Homología singular

En topología algebraica , la homología singular es una construcción que permite asociar un espacio topológico X con una secuencia homológica de grupos o módulos abelianos libres . Esta asociación es una invariante topológica no completa, es decir que si dos espacios son homeomorfos entonces tienen los mismos grupos de homología singular en cada grado pero lo contrario es falso.

Origen: integración de formas diferenciales cerradas

El teorema de Stokes aplicado a formas cerradas da cero integrales. Sin embargo, se basa en un supuesto crucial de compacidad. En presencia de agujeros en la variedad subyacente, se pueden construir formas cerradas con integrales de borde distintas de cero. Por ejemplo,

\ omega (x, y) = - {\ frac y {x ^ {2} + y ^ {2}}} {\ mathrm d} x + {\ frac x {x ^ {2} + y ^ {2} }} {\ mathrm d} y

Forma 1 definida en ℝ 2 \ {(0, 0)}. Comprobemos su cierre:

{\ mathrm d} \ omega = \ izquierda ({\ frac {\ parcial \ omega _ {y}} {\ parcial x}} - {\ frac {\ parcial \ omega _ {x}} {\ parcial y}} \ right) {\ mathrm d} x \ wedge {\ mathrm d} y = \ left ({\ frac {y ^ {2} -x ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2} ) ^ {2}}} + {\ frac {x ^ {2} -y ^ {2}} {(x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2}}} \ right) {\ mathrm d} x \ wedge {\ mathrm d} y = 0.

Sin embargo, su circulación a lo largo del círculo unitario no es cero:

\ anint _ {{S ^ {1}}} \ omega = \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} \ omega (\ cos \ theta, \ sin \ theta) \ cdot (- \ sin \ theta , \ cos \ theta) ~ {\ mathrm d} \ theta = \ int _ {0} ^ {{2 \ pi}} 1 ~ {\ mathrm d} \ theta = 2 \ pi.

De hecho, es el agujero en el origen lo que impide que se aplique el teorema de Stokes. Si dibujamos el círculo en otra parte del plano, de modo que ya no rodee el origen, la circulación de ω se cancelará. Los contornos de integración cerrados y las formas diferenciales cerradas permiten medir las características topológicas de la variedad subyacente.

Sin embargo, los contornos de integración tienen una estructura algebraica de un grupo abeliano . Podemos agregar dos contornos; esto quiere decir que integraremos las formas en cada una y que sumaremos los resultados. Por otro lado, queremos declarar nulos los contornos que integran en 0 todas las formas cerradas; según el teorema de Stokes, todos estos son contornos que encierran un compacto. Estos contornos llamados aristas forman un subgrupo , mediante el cual se puede cociente para obtener la información topológica buscada: las diferentes formas de integrar las formas diferenciales cerradas.

La homología singular abstrae esta medida algebraica de las propiedades topológicas de un espacio, rompiendo con las nociones analíticas de variedad diferencial, forma integral y diferencial.

El complejo

Antes de definir la homología singular de un espacio topológico X , es necesario introducir algunas definiciones.

Símplex

Llamamos simplex estándar Δ n de dimensión n la envolvente convexa en ℝ n de los puntos e 0 , e 1 ,…, e n , donde e 0 = (0,…, 0) y e i = (0,…, 0 , 1, 0,…, 0), colocándose el 1 en la i- ésima posición.

A simplex singular de dimensión n de X es una aplicación continua de Δ n en X . Por lo tanto, un 0-simplex se identifica con un punto X . Un 1-simplex es un camino que conecta dos puntos (posiblemente confusos). Un 2-simplex es un triángulo relleno con X (o más bien una aplicación del triángulo Δ 2 en X ).

Luego consideramos las sumas formales de n -simplexes, es decir los mapas con soporte finito, definidos sobre el conjunto de n -simplexes de X y con valores enteros. Se llaman n - cadenas . Por ejemplo, una cadena 0 se escribe en la forma ∑ n P P donde n P es un número entero relativo para cualquier punto P de X , siendo la suma finita. El conjunto M n de n- cadenas constituye un grupo abeliano libre (o un módulo libre si nos colocamos en un anillo distinto de ). $\ mathbb {Z}$

Por convención, M - 1 = 0 .

La aplicación a bordo

Denotamos por ∂ 0 el mapa (nulo) de M 0 en M –1 .

Si σ es un simplex de X de dimensión n > 0, la i -ésima cara orientada σ i de σ es la restricción del mapa al simplex estándar de dimensión n - 1, envolvente convexa de los puntos e 0 ,…, e i - 1 , e i + 1 ,…, e n . La arista ∂σ de σ es por definición igual a

\ parcial \ sigma = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} (- 1) ^ {i} \ sigma _ {i}.

