Grupo de homotopía

En matemáticas , y más particularmente en topología algebraica , los grupos de homotopía son invariantes que generalizan la noción de grupo fundamental a dimensiones superiores.

Definición

Hay varias posibles definiciones equivalentes.

Primera definicion

Deje X un espacio topológico y un punto de X . Sea la bola unitaria de dimensión i del espacio euclidiano . Su borde es la unidad de dimensión esfera . $x_ {0}$ ${\ mathcal {B}} ^ {i}$ ${\ mathbb {R}} ^ {i}$ $\ parcial {\ mathcal {B}} ^ {i} = {\ mathcal {S}} ^ {{i-1}}$ $i-1$

El i -ésimo grupo homotopy mayor es el conjunto de clases de homotopía relativos a aplicaciones continuas , tales como: . $\ pi _ {i} (X, x_ {0})$ ${\ mathcal {S}} ^ {{i-1}}$ $f: {\ mathcal {B}} ^ {i} \ a X$ $f ({\ mathcal {S}} ^ {{i-1}}) = \ {x_ {0} \}$

Por lo tanto, un elemento de está representado por una función continua desde la i -ball a X , que envía la -esfera al punto de referencia , definiéndose la función módulo homotopía relativa a . $\ pi _ {i} (X, x_ {0})$ $(i-1)$ $x_ {0} \ en X$ ${\ mathcal {S}} ^ {{i-1}}$

Segunda definición

Al identificar el borde de la bola en un punto , obtenemos una esfera y cada elemento de está definido por las clases de homotopía de los mapas mediante los cuales se transforma el punto base de la esfera . Podría decirse que los componentes del grupo son los componentes conectados de los espacios topológicos aplicaciones para las cuales tenemos: . ${\ mathcal {B}} ^ {i}$ $s_ {0}$ ${\ mathbb {S}} ^ {i}$ $\ pi _ {i} (X, x_ {0})$ ${\ mathbb {S}} ^ {i} \ a X$ $s_ {0}$ $x_ {0}$ $\ pi _ {i} (X, x_ {0})$ ${\ mathbb {S}} ^ {i} \ a X$ $s_ {0} \ mapsto x_ {0}$

Para definir una operación sobre clases de homotopía, es útil identificar la bola con el cubo de dimensión i en ℝ i . ${\ mathcal {B}} ^ {i}$ ${\ mathbb {I}} ^ {i} = [0,1] ^ {i}$

La definición del producto es la siguiente: La suma de dos aplicaciones del cubo es la aplicación definida por la fórmula: $f, g: ({\ mathbb {I}} ^ {i}, {\ mathbb {S}} ^ {{i-1}}) \ to (M, x_ {0})$ $f + g: ({\ mathbb {I}} ^ {i}, {\ mathbb {S}} ^ {{i-1}}) \ to (M, x_ {0})$

$(f + g) (t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) = f (2t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) {\ text {para }} t_ {1} \ in \ left [0,1 / 2 \ right]$

$(f + g) (t_ {1}, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) = g (2t_ {1} -1, t_ {2}, \ ldots, t_ {n}) {\ text {for}} t_ {1} \ in \ left [1 / 2,1 \ right].$

Cuando pasamos a clases de homotopía, la ley de composición obtenida es asociativa , unificada , todo elemento admite una inversa y la ley es conmutativa si i ≥ 2.

Por lo tanto, definimos un grupo conmutativo si i ≥ 2 (cf. Argumento de Eckmann-Hilton (en) ).

Obtenemos el grupo fundamental si i = 1.

Propiedades y herramientas

Tenemos una generalización de grupos de homotopía.

Deje X un espacio topológico, A ⊂ X y x un punto X .

Sea I r = [0, 1] r y J r = (∂ I r -1 × I ) ∪ ( I r -1 × {1}) = ∂ I r \ int ( I r -1 × {0}) .

