Conectividad por arcos

En matemáticas , y más particularmente en topología , la conexión por arcos es un refinamiento de la noción de conexión . Se dice que un espacio topológico está conectado por arcos si dos puntos cualesquiera siempre pueden estar conectados por una ruta . Aunque la conexión es la noción fundamental, la conexión mediante arcos es más intuitiva y, con mucha frecuencia, se considera que es la mejor manera de demostrar la conexión.

Rutas

Antes de definir la conectividad por arcos, es necesario definir lo que se llama "conectar por un camino". Dependiendo del entorno en el que uno se encuentre, se pueden considerar caminos particulares.

Si E es un espacio topológico y si x e y son dos puntos de E , que llamamos origen x y al final trayectoria y cualquier función continua tal que y . γ:[0,1]→mi{\ Displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow E}γ(0)=X{\ Displaystyle \ gamma (0) = x}γ(1)=y{\ Displaystyle \ gamma (1) = y}

Decimos que x e y conectados si hay un camino de origen x y final y .

La relación "  x está conectado a Y  " es una relación de equivalencia en E , cuyas clases de equivalencia se denominan componentes relacionados por arcos de E .

Demostración

• x está relacionado con x , gracias a la ruta constante para todo;γ(t)=X{\ Displaystyle \ gamma (t) = x}t∈[0,1]{\ Displaystyle t \ in [0,1]}
• si x está vinculado ay entonces y está vinculado ax , gracias al camino opuesto para todo  ;γ¯(t)=γ(1-t){\ Displaystyle {\ overline {\ gamma}} (t) = \ gamma (1-t)}t∈[0,1]{\ Displaystyle t \ in [0,1]}
• si x está relacionado con y e y está relacionado con z, entonces x está relacionado con z . En efecto, si se conecta x a y y se conecta y a z entonces el trazado compuesto definido por si y si se conecta x a z .γ1{\ Displaystyle \ gamma _ {1}}γ2{\ Displaystyle \ gamma _ {2}} γ=γ2⋆γ1{\ Displaystyle \ gamma = \ gamma _ {2} \ star \ gamma _ {1}}γ(t)=γ1(2t){\ Displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {1} (2t)}0≤t≤1/2{\ Displaystyle 0 \ leq t \ leq 1/2}γ(t)=γ2(2t-1){\ Displaystyle \ gamma (t) = \ gamma _ {2} (2t-1)}1/2≤t≤1{\ Displaystyle 1/2 \ leq t \ leq 1}

Rutas en un espacio vectorial normalizado

Si el espacio ambiental E es un espacio vectorial normalizado , se puede especificar la naturaleza de los caminos que conectan los puntos.

• Caminos rectos: se dice que un camino es recto si se puede escribir para todo . El vector se llama vector director de . El soporte del camino es entonces un segmento de línea.γ(t)=X+ttu→{\ Displaystyle \ gamma (t) = x + t {\ vec {u}}}t∈[0,1]{\ Displaystyle t \ in [0,1]}tu→{\ Displaystyle {\ vec {u}}}γ{\ Displaystyle \ gamma}
• Caminos poligonales: se dice que un camino es poligonal si se escribe como un compuesto de un número finito de caminos rectilíneos. Por ejemplo, un paseo en Manhattan es un camino poligonal.
• Rutas de clase  : una ruta puede ser de clase con . De hecho, cualquier camino es de clase, es decir continuo, pero podemos tener mayores niveles de regularidad. Se dirá que una ruta de clases con es más regular si para todo . Se dice que una ruta de clases regular es una ruta sin problemas .VSk{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} VSk{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈NO{\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}VS0{\ displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {0}}VSk{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}k∈NO∗{\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N} ^ {*}}γ′(t)≠0{\ Displaystyle \ gamma '(t) \ neq 0}t∈[0,1]{\ Displaystyle t \ in [0,1]}VS∞{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}

Conectividad por arcos

Estos diferentes tipos de caminos permitirán definir diferentes tipos de conectividad por arcos según el caso.

Definición

Un espacio topológico E se dice camino conectado si cada par de puntos de E está conectado por un camino en el que el soporte se incluye en E .

Parte A de E (proporcionado con el topología inducida ) es camino conectado si y sólo si cada par de puntos de A está conectado por un camino restante en A .

