La morfología matemática es una teoría y análisis técnico matemático y estructural informático que se vincula con el álgebra , la teoría de la celosía , la topología y las probabilidades .
El desarrollo de la morfología matemática se inspira en los problemas de procesamiento de imágenes , campo que constituye su principal campo de aplicación. En particular, proporciona herramientas para el filtrado, segmentación , cuantificación y modelado de imágenes. También se puede utilizar en el procesamiento de señales , por ejemplo, para filtrar las variaciones de una medición (física, biológica) a lo largo del tiempo.
Una de las ideas básicas de la morfología matemática es estudiar o procesar un conjunto utilizando otro conjunto, llamado elemento estructurante , que sirve como sonda. En cada posición del elemento estructurante, vemos si toca o si está incluido en el conjunto inicial. Dependiendo de la respuesta, construimos un conjunto de salida. Obtenemos así operadores básicos que son relativamente intuitivos.
Las propiedades que se encuentran a menudo en los operadores morfológicos son:
Esto implica en particular una pérdida de información; Cuando se utilizan correctamente, estos operadores permiten eliminar estructuras que no cumplen con ciertos criterios, como el ancho o el volumen.
La morfología matemática también está interesada en conjuntos y funciones aleatorias.
El principal campo de aplicación de la morfología matemática es el procesamiento de imágenes. Proporciona, en particular, herramientas de filtrado, segmentación y cuantificación. Desde su aparición en 1964, ha disfrutado de un éxito creciente y ahora contribuye a llenar la caja de herramientas de cualquier proveedor de imágenes.
La morfología matemática fue inventada en 1964 por Georges Matheron y Jean Serra en los laboratorios de la Ecole des Mines de Paris . Su desarrollo siempre ha estado fuertemente motivado por aplicaciones industriales. Inicialmente se trataba de dar respuesta a problemas en el campo de la minería, pero muy rápidamente sus campos de aplicación se diversificaron: biología, imagen médica, ciencias de los materiales, visión industrial, multimedia, teledetección y geofísica son algunos ejemplos de campos en los que la matemática la morfología ha hecho una contribución importante.
La morfología matemática sigue siendo un campo de investigación activo. Así lo demuestran las numerosas publicaciones científicas sobre el tema, así como los simposios internacionales sobre morfología matemática que se realizan cada dos o tres años.
Algunos ejemplos de temas de investigación actuales:
La morfología matemática se puede desarrollar dentro del marco abstracto de la teoría de celosía . Sin embargo, aquí se adopta una presentación más práctica, dirigida a un usuario potencial de herramientas de procesamiento de imágenes, en lugar de a un matemático.
Consideremos in , utilizado a menudo como modelo para soportar imágenes binarias bidimensionales, aunque todo lo presentado en esta sección sigue siendo válido en , donde es un entero estrictamente positivo. Sea un subconjunto de , llamado elemento estructurante . Si es un elemento de , entonces denotamos el conjunto traducido de :
El elemento estructurante juega en cierto modo el papel de modelo local o sonda. Se lleva a todas partes de la imagen a procesar, y en cada posición estudiamos su relación con la imagen binaria, considerada como un conjunto. Estas relaciones pueden ser del tipo "está incluido en el conjunto" o "afecta al conjunto", por ejemplo.
En el alicatado cuadrado , los elementos estructurantes más utilizados son la cruz, formada por el origen y los cuatro puntos más cercanos, y el cuadrado, formado por el origen y los ocho puntos más cercanos. Estos dos elementos estructurantes corresponden respectivamente a dos posibles definiciones de la vecindad de un píxel o del tipo de conectividad de la imagen. En el alicatado hexagonal , el elemento básico es el hexágono centrado.
También introducimos lo simétrico de un conjunto, señalado :
Si es simétrico, tenemos .
Expansión y erosiónSea un subconjunto de . La dilatación morfológica con el elemento estructurante se define como la suma de Minkowski :
Otra formulación más intuitiva es:
La dilatación morfológica generalmente no es reversible. La operación que de alguna manera intenta producir el reverso de la dilatación es la erosión morfológica :
La dilatación y la erosión son los operadores básicos de la morfología matemática. Casi todos los demás se pueden definir usando estos, usando composiciones de funciones y operaciones de configuración.
Imagen original (en negro: el objeto; en blanco: el fondo).
Expansión por un cuadrado de 3x3: los píxeles negros y grises forman parte del conjunto resultante.
Erosión por un cuadrado de 3x3: solo los píxeles negros forman parte del conjunto resultante.
La dilatación es una transformación extensa si B contiene el origen: La erosión es anti-extensiva si B contiene el origen: La expansión y la erosión son transformaciones crecientes (como la unión y la intersección): La expansión y la erosión no son transformaciones idempotentes: Por otro lado, la dilatación y la erosión verifican la propiedad de iteratividad que permite construir dilataciones o erosiones con elementos estructurantes homotéticos: La dilatación es una transformación continua y la erosión es un procesamiento semicontinuo superior . Esta propiedad se sigue directamente de la propiedad de la intersección en la resta de Minkowski.
La dilatación es distributiva con respecto a la unión y la erosión con respecto a la intersección : Sea una familia de elementos estructurantes homotéticos y una homotecia de relación . La compatibilidad de la dilatación y la erosión con la dilatación se escribe:
La dilatación, como la unión, preserva la conexión . La dilatación no es una transformación que conserva la homotopía . De hecho, conecta elementos inconexos y rellena huecos. La erosión no es una transformación que conserva la homotopía . Esto se debe a que separa las partes relacionadas y elimina elementos cuando son pequeños. La erosión, como la intersección, no preserva la conexión .
Abriendo y cerrandoLa composición de una dilatación morfológica con erosión por el mismo elemento estructurante no produce, en general, la identidad, sino otros dos operadores morfológicos, la apertura morfológica: y cierre morfológico: La apertura se puede caracterizar geométricamente: da la unión de todos los incluidos en . Así, la forma del elemento estructurante permite elegir las estructuras que pueden contenerlo.