La aplicación del borde se extiende por linealidad a las cadenas. Entonces obtenemos un morfismo ∂ n de M n a M n - 1 . El borde de una cadena comparte analogías con la noción de límite de una parte, pero este último es una parte de X mientras que el borde es un objeto puramente algebraico, sobre el cual podemos realizar operaciones.

Por ejemplo, el borde de un punto de conexión 1-simplex P con el punto Q es la cadena 0 Q - P. El borde de un 2-simplex con vértices P, Q, R es 1-cadena (QR) - (PR) + (PQ), observando (QR) la ruta que conecta Q con R, restringida al primer lado de Δ 2 . Tenga en cuenta que, si tomamos el borde de (QR) - (PR) + (PQ), obtenemos R - Q - R + P + Q - P = 0.

De manera más general, se muestra que la composición sucesiva de dos aplicaciones de borde es cero. En otras palabras, ∂ n ∘ ∂ n + 1 = 0. Decimos que la secuencia de grupos o módulos M n , provistos del borde del mapa, forma un complejo de cadenas .

En general, el conjunto construido es "muy grande" e incalculable en la práctica. Por ejemplo, el primer grupo de índice de cero, es el grupo formales son, con coeficientes enteros puntos relativos de la zona de estudio: es un grupo abeliano libre de rango el cardinal de X .

Ciclos y aristas, grupos de homologías

Dado que ∂ n ∘ ∂ n + 1 = 0, tenemos Im (∂ n + 1 ) ⊂ Ker (∂ n ) . Los elementos de Im (∂ n + 1 ) se denominan aristas ; estos son los canales que son imágenes de otro canal por la aplicación integrada. Los elementos de Ker (∂ n ) se denominan ciclos ; estas son las cadenas cuyo borde es cero. Cada borde es un ciclo.

El grupo cociente o cociente módulo Ker (∂ n ) / Im (∂ n + 1 ) es el n -ésimo grupo H n de singular homología del espacio topológico X . Es un invariante topológico. Por tanto, asociamos con cualquier espacio topológico una secuencia de grupos abelianos.

Por ejemplo, para dos puntos P y Q, el ciclo P - Q se considerará cero en el grupo de homología cero H 0 si es un borde. Simplemente es el borde de un camino de P a Q. Este es el caso si P y Q están en el mismo componente conectado por arcos de X .

Resultados

El cálculo efectivo de los grupos de homología H 0 , H 1 , H 2 , ... es en general difícil. Damos aquí los resultados más clásicos. Una versión simplificada de la homología singular, la homología simplicial permite calcular los grupos de homología de espacios topológicos admitiendo una triangulación .

El punto : todos los grupos son cero , excepto H 0 que es isomorfo a ℤ.
La bola B n de ℝ n : como el punto, ya que la bola es contráctil .
La esfera S n de ℝ n + 1 , para n ≥ 1: todos los grupos son cero excepto H 0 y H n que son isomorfos a ℤ.
El plano proyectivo real P 2 (ℝ):
H 0 = ℤ
H 1 = ℤ / 2ℤ
H q = 0 si q ≥ 2.
Más en general, la verdadera proyectiva espacio P n (ℝ):
H 0 = ℤ
H q = 0 si 1 < q ≤ n y q incluso
H q = ℤ / 2ℤ si 1 ≤ q < n y q impar
H n = ℤ si n impar
H q = 0 si q > n .
El espacio proyectivo complejo P n (ℂ):
H q = ℤ si 0 ≤ q ≤ n y q incluso
H q = 0 en otro caso
El toro T 2 :
H 0 = ℤ
H 1 = ℤ 2
H 2 = ℤ
H q = 0 si q > 2.

La siguiente tabla muestra los grupos de homología para algunos espacios topológicos habituales, con coeficientes, números enteros, números enteros módulo 2 o reales.

Nombre del espacio topológico	Grupos de homología con coeficientes enteros	Grupos de homología de coeficientes enteros de módulo 2	Grupos de homología con coeficientes reales
Espacio euclidiano R n	H * ( R n , Z ) = 0	H * ( R n , Z 2 ) = 0	H * ( R n , R ) = 0
Esfera S n	H * ( S n , Z ) = Z [0] + Z [n]	H * ( S n , Z 2 ) = Z 2 [0] + Z 2 [n]	H * ( S n , R ) = R [0] + R [n]
Espacio proyectivo P n ( R )	H _p ( P n R , Z ) = Z si p = 0 o p = n impar; Z / 2 Z si 0 <p <n + 1, 0 en caso contrario	H * ( P norte R , Z 2 ) = Z 2 [0] + Z 2 [1] + ... + Z 2 [n]

Propiedades

Homología y conectividad por arcos.

