En matemáticas , se dice que un espacio topológico es contráctil si es homotópicamente equivalente a un punto. Todos sus grupos de homotopía son por tanto triviales , al igual que sus grupos de homología de grado> 0.
Cualquier espacio vectorial normalizado (o incluso: cualquier espacio vectorial topológico en ℝ ) es contráctil, comenzando con la línea real y el plano complejo .
De manera más general, cualquier parte estrellada de dicho espacio (en particular: cualquier convexo no vacío, como un intervalo real o un disco ) es claramente contráctil.
El cono de cualquier espacio topológico es contráctil.
La n -esfera S n no es contráctil aunque, para n ≥ 2, simplemente está conectada .
De hecho, una variedad compacta de dimensión n> 0 nunca es contráctil. Consulte el apéndice de, donde este resultado se denomina "teorema fundamental de la topología diferencial".
La esfera unitaria de un espacio de Hilbert de dimensión infinita H es contráctil (e incluso difeomórfica a H ). De manera más general, en cualquier espacio vectorial normalizado de dimensión infinita, la esfera unitaria es contráctil.
Un complejo CW en el que todos los grupos de homotopía son triviales es contráctil. Por tanto, es lo mismo para un colector M de clase C ∞ . Además, en este caso, el mapa de identidad de M es homotópico a un mapa constante por una homotopía no solo continua sino de clase C ∞ . De hecho, tan pronto como dos mapas suaves entre variedades suaves son continuamente homotópicos, son C ∞- homotópicos.
El "círculo polaco", obtenido añadiendo a la curva sinusoidal cerrada del topólogo un arco que une (0, –1) a (1, sin 1), no es contráctil, aunque todos sus grupos homotópicos son triviales.
Hay espacios que, aunque contráctiles, es decir que se retraen por deformación en (un subespacio reducido a) un punto, no se retraen fuertemente por deformación en un punto.
Sea X un espacio topológico no vacío. Las siguientes declaraciones son equivalentes: