Lógica modal

En lógica matemática , una lógica modal es un tipo de lógica formal que extiende la lógica proposicional , la lógica de primer orden o la lógica de orden superior con modalidades . Una modalidad especifica cualidades de la verdad . Por ejemplo, una proposición como "está lloviendo" puede ir precedida de una modalidad:

Es necesario que llueva;
Mañana llueve;
Cristóbal Colón cree que está lloviendo;
Se muestra que está lloviendo;
Es obligatorio que llueva.

Hay una variedad de lógicas modales como la lógica temporal , la lógica epistémica (lógica del conocimiento). En informática , la lógica modal se utiliza por su expresividad y aspectos algorítmicos. Por ejemplo, la lógica de temporización se utiliza para especificar programas y luego verificarlos .

Lógica modal alética

En lógica modal alética (o aristotélica o clásica), identificamos cuatro modalidades:

necesario (que no puede ser cierto), anotado ; $\Caja$
contingente (que puede ser incorrecto), anotado ; $\ neg \ Box$
posible (que puede ser cierto), anotado ; $\ Diamante$
imposible (que no puede no estar mal), anotó. $\ neg \ Diamante$

Estas 4 modalidades están vinculadas, solo una es suficiente para definir las otras tres.

La interpretación intuitiva (no compartida por toda la comunidad filosófica-lógica) es la siguiente:

Necesario ≡ no imposible;
Cuota ≡ no es necesaria ≡ no es posible;
Posible ≡ no imposible.
Imposible = imposible.

Por lo tanto, distinguimos dos conectores duales unarios entre sí:

Lo necesario ; $\Caja$
Lo posible . $\ Diamante$

$\Caja$ p significa que p es necesariamente cierto, mientras que p significa que p es posiblemente verdadero, es decir, compatible con el conocimiento actual. $\ Diamante$

Ejemplos:

$\ neg \ Box$ trabajo: no es necesario que los alumnos trabajen;
$\ neg \ Diamante$ trabajo: los alumnos no pueden trabajar;
$\ Box \ neg$ trav: es necesario que los alumnos no trabajen;
$\ Diamante \ neg$ trav: es posible que los alumnos no trabajen.

En lógica modal alética (o aristotélica o clásica), podemos expresar los cuatro operadores usando solo uno (aquí la necesidad) y la negación. Entonces :

Imposible es ; $\ cuadrado \ neg$
Posible es . $\ neg \ cuadrado \ neg$

Una proposición necesaria no puede ser falsa sin implicar una contradicción , a contrario de una proposición contingente que puede ser falsa sin implicar una contradicción.

Diferentes lógicas modales

También se utilizan otros tipos de lógica modal, cuyos modos son:

epistémico (relacionado con el conocimiento):
- conocido por el agente , anotado $I$ $Esto}$
- cuestionable
- excluido
- plausible
- conocimiento común del grupo de agentes, señaló $GRAMO$ $CK_ {G}$
- conocimiento compartido del grupo de agentes, señaló (todos saben) $GRAMO$ $EK_ {G}$
deóntica (moral):
- obligatorio , anotado O
- prohibido , noté yo
- permiso , señaló P
- opcional , denotado F
temporal :
- siempre , anotado o G $\Caja$
- un día , anotado , oa veces F $\ Diamante$
- nunca notado $\ neg \ Diamante$
- mañana , señaló X
- hasta , operador binario denotado por U
- siempre en el pasado , señaló H
- pasó un día , señaló P
doxastic (sobre creencias):
- crudo , anotado B
- creencia común del grupo de agentes, señaló $GRAMO$ $CB_ {G}$
contrafactuales :
- Si A fuera cierto , donde sabemos que A no es cierto.
dinámica (efecto de acciones, señalado a , sobre proposiciones):
- Existe una ejecución de una forma que después de una , p es verdadera , señaló $\ langle a \ rangle p$
- p es verdadero después de cualquier ejecución de a , anotado . $[a] p$

Axiomas de la lógica modal

Cada lógica modal está provista de una serie de axiomas que definen el funcionamiento de las modalidades.

Así podemos construir diferentes sistemas según los axiomas admitidos.

El sistema K diseñado por Kripke y llamado sistema normal o Kripke. Admite los siguientes dos axiomas:
- (K) (axioma de distribución de Kripke); $\ Box (A \ rightarrow B) \ rightarrow (\ Box A \ rightarrow \ Box B)$
- (RN) (o (N) o (NEC) ) Si es un teorema, entonces también (regla de inferencia de necesidad). $A$ $\ Caja A$

El sistema D, diseñado agregando el axioma (D) al sistema K:
- (D ) (en la lógica aristotélica, esto expresa que la necesidad implica posibilidad ). $\ Caja P \ flecha derecha \ Diamante P$

El sistema T diseñado por Robert Feys en 1937 agregando el axioma (T) al sistema K:
- (T) (o (M) ): (en la lógica aristotélica, esto expresa que el hecho implica la posibilidad ). $P \ rightarrow \ Diamond P$

Los sistemas S4 y S5 definidos por Clarence Irving Lewis .
- Para construir S4, agregamos al sistema T el axioma (4) :
  - (4) . $\ Box p \ rightarrow \ Box \ Box p$
- Para construir S5, agregamos al sistema T el axioma (5) :
  - (5) (o (E) ) . $\ Diamante p \ flecha derecha \ Caja \ Diamante p$

El sistema B (o Brouwérien), diseñado por Oskar Becker en 1930, agregando el axioma (B) al sistema T.
- (B) : . $p \ flecha derecha \ Caja \ Diamante p$

Decimos que un sistema es más débil que otro cuando todo lo que se demuestra en el primer sistema se demuestra en el segundo, pero no al revés.