El cierre es el dual de la apertura: el cierre del complemento de un conjunto es igual al complemento de la apertura de este conjunto.
Se observará que si el elemento estructurante no es simétrico, habrá que utilizar el elemento simétrico para el segundo operador (dilatación en el caso de la apertura y erosión en el caso del cierre).
Propiedades de apertura y cierreImagen original
Cierre con un cuadrado de 3 × 3: los píxeles negros y grises forman parte del conjunto resultante
Apertura con un cuadrado de 3 × 3: solo los píxeles negros forman parte del conjunto resultante
También podemos tomar dos elementos estructurantes y definir transformaciones. Si nos preguntamos en cada punto de estar fuera del set y en el interior tenemos el todo o nada de transformación ( impredecible transformamos en Inglés): donde designa el complemento del conjunto . Esta transformación permite detectar determinadas configuraciones precisas de píxeles. Entre las configuraciones más utilizadas tendremos:
Sumando el resultado de la transformación al conjunto inicial obtenemos un espesamiento : eliminando el resultado del fraguado inicial obtenemos un adelgazamiento :
Aplicaciones: esqueleto, skiz, sobre convexoUna imagen en escala de grises se puede modelar en función de en . Sea una función perteneciente a este conjunto. Entonces tenemos:
La apertura y cierre de funciones se obtienen como en el caso configurado:
La apertura y el cierre morfológicos ya son herramientas interesantes para el filtrado de imágenes. Sin embargo, pueden modificar el contorno de los objetos, una propiedad que puede resultar desagradable. Los operadores por reconstrucción y más en general la nivelación, introducidos más adelante, permiten superar este inconveniente.
El espesamiento y el adelgazamiento no son, en general, operadores crecientes. Por tanto, su aplicación a funciones (en la práctica, a imágenes en escala de grises) no es trivial. Se han propuesto varias extensiones en la literatura.
La detección de bordes es una tarea importante en el procesamiento de imágenes. La morfología matemática ofrece herramientas de detección de bordes no lineales, como gradiente morfológico y laplaciano.
El gradiente morfológico , también llamado gradiente de Beucher por el nombre de su inventor, se define por:
Corresponde, en cierto modo, a la versión morfológica del módulo de gradiente euclidiano.
El laplaciano morfológico se construye de manera similar:
donde es el operador de identidad.
Todos los operadores definidos en las secciones anteriores se han definido en un marco euclidiano, es decir, que el espacio de definición de la imagen sirve como referencia para los operadores. En esta sección, retomaremos los dos operadores básicos que son la erosión y la dilatación pero permaneciendo en un subespacio de , llamado espacio de referencia . Las transformaciones euclidianas se convertirán así en transformaciones geodésicas (también llamadas transformaciones condicionales).
La geodesia es la ciencia de medir la forma y las dimensiones de la tierra. Así, una distancia geodésica corresponde al camino más corto para ir de un punto a otro mientras permanece en la superficie del globo. La longitud de este camino, a diferencia de la distancia euclidiana, no corresponde a un segmento recto sino al de un arco geodésico . La definición de arco geodésico implica la noción de conexión por arco . Se dice que un espacio topológico está conectado por arcos si cualquier par de puntos está conectado por un camino cuyo soporte está incluido .
La distancia geodésica utiliza los mismos axiomas que la distancia euclidiana, solo que la ruta es diferente.
O cuatro puntos .
En la parte izquierda de la imagen se han representado los segmentos derechos asociados a las diferentes distancias euclidianas. En el lado derecho, se muestran los tres arcos geodésicos que se conectan y . Observamos que el punto no tiene trayectoria geodésica porque pertenece a un componente disjunto del que contiene los otros tres puntos.
La distancia geodésica satisface los axiomas de una distancia. Tenemos, de hecho:
A estos axiomas debemos agregar un cuarto. Cuando no hay camino geodésico, tenemos:Para los mismos puntos, es posible comparar las distancias geodésicas con respecto a y las distancias euclidianas. Siempre tendremos una distancia geodésica mayor o igual a la distancia euclidiana con posibilidad de tener una distancia euclidiana finita y una distancia geodésica infinita:Se notará de pasada que, para conectar dos puntos, puede haber varios arcos geodésicos equivalentes, mientras que el camino euclidiano es único.
Elemento estructurante geodésicoEn el elemento estructurante isotrópico centrado y de tamaño se encuentra el disco cerrado , definido por:El disco geodésico se define con respecto al conjunto de referencia reemplazando la distancia euclidiana por la distancia geodésica con respecto a . Entonces tenemos:
La figura de enfrente ilustra la diferencia entre un elemento estructurante euclidiano y un elemento estructurante geodésico. En esta figura, el disco se ha colocado en diferentes posiciones . El disco euclidiano permanece igual independientemente de la posición x. Por otro lado, el disco geodésico cambia de forma o puede desaparecer según su posición. Del disco inicial, solo queda lo que queda por verificar la distancia geodésica. Por lo tanto, los puntos del disco que no son comunes con se ignoran (posiciones ). Si el centro del disco no pertenece a , entonces el disco geodésico no existe ( ).
Además del conjunto a transformar que se llamará (por marcador), se debe introducir el conjunto de referencia geodésico .
Expansión geodésicaPartimos de la definición euclidiana de dilatación reemplazando la bola euclidiana por la bola geodésica. Entonces podemos escribir: Luego, repetimos esta operación elemental veces: Las siguientes figuras ilustran el efecto de una expansión geodésica por un hexágono. Un componente conectado del conjunto solo se puede dilatar si se cruza ; de lo contrario, desaparece. La dilatación se detiene cuando se alcanzan los límites de .
Conjunto de referencia X (amarillo y rojo) y marcador M (rojo y azul)
Expansión geodésica (tamaño del hexágono 15) de M a X
Expansión geodésica (tamaño del hexágono 40) de M a X
El conjunto se comporta como una máscara en la que se puede modificar y se comporta como un marcador que permite invadir un componente conectado de .
