Divergencia (análisis de vectores)

En geometría , la divergencia de un campo vectorial es un operador diferencial que mide la falta de conservación del volumen bajo la acción del flujo de este campo.

El operador de divergencia es una herramienta de análisis vectorial que mide, en pocas palabras, si un campo vectorial "entra" o "sale" de una zona del espacio, como se puede observar en un diagrama de líneas de campo. Por lo tanto, brinda información estrechamente vinculada a las fuentes que crean el campo. Las ecuaciones de continuidad permiten comprender intuitivamente esta noción, la divergencia efectivamente medirá localmente las variaciones en la densidad de flujo, encontramos esta magnitud, macroscópicamente esta vez, en los valores de difusión de partículas o calor por ejemplo. Así, en un punto, si la divergencia es cero, entonces la densidad no varía y si es positiva en este punto, entonces hay difusión.

En mecánica de fluidos, si un fluido entra en un tubo comprimible con más fuerza de la que sale por el otro extremo, el tubo tenderá a ver aumentar su presión interna y, por tanto, también su volumen. Sin embargo, la divergencia no caracteriza el comportamiento del tubo, sino las características del flujo de material, que pueden influir en el volumen atravesado.

Más precisamente, sea la trayectoria del campo X resultante de x . $t \ mapsto \ phi _ {t} (x)$

Estas trayectorias están organizadas en una familia de transformaciones (el flujo de X ), y para cualquier dominio D tenemos $x \ mapsto \ phi _ {t} (x)$

{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ operatorname {vol} (\ phi _ {t} (D)) _ {\ vert t = 0} = \ int _ {D} \ operatorname {div} X \ mathrm {d} \ mathbf {x}

Un campo con divergencia cero es un campo que conserva el volumen, como el campo de los vectores de velocidad de un flujo incompresible.

Así, div X es una función de valor real que mide la variación primaria de volumen a lo largo de las trayectorias de dicho campo.

Debido a su uso en cálculos de flujo de campo vectorial, la divergencia ocurre en física para expresar leyes de conservación, así como para la formulación local de leyes físicas que involucran a un campo que sigue una ley de distancia del inverso del cuadrado . La divergencia se utiliza en particular en las ecuaciones de la mecánica de fluidos o las ecuaciones de Maxwell .

Se dan definiciones más precisas en el cuerpo del artículo.

Divergencia de un campo vectorial

El operador de divergencia es un operador diferencial lineal de grado 1, definido en campos vectoriales y con valores en funciones.

Definición en dimensión 3

En dimensión 3 y en coordenadas cartesianas , la divergencia de un campo vectorial tiene la expresión ${\ vec {A}} = {\ begin {pmatrix} A_ {x} \\ A_ {y} \\ A_ {z} \ end {pmatrix}}$

{\ Displaystyle \ operatorname {div} {\ vec {A}} = {\ frac {\ parcial A_ {x}} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial A_ {y}} {\ parcial y} } + {\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial z}}}

Formalmente, el operador de divergencia aplicado a un campo vectorial se puede interpretar como el producto escalar del vector nabla por el vector . ${\ vec {A}}$ ${\ vec {\ nabla}}$ ${\ vec {A}}$

{\ Displaystyle {\ vec {\ nabla}} \ cdot {\ vec {A}} = \ operatorname {div} {\ vec {A}} = {\ frac {\ partial {A_ {x}}} {\ partial {x}}} + {\ frac {\ parcial {A_ {y}}} {\ parcial {y}}} + {\ frac {\ parcial {A_ {z}}} {\ parcial {z}}}}

Esta definición tiene la desventaja de depender de la elección de una base ortonormal .

Interpretación heurística sobre la variación del volumen.

El flujo del campo A es aproximadamente (para t pequeño) dado por

(x, y, z) \ mapsto F_ {t} (x, y, z) = (x, y, z) + tA (x, y, z)

El volumen de la imagen por un bloque central "pequeño" (x, y, z) se multiplica por el determinante de la matriz jacobiana de . Pero la derivada con respecto at de este determinante, para t = 0 es precisamente $F_ {t}$ $F_ {t}$

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial A_ {x}} {\ parcial x}} + {\ frac {\ parcial A_ {y}} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial z}}}

Justificación rigurosa de la interpretación

Utiliza formas diferenciales . En el volumen de un dominio se obtiene integrando la forma diferencial en este dominio . Dejar que el flujo del campo A . $\ mathbb {R} ^ {3}$ $\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z$ $\ phi _ {t}$

La variación infinitesimal del volumen es entonces

{\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ phi _ {t} ^ {\ ast} (\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm { d} z) _ {\ mid t = 0}

Es, por definición, la derivada de Lie . ${\ Displaystyle L_ {A} (\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z)}$ $\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z$

Comprobamos eso

{\ Displaystyle L_ {A} (\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z) = \ left ({\ frac {\ parcial A_ {x}} {\ parcial x }} + {\ frac {\ parcial A_ {y}} {\ parcial y}} + {\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial z}} \ derecha) (\ mathrm {d} x \ cuña \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z)}

(ver la prueba n- dimensional de esta identidad a continuación ).