Esto prioriza, del más débil al más fuerte, los sistemas K, T, S4 y S5. Asimismo, K es más débil que D y T es más débil que B.

La serie de sistemas K a S5 forman una jerarquía anidada que constituye el núcleo de la lógica modal normal. El axioma (D) , por otro lado, se utiliza principalmente en lógicas deónticas, doxásticas y epistémicas.

Modelos de lógica modal

Los modelos de Kripke, o modelos de mundos posibles , dan semántica a las lógicas modales. Un modelo de Kripke son los datos:

de un conjunto no vacío de mundos posibles ; $W$
una relación binaria entre los mundos posibles llamada relación de accesibilidad; $R$
de una valoración que da un valor de verdad a cada variable proposicional en cada mundo posible. $V$

La semántica de un operador modal se define a partir de una relación de accesibilidad como sigue: la fórmula es verdadera en un mundo w si, y solo si la fórmula es verdadera en todos los mundos accesibles desde w por la relación . ${\ Displaystyle \ cuadrado A}$ $A$ $R$

Clasificación de sistemas lógicos modales

Los sistemas lógicos modales se organizan según las reglas de inferencia y los axiomas que los caracterizan.

Lógicas modales clásicas

Los sistemas de lógica modal clásica son aquellos que aceptan la siguiente regla de inferencia:

$(RE) {\ frac {A \ leftrightarrow B} {\ Box A \ leftrightarrow \ Box B}}$

Es habitual que a dicho sistema se le dé un nombre canónico del tipo , donde son los nombres de los axiomas del sistema. $E \ xi _ {1} \ xi _ {2} \ cdots \ xi _ {n}$ $\ xi _ {i}$

Lógicas modales monótonas

Los sistemas lógicos modales monótonos son aquellos que aceptan la regla de inferencia RM:

$(RM) {\ frac {A \ to B} {\ Box A \ to \ Box B}}$

El conjunto de sistemas monótonos se incluye en el conjunto de sistemas convencionales.

Lógicas modales regulares

Los sistemas lógicos modales regulares son aquellos que aceptan la regla de inferencia RR:

$(RR) {\ frac {(A \ cuña B) \ a C} {(\ Caja A \ cuña \ Caja B) \ a \ Caja C}}$

El conjunto de sistemas regulares se incluye en el conjunto de sistemas monótonos.

Lógica modal normal

Los sistemas lógicos modales normales son aquellos que aceptan la regla de inferencia RK:

$(RK) {\ frac {(A_ {1} \ wedge \ cdots A_ {n}) \ to B} {(\ Box A_ {1} \ wedge \ cdots \ Box A_ {n}) \ to \ Box B} }$

El conjunto de sistemas normales se incluye en el conjunto de sistemas regulares.

Una definición equivalente y más común de sistemas normales es la siguiente: se dice que un sistema lógico modal es normal si tiene el axioma (K) y acepta la regla de necesidad (RN) como regla de inferencia:

$(K) \ Caja (A \ a B) \ a (\ Caja A \ a \ Caja B)$

$(RN) {\ frac {A} {\ Box A}}$

Los sistemas normales son los más utilizados, porque son los que corresponden a la semántica de Kripke . Sin embargo, es posible encontrar semánticas para lógicas clásicas no normales, pero generalmente tienen propiedades más pobres.

Vincular con otras lógicas

La lógica intuicionista se puede construir sobre la lógica alética como lógica modal. La lógica modal es un fragmento de la lógica de primer orden.

Notas y referencias

Jacques Paul Dubucs "Lógica no convencional", en Encyclopaedia Universalis , Volumen 13, París, 1990, p. 977-992.

Ver también

enlaces externos

(en) James Garson, Modal Logic , The Stanford Encyclopedia of Philosophy , Edward N. Zalta (ed.), 2007.
(es) Probador S4 por el método de tableaux , Probador S4
(es) Ross Kirsling, Modal Logic Playground

Bibliografía

Patrick Blackburn, Maarten de Rijke y Yde Venema, Modal Logic , Cambridge University Press, 2001
(en) Brian F.Chellas, lógica modal, una introducción , Cambridge University Press,1980[ detalle de la edición ]
L. Fontaine, lógica modal y antropología. De las reglas a la palabra entre los indios Yucuna de la Amazonía colombiana . L'Homme , n. 184, 2007, 131-153.
P. Gochet, P. Gribomont, A. Thayse, Logique, Vol. 3: métodos para la inteligencia artificial, París, Hermès-Lavoisier, 2000, 394p. (Resumen muy completo en francés de las principales lógicas modales).