Erosión geodésicaDe la misma manera, introducimos la erosión geodésica reemplazando la bola euclidiana por la bola geodésica en la expresión que define la erosión. Por tanto, podemos escribir:Como el elemento estructurante utilizado es simétrico, existe una dualidad entre erosión y dilatación geodésica. Esta dualidad se expresa de forma ligeramente diferente que en el caso euclidiano porque es la complementariedad respecto a la que hay que tener en cuenta. Esta relación de dualidad se escribe luego con el operador de diferencia simétrica :Las figuras ilustran el efecto de la erosión geodésica en un ensamblaje versus el uso de un elemento estructural hexagonal.
Conjunto de referencia X (amarillo y rojo) y marcador M (rojo)
Erosión geodésica (tamaño del hexágono 15) de M a X
Notamos que las partes de , totalmente incluidas y sin fronteras comunes, se erosionan como en el caso euclidiano. Cuando hay fronteras comunes, estas no se ven afectadas por la erosión.
La reconstrucción de un conjunto a partir de otro es una de las principales aplicaciones de la expansión geodésica. Por tanto, partimos de dos conjuntos; el primero se denomina conjunto de marcadores anotados , el segundo es el conjunto de referencia o máscara . Por definición, la reconstrucción es una expansión geodésica infinita, con respecto a marcadores . Está escrito: Cuando se invaden todos los componentes conectados que contienen marcadores, la imagen ya no se puede modificar. Esto constituye la prueba para detener el procedimiento . Las siguientes figuras ilustran la reconstrucción de los marcadores .
Conjunto de referencia X (amarillo y rojo) y marcador M (rojo)
Reconstrucción de X a partir de marcadores M
Por tanto, la reconstrucción corresponde a un cierre algebraico de los marcadores .
Aplicaciones de reconstrucción para ensamblajesAquí solo mencionaremos los más importantes.
Reconstrucción por erosiónEn erosión-reconstrucción , los marcadores serán las erosiones euclidianas y la dilatación euclidiana se sustituirá por la dilatación geodésica de los marcadores con respecto al conjunto . Está escrito:Esta erosión-reconstrucción se ilustra en las siguientes figuras y se compara con la abertura geodésica utilizando el mismo elemento estructurante.
Establecer X1 (amarillo y rojo) y tamaño de erosión hexagonal 11 (M1 = rojo)
Reconstrucción de X1 desde M1
Apertura geodésica de X1 (rojo: tamaño del hexágono 11)
Para algunas aplicaciones analíticas, es necesario eliminar los componentes conectados que cruzan el borde del campo de visión . Para ello, se deben aislar reconstruyéndolos a partir de un marcador formado por todos los píxeles del borde del campo , anotados y restados . Por tanto, el procedimiento será el siguiente:El conjunto contiene solo componentes conectados totalmente incluidos en . Esto se ilustra en las siguientes figuras.
Configure X2 (amarillo) y el borde del campo dZ (rojo)
Componentes relacionados de X2 reconstruidos, intersectando el borde del campo (rojo)
Componentes relacionados de X2 completamente incluidos en el campo Z
La reconstrucción se utiliza en una operación que se utiliza a menudo en el procesamiento de imágenes: taponamiento de agujeros . Como en la aplicación anterior, el marcador es . El algoritmo es como sigue:Las siguientes figuras ilustran la secuencia de operaciones.
Configure X3 (amarillo) y el borde del campo dZ (rojo)
Complementario al conjunto X3 (amarillo) y borde del campo dZ (rojo)
Reconstrucción del complemento de X3 a partir de dZ
Taponamiento de orificios X3
Considere un conjunto presentado en la siguiente figura. Las erosiones finales aparecen durante una sucesión de erosiones por un elemento estructurante convexo. Están formados por la unión de componentes conectados que desaparecen durante la erosión de un tamaño inmediatamente mayor.
Sea una erosión digital elemental, y su iteración de orden i. La erosión final derivada y observada se define entonces como el `` residuo '' entre y las aberturas por reconstrucción de cada erosión en la anterior:Las erosiones últimas corresponden a la unión de todas estas reconstrucciones al variar de 1 a imax cuando no queda nada por la erosión.
Estas erosiones finales también se pueden obtener a partir de los máximos de la función de distancia utilizando un método geodésico para las funciones que se muestran a continuación. Permaneciendo en el dominio del conjunto, los erosionados finales sirven para marcar las partes convexas de los objetos y pueden usarse para segmentar agregados de partículas convexas.
En cuanto al caso del conjunto, tendremos una función de referencia y una función que se transformará . Los dos operadores básicos siguen siendo la expansión geodésica y la erosión geodésica.
Expansión geodésica para funcionesLa expansión geodésica elemental de sub se expresa de una manera similar a la utilizada para los conjuntos.
En el caso de funciones, estos elementos serán elementos planos isotrópicos y convexos . Tenemos, de hecho:Para una expansión geodésica de cualquier tamaño, también tendremos:
Interpretación de una función f (x) definida en R1-RLas imágenes en escala de grises son funciones definidas en . Para facilitar la visión del comportamiento de los operadores, usaremos una función definida en . O también una función definida en el mismo espacio. Para nuestro ejemplo, la única posibilidad es un “elemento estructurador plano” formado por un “segmento recto” de longitud centrada.
Las siguientes figuras ilustran el caso de una expansión geodésica de tamaño .
Función f (x) (amarillo y rojo) y marcadores m1 (x) (rojo)
Expansión tamaño 20 de los marcadores m1 (x) (rojo) bajo la función f (x) (amarillo y rojo)
Notamos que los marcadores dilatados permanecen siempre bajo la función . Con un elemento estructurante plano , partes del cual quedan inaccesibles a la expansión. Son partes convexas que incluyen máximos .