En particular, el flujo mantiene el volumen (es decir, para cualquier dominio de ) si y solo si la divergencia es cero en todas partes. El volumen aumenta si la divergencia es positiva, disminuye si es negativa. $A$ $\ mathrm {vol} (\ varphi _ {t} (D)) = \ mathrm {vol} (D)$ $D$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Este cálculo también muestra que la divergencia no depende de la estructura euclidiana del espacio, sino solo del elemento de volumen .

Ejemplos de

La divergencia del campo ( campo radial) es constante (igual a 3) (el flujo de este campo está formado por homotecias, que multiplican los volúmenes por una constante). ${\ estilo de visualización x {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} + y {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}} + z {\ frac {\ parcial} {\ parcial z}}}$

La divergencia del campo es cero (su flujo está formado por rotaciones). ${\ estilo de visualización y {\ frac {\ parcial} {\ parcial x}} - x {\ frac {\ parcial} {\ parcial y}}}$

En mecánica de fluidos , decimos que un fluido está en flujo incompresible si la divergencia del campo de velocidad es cero.

Interpretación respecto al flujo

La divergencia se puede definir a partir del flujo de un campo vectorial. Si es un relativamente compacto dominio de , el borde de las cuales es una superficie lisa , el flujo de medio es igual a la integral sobre de la divergencia. Explícitamente $D$ $U$ $S$ $X$ $S$ $D$

\ int _ {D} (\ operatorname {div} X) \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y \ mathrm {d} z = \ int _ {S} i (X) (\ mathrm {d} x \ cuña \ mathrm {d} y \ cuña \ mathrm {d} z) = \ int _ {S} g (X, \ nu) \ Omega _ {S}

En la última integral, es el vector unitario normal que sale de , y es el elemento de área de la superficie . Esta igualdad es válida en cualquier dimensión y se extiende a los dominios a bordo de las variedades riemannianas orientadas. Se conoce como el teorema de Green-Ostrogradski (en la dimensión 3) o el teorema de divergencia de flujo , que es una de las muchas variaciones del teorema de Stokes. $\desnudo$ $S$ $\ Omega _ {S}$ $S$

Demostración

Escribimos , donde el vector es tangente a la superficie. Entonces tenemos $X = \ langle X, \ nu \ rangle \ nu + X ^ {T}$ $X ^ {T}$

i (X) (\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z) = \ langle X, \ nu \ rangle (\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d } y \ wedge \ mathrm {d} z)

Pero por un lado, según la fórmula de Cartan

i (X) (\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z) = L_ {X} (\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z) = (\ operatorname {div} X)) (\ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z)

Por otro lado, el elemento de área de S está dado por . El resultado se deduce de esto mediante el teorema de Stokes. $i (\ nu) \ mathrm {d} x \ wedge \ mathrm {d} y \ wedge \ mathrm {d} z$

Esta prueba se extiende de tal manera que a la dimensión n .

Divergencia en la dimensión n

Esta definición y sus propiedades se extienden a los campos vectoriales en . Si es un campo vectorial de este tipo, establecemos $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ Displaystyle A = (A_ {x_ {i}}) _ {1 \ leq i \ leq n}}$

{\ Displaystyle \ mathrm {div} A = \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ frac {\ parcial A_ {x_ {i}}} {\ parcial x_ {i}}}}

Porque , todavía tenemos , de ahí su vínculo con el principio de (no) conservación del volumen n- dimensional. ${\ Displaystyle \ omega = \ mathrm {d} x_ {1} \ wedge \ dots \ mathrm {d} x_ {n}}$ $L_ {A} \ omega = (\ mathrm {div} A) \ omega$

Demostración

Usando el hecho de que la derivada de Lie es una derivada, vemos que

{\ Displaystyle L_ {A} \ omega = L_ {A} (\ mathrm {d} x_ {1}) \ wedge \ mathrm {d} x_ {2} \ wedge \ ldots \ wedge \ mathrm {d} x_ {n } + \ mathrm {d} x_ {1} \ wedge L_ {A} (\ mathrm {d} x_ {2}) \ wedge \ ldots \ wedge \ mathrm {d} x_ {n} + \ ldots + \ mathrm { d} x_ {1} \ cuña \ mathrm {d} x_ {2} \ ldots \ cuña L_ {A} (\ mathrm {d} x_ {n})}

Por otro lado

{\ Displaystyle L_ {A} (\ mathrm {d} x_ {i}) = \ mathrm {d} (L_ {A} x_ {i}) = \ mathrm {d} A_ {x_ {i}}}

