay un gato blanco (o solo uno) en este grupo.

( ) ${\ displaystyle \ existe (!) chat \ mathrm {\ textvisiblespace} en \ mathrm {\ textvisiblespace} este grupo \ mathrm {\ textvisiblespace}, el \ mathrm {\ textvisiblespace} color \ mathrm {\ textvisiblespace} de \ mathrm {\ textvisiblespace} chat \ mathrm {\ textvisiblespace} es \ mathrm {\ textvisiblespace} blanco}$

Representación de cuantificadores en Unicode, HTML y LaTeX

	Símbolo	Unicode	HTML	Látex
por todo	∀	U + 2200	& para todos;	\ para todos
existe	∃	U + 2203	&existe;	\ existe

Bibliografía

Existe la exposición de las reglas que gobiernan los cuantificadores habituales y todo lo que se encuentra en todos los libros de texto de cálculo de predicados , cuya bibliografía se puede encontrar en lógica matemática .

Para una generalización de estos cuantificadores podemos recurrir a:

(en) Cuantificadores generalizados y computación: 9th European Summer School in Logic, Language, and Information ESSLLI'97Workshop Aix-en-Provence, Francia, 11 al 22 de agosto de 1997 Conferencias revisadas , 145 páginas, ( ISBN 9783540669937 )

Referencias

quanteur en el diccionario CNTRL.
Maurice Pouzet, " Modelo universal de una teoría n-completa ", Actas de la Academia de Ciencias , a, t. 274,1972, p. 433 ( leer en línea )
(es) Jeff Miller, primeros usos de los símbolos de la teoría de conjuntos y la lógica , septiembre de 2010 .
“ Untersuchungen über das logische Schließen. Yo ”, Mathematische Zeitschrift , vol. 39 (2),1934, p. 176-210 ( leer en línea ).
G. Peano, Formulario matemático, Volumen II, Lógica matemática (1897) ∃ .
(De) Gerhard Gentzen, Untersuchungen über das Logische Schliessen , p. 22
“ Carácter Unicode 'PARA TODOS' (U + 2200) ” .
Cf. Tabla de símbolos matemáticos (los galones y ángulos) .
“ Carácter Unicode 'EXISTE' (U + 2203) ” .
Cf. Tabla de símbolos matemáticos (Otros símbolos en las líneas rectas) .

Ver también

Teoría de la descripción definitiva de Bertrand Russell
Teoría de los mundos posibles
Notación (matemáticas)
La letra λ del cálculo Lambda que también vincula variables.