Tenga en cuenta que los marcadores generalmente se eligen para que tengamos:
Erosión geodésica para funcionesPor definición, la erosión geodésica elemental viene dada por:En cuanto a la dilatación geodésica, tendremos por iteración:La erosión geodésica de las funciones también se deduce de la expansión geodésica de las funciones por dualidad. Llamemos "el nivel de gris máximo admitido por la imagen". Entonces tendremos:
Esta expresión también es la que se utiliza para construir cualquier erosión geodésica.
Interpretación de una función definida en R1-RLas figuras ilustran el comportamiento de la erosión geodésica para una función .
Marcadores de función f (x) (amarillo) y m2 (x) (amarillo y rojo)
Tamaño 15 erosión de marcadores m2 (x) (amarillo y rojo) en la función f (x) (amarillo)
Tenga en cuenta que la función erosionada retiene residuos en las partes cóncavas de la función . Este resultado es simétrico al obtenido por expansión geodésica.
Reconstrucción de funcionesComo hicimos con los conjuntos, es posible reconstruir funciones geodésicamente con respecto a otra función. Deben considerarse dos casos.
La primera figura ilustra el resultado obtenido en el caso de la reconstrucción de bajo la función y la segunda figura, la reconstrucción de sobre la función .
Reconstrucción de los marcadores m1 (x) (rojo) bajo la función f (x) (amarillo y rojo)
Reconstrucción de marcadores m2 (x) (amarillo y rojo) en la función f (x) (amarillo)
Los máximos regionales de una imagen son los puntos de la imagen desde los que solo hay caminos descendentes. O una imagen. A partir de esta imagen, crearemos una imagen de los marcadores restando un nivel de gris . por tanto tendremos:Luego, realizamos una reconstrucción de por debajo y por diferencia con , obtenemos los máximos regionales . Entonces tenemos :
Mínimo de una funciónPara la búsqueda de mínimos regionales de una función, se aplica el mismo principio. Primero, formamos la imagen de los marcadores:A continuación, se realiza una reconstrucción de sobre y por diferencia con , obtenemos la mínimos regionales . Entonces tenemos :
Máximos y mínimos extendidosEncontrar los máximos y mínimos de una función da muy buenos resultados si la imagen no es ruidosa. En presencia de ruido, la noción de máximos y mínimos extendidos , también llamados Hmax y Hmin , permite extraer de una imagen solo los extremos significativos. El algoritmo es similar al de máximos y mínimos. Solo la construcción de los marcadores es ligeramente diferente. De hecho, en lugar de traducir la imagen en un nivel de gris (menor o mayor), se realiza una traducción de h más o menos niveles de gris. El Hmax y Hmín se escriben de la siguiente manera.
Las siguientes figuras ilustran la construcción de Hmax en el caso de una función .
Función f (x) (amarillo y rojo) y marcadores m (-h) (rojo)
Función (fx) (amarillo y rojo) y Hmax de f (x) (rojo)
A modo de ejemplo, el resultado se muestra en el caso de la imagen de un mosaico de nivel de gris ruidoso. Los máximos regionales de este pavimento son inutilizables por el ruido. Por otro lado, las Hmax permiten visualizar las placas de cada bloque.
Imagen (en escala de grises) de un mosaico ruidoso
Máximos de pavimentación ruidosa
Hmáx (h = 30) del pavimento ruidoso
Filtrado morfológico de Hmax mediante una abertura de tamaño 1 seguida de un cierre de tamaño 10.
La búsqueda de máximos significativos se puede mejorar filtrando la imagen binaria resultante, como se muestra en la siguiente figura. Los "Hmin" se obtienen y procesan de manera análoga.
Segmentar una imagen en escala de grises consiste en producir una partición del medio de imagen, de modo que las regiones de la partición correspondan a los objetos presentes en la imagen.
Los filtros morfológicos son una ayuda valiosa en un proceso de segmentación. En particular, las nivelaciones permiten filtrar las imágenes conservando los contornos importantes, lo que simplifica la operación de segmentación real. En algunos casos, un filtrado intenso puede producir por sí solo una puntuación relevante. Pero la herramienta morfológica más famosa en la segmentación de imágenes es la línea divisoria de aguas .
Existen varios algoritmos para la segmentación por cuenca. La idea básica es simular una inundación de la imagen, vista como un relieve topográfico donde el nivel de gris corresponde a la altitud. Los límites entre las regiones de la partición tienden a colocarse en las líneas de la cresta. Típicamente, aplicamos este operador al gradiente de la imagen (norma de gradiente euclidiano, o gradiente morfológico) que buscamos segmentar, y en consecuencia los bordes se colocan de forma privilegiada en las líneas de alto gradiente.
Varios algoritmos de cálculo de división tienen una complejidad lineal según el número de píxeles de la imagen, lo que los coloca entre los métodos de segmentación más rápidos.
Originalmente, la morfología matemática está diseñada para procesar y analizar imágenes de materiales biológicos o imágenes para extraer información cuantificada como parámetros o funciones . Aquí, nos limitaremos a imágenes 2D definidas en el espacio y subespacios. En este caso, el espacio está representado por una cuadrícula de puntos. Se consideran dos casos: la rejilla cuadrada ( pavimento cuadrado ) y la retícula triangular ( pavimento hexagonal ). En cuanto a los parámetros, sabemos que se pueden obtener a partir de la característica de Euler-Poincaré o del número de conectividad de los diferentes espacios, señalados para el espacio .
Pavimento cuadrado de un conjunto X
Establezca X y la configuración del vecindario para obtener N1 (mosaico cuadrado)
Establezca X y configuraciones de vecindario para obtener N2 (mosaico cuadrado)
Este espacio corresponde a la red de puntos asociados a los píxeles.En la imagen binaria, es igual al número de píxeles en 1.
Espacio R 1 : N 1 ( X )Las líneas que se pueden utilizar corresponden a píxeles alineados. Los extremos de los segmentos de estas líneas de corte corresponden (en la salida) a las transiciones de píxeles de tipo 1 0. La imagen binaria asociada se obtiene mediante una transformación de todo o nada. Desde un punto de vista práctico, esto equivale a comprobar, para cada píxel , la configuración de vecindad . Los elementos 1 de la configuración se refieren al todo y los 0 al complementario. Por tanto, tendremos:Para el grupo: Para la medida:
Los elementos estructurantes en los diferentes pavimentos son:
(Las otras orientaciones de 60 ° y 120 ° se obtienen girando la configuración).