Se dice que una parte A de un espacio vectorial normalizado está conectada por arcos poligonales (respectivamente por arcosVSk{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}} ) si dos puntos cualesquiera de A pueden conectarse por una trayectoria poligonal (respectivamente de clase ). VSk{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Ejemplos de

• En un espacio vectorial normalizado, una parte convexa o en estrella está conectada por arcos.
• Un círculo está conectado por arcos pero no por arcos poligonales.VS∞{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• Un cuadrado está conectado por arcos poligonales pero no por arcos .VS∞{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {\ infty}}
• El plano privado de una parte contable (o incluso “  solo  ” que no tiene la potencia del continuo ) está conectado por arcos poligonales y por arcos C ∞ .
• El grupo especial ortogonal SO ( n , ℝ) y el grupo lineal general GL ( n , ℂ) están conectados por arcos (para la topología inducida por una norma sobre M n (ℂ)).
• El grupo lineal general GL ( n , ℝ) tiene dos componentes conectados por arcos.

Vincular con la conectividad

Cualquier espacio conectado por arcos está conectado , pero lo contrario es falso. He aquí un contraejemplo clásico. Definimos una función f por

F:]0,1]→RX↦pecado⁡(1X).{\ Displaystyle {\ begin {matrix} f: &] 0,1] & \ to & \ mathbb {R} \\ & x & \ mapsto & \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ derecha). \ end {matriz}}}

Esta función es continua en] 0, 1]. Denotamos por Γ su gráfica y C la adhesión de Γ: Γ={(X,F(X))|X∈]0,1]},VS=Γ¯=Γ∪({0}×[-1,1]).{\ Displaystyle \ Gamma = \ {(x, f (x)) | x \ in] 0,1] \}, \ quad C = {\ overline {\ Gamma}} = \ Gamma \ cup \ left (\ { 0 \} \ times [-1,1] \ right).}

Entonces Γ está conectado (como un gráfico de una función continua sobre un intervalo real ) por lo que su adhesión C también, pero C no está conectado por arcos.

Asimismo, la curva sinusoidal del topólogo Γ ∪ {(0, 0)} está conectada pero no conectada por arcos.

Sin emabargo:

• en ℝ , provisto de la topología habitual, las partes conectadas (los intervalos ) están conectadas por arcos;
• más generalmente, cualquier espacio conectado y conectado localmente por arcos (por ejemplo: cualquier espacio abierto conectado de un espacio vectorial normalizado como el espacio euclidiano ) está conectado por arcos.

Enlace con continuidad

La conectividad por arcos, como la conectividad, se conserva mediante asignaciones continuas . Si es un mapa continuo entre dos espacios topológicos y si el espacio inicial E está conectado por arcos, entonces su imagen f ( E ) está conectada por arcos. F:mi→F{\ displaystyle f: E \ rightarrow F}

Demostración

Si , entonces existen a y b en E tales que y . El espacio E está conectado por arcos, hay un camino que conecta a con b . El mapa compuesto es continuo, y se conecta x a y , que muestra que f ( X ) está conectado por arcos. (X,y)∈F(mi)2{\ displaystyle (x, y) \ in f (E) ^ {2}}X=F(a){\ Displaystyle x = f (a)}y=F(B){\ Displaystyle y = f (b)}γ:[0,1]→X{\ Displaystyle \ gamma: [0,1] \ rightarrow X} γ′=F∘γ:[0,1]→F(mi){\ Displaystyle \ gamma '= f \ circ \ gamma: [0,1] \ rightarrow f (E)}

Tenemos resultados similares para los tipos más específicos de conectividad por arcos:

• la conexión por arcos poligonales es preservada por los mapas lineales y por los mapas afines  ;
• la conexión por arcos es preservada por las - difeomorfismos .VSk{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}VSk{\ Displaystyle {\ mathcal {C}} ^ {k}}

Producto

Cualquier producto de espacios conectados por arcos está conectado por arcos.

En efecto, si x y y son dos puntos de y si la están conectadas por arcos, existe para cada índice i de una trayectoria con los valores en tal que: , . El camino definido por luego se une x a y . mi=∏I∈ImiI{\ Displaystyle E = \ prod _ {i \ in I} E_ {i}}miI{\ Displaystyle E_ {i}}γI{\ Displaystyle \ gamma _ {i}}miI{\ Displaystyle E_ {i}}γI(0)=XI{\ Displaystyle \ gamma _ {i} (0) = x_ {i}}γI(1)=yI{\ Displaystyle \ gamma _ {i} (1) = y_ {i}}γ:[0,1]→mi{\ Displaystyle \ gamma: [0,1] \ to E}γ(t)=(γI(t))I∈I{\ Displaystyle \ gamma (t) = (\ gamma _ {i} (t)) _ {i \ in I}}

Nota

1. Ver, por ejemplo, este ejercicio corregido sobre Wikiversity .

Ver también

Conectividad simple

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