El r º de grupo homotopy relativa es el conjunto de mapas continuos homotopy clases tales como: , , , con los mismos homotopías de forma. $\ pi _ {r} (X, A, x)$ $f: (I ^ {r}, \ parcial {I ^ {r}}, J ^ {r}) \ to (X, A, x)$ $f (I ^ {r}) \ subconjunto X$ $f (\ parcial {I ^ {r}}) \ subconjunto A$ $f (J ^ {r}) = x$

$\ pi _ {r} (X, x, x) = \ pi _ {r} (X, x)$ por tanto, los grupos de homotopía son casos especiales de grupos de homotopía relativa.
En cuanto a los grupos de homotopía, definimos un grupo conmutativo si r > 2.
Tenemos una secuencia larga y exacta : $\ cdots \ rightarrow \ pi _ {n} (A, x) {\ xrightarrow {i _ {*}}} \ pi _ {n} (X, x) {\ xrightarrow {j _ {*}}} \ pi _ {{n}} (X, A, x) {\ xrightarrow {d}} \ pi _ {{n-1}} (A, x) \ rightarrow \ cdots$ donde i y j son las inclusiones yd proviene de la restricción de a . $(Yo ^ {r}, \ parcial {I ^ {r}}, J ^ {r})$ $Yo ^ {{r-1}}$

Sea p : E → B una fibración de fibra F ; si B está conectado por arcos, entonces tenemos una larga secuencia de homotopía exacta :

\ cdots \ a \ pi _ {n} (F) \ a \ pi _ {n} (E) \ a \ pi _ {n} (B) \ a \ pi _ {{n-1}} (F) \ a \ cdots \ a \ pi _ {1} (F) \ a \ pi _ {1} (E) \ a \ pi _ {1} (B) \ a \ pi _ {0} (F)

Para un espacio topológico X , tenemos dos familias de grupos asociados con X : los grupos de homotopía (relativos) señalados y los grupos de homología singular (relativa) señalados . Los grupos de homología son más fáciles de calcular que los grupos de homotopía, y uno se pregunta sobre el vínculo entre estas dos familias de grupos. $\ pi _ {i} (X, A, x_ {0})$ $H_ {i} (X, A)$

Tenemos un morfismo de grupo natural . $h_ {n}: \ pi _ {n} (X, A, *) \ to H_ {n} (X, A)$

Si están conectados por arcos y si el par (X, A) está conectado n-1, entonces: $A \ subconjunto X$ $n \ geq 2$

en primer lugar el teorema relativo de Hurewicz establece que (i <n) y el morfismo Hurewicz es un epimorfismo cuyo núcleo es generado por los elementos con y ; en particular, si , entonces es un isomorfismo; $H_ {i} (X, A) = 0$ $\ omega (\ beta) - \ beta$ $\ omega \ in \ pi _ {1} (A, *)$ $\ beta \ in \ pi _ {n} (X, A, *) = 1$ $\ pi _ {1} (A, *) = 1$ $h_ {n}$
por otro lado, el teorema absoluto de Hurewicz (A = *) afirma que si X está n-1 -conectado, tenemos (i <n) y que el morfismo de Hurewicz es un isomorfismo. $n \ geq 2$ $H_ {i} (X, *) = 0$

Para n = 1, consulte el " teorema de Hurewicz ".

Teorema de Whitehead para complejos CW (complejos celulares)

Teoremas de la periodicidad de Bott

Espacios asféricos, espacios de Eilenberg MacLane y teoría de la obstrucción

Se dice que un espacio es asférico o una K (π, 1) si sus grupos de homotopía son triviales excepto su $π 1$ .

Métodos de cálculo

A diferencia del grupo fundamental ( i = 1) y los grupos de homología y cohomología , no existe un método simple para calcular los grupos de homotopía tan pronto como i ≥ 2 (falta un análogo de los teoremas de escisión y Van-Kampen ).

Grupos de Case of Lie

El grupo fundamental de un grupo de Lie , o más generalmente de un espacio H (en) , es conmutativo y la acción de $π 1$ sobre $π i$ es trivial.

Ver también

Bibliografía

Boris Doubrovine (de) , Anatoli Fomenko y Sergueï Novikov , Geometría contemporánea - Métodos y aplicaciones ,1984[ detalle de ediciones ], Vuelo. 2 y 3
Jean Dieudonné , Elementos de análisis , Jacques Gabay, vol. 9
(in) Allen Hatcher , Topología algebraica , Nueva York, Cambridge University Press ,2001, 544 p. ( ISBN 978-0-521-79540-1 , leer en línea )