(Las otras orientaciones a 45 °, 90 °, 135 ° se obtienen girando la configuración).
Espacio R 2 : N 2 ( X )Recuerde que corresponde al número de componentes conectados menos el número de agujeros que contienen.
Para determinar este número con el mosaico triangular, usamos la relación de Euler : En teselación hexagonal, s representa el número de vértices (píxeles en 1), c el número de lados del tipo 1-1 (hasta una rotación) yf el número de triángulos que tienen los 3 vértices en 1. Un cálculo elemental en todos los combinaciones dan el siguiente resultado:Para conjuntos: y Para la medida:
Los elementos estructurantes en los diferentes pavimentos son:
y .
y .
En cuanto a los números de conectividad, los parámetros métricos básicos deben verificar las condiciones de Hugo Hadwiger . El conjunto debe ser un conjunto aleatorio estacionario que consta de una unión finita de convexos. La medida debe tener las siguientes propiedades:
El parámetro métrico es la longitud total del conjunto anotado y se calcula a partir del tamaño del píxel . De hecho tenemos:
En R 2Estos parámetros métricos son:
Se calcula a partir del área del píxel y . De hecho tenemos:
Para obtener este perímetro utilizaremos la relación de Cauchy ( geometría integral ) que vincula la variación diametral de un conjunto a su perímetro:con tamaño de píxel. Se observará que la estimación de este perímetro tiene un aspecto estadístico. El número de conectividad debe estimarse en varias direcciones.
Ilustración de la relación de Cauchy
Ilustración de la relación de Crofton
Ilustración de la relación de Meunier
La geometría integral también proporciona acceso a la configuración utilizando los números de la conexión entre las áreas inferiores.
Las imágenes destinadas a estudios científicos se obtienen a menudo de un microscopio cuyo campo es más pequeño que el conjunto a analizar. En este caso decimos que el análisis es local en contraposición al análisis global donde el conjunto es totalmente visible.
Los parámetros globales previamente definidos deben transformarse en parámetros locales reducidos a la unidad de espacio.
Parámetros locales del espacio R 0Los parámetros estereológicos son parámetros promedio. Además, no hay muchos de ellos. Es fácil ver que son insuficientes para dar una descripción bastante completa de la estructura. Si aceptamos perder el aspecto estereológico, la morfología matemática permite obtener mucha información cuantitativa adicional. Esta cuantificación a menudo depende de un parámetro de tamaño asociado con las transformaciones de imágenes. La cuantificación conducirá a una operación de clasificación , cuyo recuento o medición conducirá a una función de tamaño de partícula . También es importante saber la dispersión de un conjunto dentro de otro. La estereología solo proporciona un parámetro derivado que no llega a responder a la pregunta.
El método de clasificación debe verificar las siguientes reglas:
Distinguimos tamaños en número y tamaños posibles .
Este tipo de análisis solo es posible si el conjunto a analizar consiste en una colección de objetos totalmente disjuntos. Cada objeto se aísla y luego se mide según un criterio de tamaño (área, perímetro, diámetro de Féret, etc.). El resultado de la medición permite colocar este objeto en una clase de tamaño.
Para realizar las mediciones que acabamos de mencionar, es necesario que el objeto esté completamente incluido en el campo de medición. Por tanto, debemos eliminar a los que cortan el borde del campo. Hemos visto que esto se logra fácilmente mediante la morfología matemática. Sin embargo, cuanto mayor sea el tamaño de un objeto, es más probable que lo elimine. Esto introducirá un sesgo en el análisis del tamaño de partículas. Para resolver este problema, debe poder conocer la probabilidad de que un objeto deba incluirse en el campo . Sin embargo, hemos visto que da el conjunto de puntos en los que está totalmente incluido .
Este razonamiento se puede transcribir para solucionar nuestro problema buscando erosionar la máscara rectangular por . Es fácil ver que obtendremos exactamente el mismo resultado si lo reemplazamos por el rectángulo mínimo circunscrito de la misma orientación que . Entonces, la probabilidad de inclusión se calcula fácilmente:En esta expresión, representa el lado horizontal y el lado vertical del campo (índice Z) o rectángulo (índice R). Luego, el sesgo se corregirá aumentando la clase de tamaño no en 1 sino en . Este método correctivo fue propuesto por Lantuéjoul .
Análisis del tamaño de partículas mediante apertura con un elemento estructurante bidimensionalEl medio complementario de los objetos de la figura 1 no puede tratarse con este método porque la noción de objeto individual ya no tiene ningún significado. Sin embargo, los axiomas de Matheron son válidos cuando la abertura se realiza con un elemento estructurante convexo . En efecto, un elemento estructurante convexo permite construir una familia de la misma naturaleza, cuyos miembros se deducen del elemento de tamaño 1 mediante una relación de homotecia de tamaño . Este tipo de granulometría es una granulometría en medida porque la abertura no tiene buenas propiedades topológicas (un objeto se puede dividir en dos al abrirse). Para una imagen definida en , la única medida utilizada es el área del conjunto abierto.
