Una cohomología motívica es una teoría cohomológica en matemáticas cuya existencia fue conjeturada por primera vez por Alexandre Grothendieck en la década de 1960 . En ese momento, se concibió como construido sobre la base de conjeturas estándar (en) sobre ciclos algebraicos , en geometría algebraica . Se basa en la teoría de categorías , lo que permite deducir consecuencias de estas conjeturas. Grothendieck y Bombieri mostraron la profundidad de este enfoque al derivar una evidencia preliminar (en) de las conjeturas de Weil de esa manera. Sin embargo, no se ha encontrado evidencia de conjeturas estándar.
Al aplicar la teoría de la homotopía y las técnicas de la teoría K a la geometría algebraica, Vladimir Vojevodsky construyó una cohomología motívica doblemente graduada H p, q ( X ) para variedades algebraicas . No sabemos si estos grupos se anulan entre sí cuando p es estrictamente negativo; esta es la suposición de anulación. De lo contrario, esta teoría verifica todas las propiedades sugeridas por Grothendieck. Vojevodsky obtuvo dos construcciones de la cohomología motívica de variedades algebraicas: (a) a través de la teoría de homotopía de variedades algebraicas, en forma de una categoría modelo cerrada , (b) a través de una categoría triangulada DM de razones .
Si la conjetura de cancelación es cierta, entonces hay una categoría abeliana de patrones y DM es su categoría derivada .