Si ( X k ) es la familia de componentes conectados por arcos de X , entonces, para todo q , H q ( X ) es la suma directa de H q ( X k ). Por lo tanto, es suficiente buscar los grupos de homología de espacios conectados por arcos .

En el caso particular de un espacio no vacío X conectado por arcos, el grupo de homología cero H 0 ( X ) es canónicamente isomorfo a ℤ (oa A si consideramos los módulos en un anillo A ).

Demostración

La forma lineal ε en Ker (∂ 0 ) = M 0 que en cualquier punto de X asocia 1 es sobreyectiva (porque X no está vacía) y se desvanece sobre Im (∂ 1 ). Por el contrario, cualquier elemento c = ∑ n P P de su núcleo es una arista porque al fijar un punto Q de X y elegir, para todo P , una trayectoria σ P de Q a P , encontramos ∂ 1 (∑ n P σ P ) = ∑ norte P ( P - Q ) = c - ε ( c ) Q = c . Concluimos con el teorema de factorización .

En el caso general, H 0 ( X ) es el grupo abeliano libre (o módulo libre) en el conjunto de arcos por componentes X conectados .

Sea X un espacio conectado por arcos. Un ciclo 1 de X es una cadena 1 con borde cero. Intuitivamente, podemos verlo como un camino que se cierra, o un cordón . Por cierto, un borde de 1 es el borde de una cadena de 2. Si este borde se rompe en dos ciclos, estos dos ciclos se considerarán iguales en el grupo de homología H 1 ( X ), siendo este último el cociente del conjunto de ciclos por el conjunto de bordes. Además, se entiende que se puede deformar continuamente uno de los ciclos en otro pasando a través de la superficie de la que constituyen los bordes. Entonces reconocemos la noción de homotopía . Por tanto, no es sorprendente que exista una relación entre el primer grupo de homotopía o grupo fundamental de Poincaré $π$ 1 ( X ) y el primer grupo de homología H 1 . El teorema de Hurewicz establece que la aplicación, a una clase de homotopía de guiñada asocia la clase de homología de la cadena 1 correspondiente a esta guiñada es un morfismo sobreyectivo $π$ 1 ( X ) en H 1 ( X ), cuyo núcleo es el subgrupo de los interruptores. de $π$ 1 ( X ). De ello se deduce que H 1 ( X ) es el abelianizado de $π$ 1 ( X ), es decir, isomorfo a $π$ 1 ( X ) después de haber hecho conmutativa la ley de composición del grupo. Por ejemplo, el grupo fundamental de un espacio X en forma de 8 es el grupo libre generado por dos elementos. Su grupo de homología H 1 es el grupo abeliano libre generado por dos elementos.

Dos áreas con el mismo tipo de homotopía (y mucho menos dos espacios homeomórficos) son casi isomórficas, por lo tanto, tienen los mismos grupos de homología, pero lo contrario no es cierto: por ejemplo, si G es un grupo perfecto no trivial , la homología del espacio K de Eilenberg-MacLane ( G , 1) es el mismo que el del punto, pero no su grupo fundamental.

Números de Betti y característica de Euler

El n- ésimo número de Betti b n del espacio X es el rango (en) de su n- ésimo grupo de homología H n . (Cuando este grupo es de tipo finito , es el número de generadores del grupo abeliano libre obtenido cociente de H n por su subgrupo de torsión , constituido por sus elementos de orden finito).

Luego definimos la característica de Euler de X como igual a:

\ chi (X) = \ sum _ {n} (- 1) ^ {n} b_ {n}

si esta suma tiene sentido.

En el caso de un espacio X construido a partir de $un$ 0 puntos, conectados por $un$ 1 caminos, unidas por $un$ 2 caras, etc. (ver " Homología celular " y " Complejo CW " para una descripción más completa) mostramos que:

\ chi (X) = \ sum _ {n} (- 1) ^ {n} a_ {n}.

Generalizaciones

Finalmente, mencionemos que los métodos inspirados en la homología singular se aplican en geometría algebraica , en el marco de las teorías homotópicas de diagramas ( fr ) . Su objetivo es definir una cohomología motívica y tienen una repercusión espectacular en la aritmética .

Notas y referencias

Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo titulado " Lista de grupos de homología " (ver la lista de autores ) .

(en) Allen Hatcher , Topología Algebraica , Nueva York, CUP ,2001, 544 p. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , leer en línea ) , pág. 109.

Ver también

Bibliografía

(en) Glen E. Bredon (en) , Topology and Geometry [ detalle de la edición ]
(en) Marvin Greenberg, Conferencias sobre topología algebraica , WA Benjamin, Nueva York
(es) Edwin Spanier , Topología algebraica , McGraw-Hill
Michel Zisman , topología algebraica elemental , Armand Colin ,1972