Conjunto booleano de discos circulares (X = BD)
Apertura hexagonal de tamaño 5 píxeles en BD y máscara erosionada (cian)
Apertura hexagonal de tamaño 20 píxeles en BD y máscara erosionada (cian)
En el análisis local hay que tener en cuenta la máscara de medición y por tanto trabajar en una máscara erosionada, por lo que tenemos: Existe un caso especial en el que el tamaño de partícula se puede establecer por número. Es cuando el conjunto consta de objetos convexos disjuntos. En este caso tendremos:
Análisis del tamaño de partícula abriendo con un elemento estructurante linealEl elemento de estructuración lineal se observa tradicionalmente . Las reglas se aplican de la misma manera que para la apertura bidimensional pero aquí las granulometrías en medida y en número siempre se pueden calcular ya que la intersección de un conjunto por una línea siempre da segmentos de líneas convexas por definición. Los tamaños de grano correspondientes vienen dados por las siguientes expresiones para los tamaños de grano en medida y los tamaños de grano en número:
La función P ( l )
De hecho, no es necesario pasar por la abertura para obtener estos tamaños de grano, sino que se puede detener en la erosión que da la función . Esta función está definida por:
Esta función tiene varias propiedades notables:
Conjunto booleano con granos de pescado (X = BP)
Erosión lineal de tamaño 10 píxeles en BP y máscara erosionada (cian)]
Erosión lineal de tamaño 20 píxeles en BP y máscara erosionada (cian)
Según las relaciones anteriores, inmediatamente tenemos: y
Supongamos que el conjunto es transparente y el complemento es opaco. A partir de un punto perteneciente a , podemos definir un dominio , formado por todos los puntos visibles y de x. se llamará '' 'la estrella de dimensión 2' '' asociada con el punto x.
Repitiendo la misma operación para todos los puntos de , podemos definir en una estrella media caracterizada por su área. Está escrito:Considere el elemento de superficie orientado a lo largo . Este elemento pertenece a la estrella y tendrá como probabilidad condicional la razón: Usando la definición y asumiendo el medio isotrópico, tenemos: Se puede hacer el mismo razonamiento . La estrella en está definida por: Lo que da en el caso isotrópico: La estrella en define un volumen medio en medida y en un área media en medida. Si es una unión de convexos disjuntos, la estrella representa un conjunto convexo promedio. Dado que se puede medir a partir de , la estrella tiene propiedades estereológicas.
El estudio de la dispersión supone al menos un conjunto y su complemento, ambos no vacíos. Los parámetros estereológicos que se han definido se refieren a un solo conjunto, también el análisis del tamaño de partícula. En morfología matemática, existe una función que efectivamente permite probar el estado de dispersión de un conjunto en otro. Esta función se denomina '' 'función de covarianza' ''. Corresponde a la medida del erosionado por un elemento estructurante formado por dos puntos distantes de h. Como la erosión se construye a partir de la resta de Minkowski, es fácil obtener el resultado de la erosión por h ya que este elemento estructurante contiene solo 2 puntos distantes de h. Para hacer esto, simplemente traduzca la imagen y tome la intersección con la traducida.
Por tanto, tendremos:
Covarianza simpleLa covarianza se utiliza principalmente en el caso local. En este caso, definimos la función de covarianza en una máscara de medición Z mediante:
Propiedades de covarianzaComo la función , la función tiene varias propiedades. Así tenemos:
Como ejemplo, tomamos casos límite:
En el ejemplo elegido, la disminución de la covarianza continúa hasta el valor asintótico. Como el análisis se realizó solo en un campo, la concordancia entre la asíntota teórica y la asíntota experimental no es perfecta. El ligero paso por un mínimo muestra un pequeño efecto de repulsión entre los discos.
El aspecto periódico de la estructura da como resultado oscilaciones de la curva de covarianza. El primer mínimo corresponde a un espesor medio de una laminilla y el primer máximo al espesor medio del par lamelar-complementario.
La covarianza es más compleja de interpretar, pero podemos estimar mi distancia promedio entre grupos.
Erosión por h (10 píxeles) en un conjunto booleano de discos (X: amarillo y rojo, erosión por h: rojo, erosión de máscara: cian)
Covarianza en el conjunto booleano de discos
Erosión por h (24 píxeles) en un conjunto laminar (X: amarillo y rojo, erosión por h: rojo, erosión de la máscara: cian)
Covarianza en el conjunto laminar
Erosión por h (24 píxeles) en un conjunto de grupos (X: amarillo y rojo, erosión por h: rojo, erosión de la máscara: cian)
Covarianza en el conjunto de clústeres
Los parámetros estereológicos son pocos y la caracterización del tamaño por funciones de tamaño de partícula tiene un carácter estereológico solo para tamaños de partícula lineales. El mismo razonamiento se puede sostener para la función de covarianza.
Si aceptamos permanecer en el espacio, los otros tamaños de grano, el estudio de la forma y la anisotropía permiten completar la información morfológica. Con estos métodos, nos encontramos en posesión de una gran cantidad de parámetros y varias distribuciones, pero por otro lado, la legibilidad de la caracterización ya no es obvia.
Otro enfoque mucho más sintético son los modelos probabilísticos. Están diseñados para caracterizar conjuntos aleatorios. Por supuesto, estos modelos no pueden describir todos los conjuntos reales. En primer lugar, estos conjuntos deben ser espacialmente estacionarios para poder modelarlos fácilmente.
Para que podamos observar una morfología, es necesario que un conjunto no ocupe todo el espacio. Por tanto, tendremos al menos un medio con dos componentes: el todo y su complemento . Los objetos que constituyen este conjunto pueden ser puntos, así como líneas rectas o cualquier subconjunto. El conjunto así obtenido será por tanto un conjunto aleatorio topológicamente cerrado denominado RACS (Conjunto Cerrado Aleatorio) y bien descrito en los libros de Matheron, Serra, Stoyan y Jeulin . Esta restricción es importante para mantener buenas propiedades, pero no es muy problemática en la práctica. Por lo tanto, un RACS seguirá siendo un RACS después de una operación de dilatación y erosión ... La elección de un modelo depende de una cierta cantidad de conocimiento a priori . En el caso de materiales o sistemas, el número de fases morfológicamente discernibles es el primer elemento. Por tanto, tendremos dos categorías principales:
Un RACS se puede caracterizar por una probabilidad de eventos correspondientes a medidas morfológicas como la probabilidad de inclusión de un compacto en un conjunto o su complemento. Este es el rol atribuido a la capacidad de Choquet definida por:
También podemos definir a partir de la probabilidad de que la intersección entre y esté vacía:
De la misma manera que una función de distribución define una variable aleatoria, el conocimiento de la capacidad de Choquet para cualquier compacto permite definir completamente un modelo probabilístico. Obviamente, no se pueden probar todos los compactos posibles. Estaremos satisfechos con lo más simple.
Propiedades de RACSRACS puede o no verificar varias propiedades.
Divisibilidad infinitaUn RACS es infinitamente divisible si es equivalente a la unión de n RACS independientes de la misma naturaleza. La intersección de un modelo infinitamente divisible por un subespacio conserva la naturaleza del modelo generado. Esto constituye una característica de carácter estereológico. Para tal RACS y un compacto dado, la capacidad Choquet es una expresión de la forma:
con :
EstabilidadUn RACS infinitamente divisible es estable por unión si la función satisface la ecuación:
con
CalculabilidadUn RACS tiene la propiedad de computabilidad si para ciertos compactos , las capacidades de Choquet tienen fórmulas explícitas. Esto permitirá verificar si una estructura real puede corresponder a la realización de un RACS sin realizar una simulación. Cuando no se puede calcular la capacidad Choquet, se pueden utilizar cantidades características vinculadas a los parámetros del modelo.
El proceso del punto de PoissonEl punto de partida de todos los modelos probabilísticos es un proceso de puntos aleatorios. Tiene que haber un proceso en el que el número de puntos que caen en un subconjunto sea independiente del número que caiga . El proceso de distribución de Poisson satisface esta condición. La probabilidad de que n puntos de un proceso de Poisson de densidad pertenezcan a un conjunto viene dada por:
Los modelos de partición aleatoria son conjuntos que dividen el espacio en varios subconjuntos cerrados y acotados llamados clases. La unión de todos sus subconjuntos llena todo el espacio . Los principales modelos de puntuación son: la puntuación de Voronoi , la puntuación de Johnson Mehl , el mosaico de Poisson y las hojas muertas . Si todos estos modelos se originan a partir de un proceso de Poisson puntual, su construcción y sus propiedades son muy diferentes. El último se presentará después del modelo de Boole Matheron que es un modelo polifásico.
Puntuación de VoronoiPara construir una partición o diagrama de Voronoi , establecemos puntos de acuerdo con un proceso que obedece a la ley de densidad de Poisson . Cada punto corresponde a una zona de influencia que está definida por:
con la distancia de a
Esta zona de influencia es un polígono convexo en y un poliedro convexo en .
La simplicidad del modelo ha llevado a muchos autores a utilizarlo para describir estructuras celulares o granulares. Pero, la puntuación de Voronoi no es infinitamente divisible ya que una puntuación de Voronoi en no genera una puntuación de Voronoi en . Además, no conocemos una expresión analítica de la capacidad de Choquet de esta partición para los pactos habituales. Para comparar una sección plana de la estructura real con un modelo de Voronoi en , tenemos algunas características resumidas por Miles, una función de la densidad de Poisson .
En el caso de una partición de Voronoi en , existen relaciones similares utilizando la función y la densidad de Poisson .
Además, las densidades de la partición y características "estrella" , , y están conectados a la densidad del proceso de Poisson con las siguientes relaciones:
Estas funciones en estrella se calculan a partir de los momentos de la función (probabilidad de inclusión de un segmento en un grano).
Se tiene :
El modelo de Johnson-Mehl también se basa en un proceso de puntos de Poisson. Sin embargo, el modelo es secuencial (función del tiempo). Cada secuencia se compone de dos procesos elementales:
Sin embargo, no todos los gérmenes creados necesariamente darán lugar a un "grano". Si el germen aparece en un grano ya formado, desaparece. La construcción se detiene cuando el complemento de los granos ha desaparecido por completo. Los granos que constituyen la partición tienen límites hiperbólicos en y límites hiperboloides en . Por tanto, no siempre son convexos, pero conocemos sus características, en particular la función de distribución del número de vecinos.
Construcción del modelo de Johnson Mehl (algunos pasos)
Construcción del modelo de Johnson Mehl (algunos pasos)
Construcción del modelo de Johnson Mehl (algunos pasos)
Construcción del modelo de Johnson Mehl (resultado final)
Como en el caso de la partición de Voronoi, el modelo de Johnson-Mehl no tiene propiedades estereológicas. En el caso de que sea constante, existen relaciones relacionadas con la función :
La partición del espacio según un proceso de Poisson se realiza mediante líneas de Poisson. Las líneas de Poisson se construyen de la siguiente manera. Sea una línea de orientación entre y y que pasa por el origen del plano. Sobre esta línea, realizamos un proceso de Poisson puntual de densidad . En cada uno de estos puntos, establecemos una línea de Poisson perpendicular a . En el caso de un dataset de mosaico isotrópico, es constante y el valor de se elige de acuerdo con una ley de probabilidad uniforme.
Luego, el espacio se divide en una infinidad de polígonos aleatorios llamados polígonos de Poisson.
Una construcción similar en el espacio conducirá a un espacio compartido en una infinidad de poliedros de Poisson. El ángulo está entonces entre 0 y estereorradián. Las líneas de Poisson se reemplazan por planos de Poisson perpendiculares a según una densidad .
A diferencia del modelo de Voronoi, el mosaico de Poisson tiene propiedades estereológicas. Primero, el modelo de parámetros puede caracterizar el poliedro promedio por su volumen promedio, área promedio e integral de curvatura promedio . De hecho, tenemos las relaciones:
Por otro lado, un mosaico de Poisson en , de parámetro , intersecado por un plano, genera un mosaico de Poisson en mosaico de parámetro con:
El dataset de mosaico de Poisson rara vez se usa para modelar una partición de espacio. Por otro lado, permite generar granos aleatorios para modelos polifásicos.
Un modo de partición final no se discutirá en esta sección, es el modelo de hojas muertas que veremos con más detalle en la siguiente sección.
RACS multifaseUn grupo muy importante son los conjuntos cerrados aleatorios multifásicos. Se pueden clasificar en tres grupos.
Este modelo, también llamado diagrama de Boole, se construye de la siguiente manera. En cada punto de un proceso de densidad de Poisson , colocamos un grano primario. El diagrama de Boole es la unión de todos estos granos primarios (figura de la izquierda).
Juego de Boole Matheron (amarillo), (30 gérmenes, tamaño 20 discos)
Juego de Boole Matheron (amarillo), (discos de tamaño variable)
Poissonian Grain Boole Matheron Set (amarillo)
Para este conjunto, generamos un proceso de puntos y reemplazamos cada punto con un dodecágono de tamaño único (grano primario). La segunda figura representa un modelo de Boole Matheron construido con discos de tamaño variable. Para la última figura, los granos primarios del modelo son polígonos de Poisson, obtenidos dibujando lotes de una partición como lo hemos hecho en la sección anterior.
PropiedadesEl modelo de Boole Matheron tiene muy buenas propiedades. Es infinitamente divisible, estable y calculable. De hecho, si es el grano principal del diagrama de Boole, tenemos la relación:
es la expectativa de la medida de Lebesgue del conjunto dilatado por el compacto .
La capacidad de Choquet aún se puede escribir:
es la erosión de lo complementario por lo compacto . Para probar un modelo de Boole Matheron por la capacidad de Choquet (o el funcional complementario), es suficiente estimar el contenido de erosionado por una o más familias de compactos . Cada familia está definida por el conjunto de compactos homotéticos. Un modelo de Boole Matheron se definirá por la densidad de Poisson y el grano primario caracterizado por una forma y una distribución de tamaño.
Si el grano primario es la geometría convexa y simple, el modelo Boolean Matheron será calculable por los parámetros estereológicos de grano promedio : . En el caso de granos esféricos, los parámetros estereológicos se pueden calcular a partir de los momentos 3, 2 y 1 de la distribución del tamaño de partícula . Tenemos, de hecho, las relaciones:
Finalmente, como una unión de modelos de Boole Matheron es siempre un modelo de Boole Matheron, hay muchas soluciones disponibles para abordar el modelado de una estructura real.
Algunos compactos son particularmente interesantes para probar un modelo de Boole Matheron. Estos son los puntos , los segmentos , los hexágonos de tamaño r , el bipunto y, para algunos modelos, el triplete de puntos definidos por los vértices de un triángulo equilátero. Para compactos convexos y llamando al contenido del conjunto complementario, tenemos las siguientes relaciones:
Para el bipoint , usamos el covariograma de media geométrica en lugar de la covarianza . El covariograma está relacionado con la covarianza por la expresión:
En el caso de los granos de pescado, tenemos:
Cuando tenemos granos esféricos, el covariograma geométrico es función de la distribución. Al llamar al tamaño máximo del grano primario, tenemos:
El patrón de hojas caídas es un esquema booleano secuencial. La versión monofásica del modelo se debe a Jeulin. La construcción es como sigue. Los granos primarios se generan mediante un proceso de densidad de Poisson . A diferencia del esquema booleano, los granos pueden superponerse. Los más antiguos pueden desaparecer debajo de los más nuevos. El proceso se puede detener después de un tiempo t. Si los medios no están completamente cubiertos, el proceso se parece un poco a un esquema booleano. También puede continuar hasta que esté parado. Luego, la partición cubre completamente el soporte.
En el caso de un modelo de “hoja muerta de dos fases”, los granos primarios de la fase 1 y la fase 2 aparecen sucesivamente con las respectivas densidades y . El proceso se repite hasta que está parado. Queda una estructura de dos fases, donde las dos fases están anidadas entre sí.
Construcción de un modelo de hoja caída de dos fases con discos azules y amarillos
Construcción completa de un modelo de hoja caída de dos fases con discos azules y amarillos
Estos modelos son infinitamente divisibles y por tanto generan modelos equivalentes en subespacios. La computabilidad no es tan fuerte como en el caso del esquema booleano. Las capacidades de Choquet sólo se pueden calcular para el punto bi distante de hy para el triplete de puntos distantes de h . Cuando se prueba el punto bi, usamos la función definida por:
con contenido de la fase 1 y el de la fase 2 y
A modo de ilustración, presentamos algunas realizaciones con discos circulares o polígonos de Poisson como granos primarios.
Patrón de hojas caídas de dos fases con discos azules y amarillos
Patrón de hoja caída de dos fases con granos de pescado azul y amarillo
Para construir una partición de Poisson polifásica, debemos construir una partición de una sola fase y asignar las clases a una fase determinada de forma aleatoria. Los parámetros del modelo (Miles) son el contenido de cada fase y que caracteriza la partición de Poisson. En el caso de la partición de Poisson de dos fases, se conservan las propiedades del sistema monofásico.
Leyes analíticas son conocidos por , y
En un modelo de Boole Matheron o un modelo de hoja muerta, los granos primarios pueden superponerse. Para construir el modelo Stienen, siempre comenzamos con un proceso de Poisson de densidad de puntos . Pero cada punto será reemplazado por la esfera más grande contenida en la celda de Voronoi correspondiente. En estas condiciones, las esferas no se superponen, pero pueden tocarse entre sí (figura de la izquierda). Se generalizó reduciendo el tamaño de las esferas en un factor (figura de la derecha).
Modelo Stienen con alpha = 1 (rojo) y partición Voronoi asociada (borde azul)
Modelo Stienen con alfa <1 y partición Voronoi asociada (borde azul)
En el caso del modelo inicial ( ), el contenido de las esferas es constante ya que tenemos:
Además, la distribución de las esferas es conocida ya que está directamente relacionada con la distribución de las distancias de los vecinos más cercanos de un proceso de Poisson. De hecho tenemos:
Porque las esferas ya no están en contacto (figura 14). La función de correlación de un par de puntos en función de la distancia r se puede calcular mediante integración numérica. Finalmente, para este modelo, solo tenemos una expresión compleja de la covarianza.