Por lo tanto, en cada uno de los n términos de la expresión anterior de , podemos reemplazar por $L_ {A} \ omega$ ${\ Displaystyle \ mathrm {d} A_ {x_ {i}}}$ ${\ Displaystyle {\ frac {\ parcial A_ {x_ {i}}} {\ parcial x_ {i}}} \ mathrm {d} x_ {i}}$

Ejemplo . Para el campo lineal dado por

{\ Displaystyle A_ {x_ {i}} = \ sum _ {j = 1} ^ {n} a_ {j} ^ {i} x_ {j}}

la divergencia es el rastro de la matriz . $(a_ {j} ^ {i}) _ {1 \ leq i, j \ leq n}$

Propiedades

Divergencia de un campo rotacional:

div⁡(eructar→A→)=0{\ Displaystyle \ operatorname {div} {\ bigl (} {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \; {\ vec {A}} {\ bigr)} = 0} ${\ Displaystyle \ operatorname {div} {\ bigl (} {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \; {\ vec {A}} {\ bigr)} = 0}$ Esta fórmula es específica de la dimensión 3 . Significa que un campo rotacional tiene divergencia cero. Por el contrario, si un campo de vectores en un espacio abierto estrellado de tiene divergencia cero, existe un campo tal que ${\ vec {B}}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$ ${\ vec {A}}$ B→=eructar→A→{\ Displaystyle {\ vec {B}} = {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \; {\ vec {A}}} ${\ Displaystyle {\ vec {B}} = {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \; {\ vec {A}}}$

(entonces decimos que es un

potencial vectorial ). Esta propiedad, cuando se interpreta correctamente en términos de formas diferenciales , es una aplicación directa del lema de Poincaré .

{\ vec {A}}

Atención. El campo newtoniano es de divergencia cero, pero no existe un campo vectorial como . De hecho, si este fuera el caso, su flujo a través de cualquier superficie cerrada sería cero, mientras que su flujo a través de las esferas centradas en el origen vale la pena . De hecho, este campo solo se define en el espacio privado del origen, que no es un espacio abierto estrellado: no se aplica el lema de Poincaré. ${\ tfrac {\ vec {r}} {r ^ {3}}}$ ${\ vec {A}}$ ${\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} \; {\ vec {A}} = {\ tfrac {\ vec {r}} {r ^ {3}}}$ $4 \ pies$

Interpretación como transposición del gradiente: div⁡(FA→)=Fdiv⁡(A→)+∇F⋅A→{\ Displaystyle \ operatorname {div} (f {\ vec {A}}) = f \ operatorname {div} ({\ vec {A}}) + \ nabla f \ cdot {\ vec {A}}}

{\ Displaystyle \ operatorname {div} (f {\ vec {A}}) = f \ operatorname {div} ({\ vec {A}}) + \ nabla f \ cdot {\ vec {A}}}

Esta fórmula, que es una consecuencia directa de la fórmula de Leibniz, nos permite ver el operador de divergencia como la transposición (hasta el signo) del operador de gradiente . De hecho, según el teorema de Stokes , la integral de la divergencia de un campo vectorial cero fuera de una parte acotada es cero. En consecuencia, si es una función suave y un campo de vectores, ambos cero fuera de una parte acotada (esta condición asegura que las integrales tengan un significado), $\ mathbb {R} ^ {n}$ $F$ ${\ vec {A}}$

∫RnoFdiv⁡A→DX1...DXno=-∫Rno∇F⋅A→DX1...DXno{\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f \ operatorname {div} {\ vec {A}} \; \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ { n} = - \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ nabla f \ cdot {\ vec {A}} \; \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ { no}} ${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} f \ operatorname {div} {\ vec {A}} \; \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ { n} = - \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} \ nabla f \ cdot {\ vec {A}} \; \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ { no}}$

Esta propiedad se interpreta de la siguiente manera. Sean y respectivamente los espacios vectoriales de funciones suaves y campos vectoriales en soporte compacto . Les proporcionamos productos escalares $C ^ {\ infty} (\ mathbb {R} ^ {n})$ $\ operatorname {Vect} (\ mathbb {R} ^ {n})$ $\ mathbb {R} ^ {n}$

⟨F,gramo⟩: =∫RnoFgramoADX1...DXno{\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} fgA \; \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ {n}} ${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle: = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} fgA \; \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ {n}}$ y ⟨A→,B→⟩: =∫RnoA→⋅B→DX1...DXno{\ Displaystyle \ langle {\ vec {A}}, {\ vec {B}} \ rangle: = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}} \; \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ {n}} ${\ Displaystyle \ langle {\ vec {A}}, {\ vec {B}} \ rangle: = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ vec {A}} \ cdot {\ vec {B}} \; \ mathrm {d} x_ {1} \ ldots \ mathrm {d} x_ {n}}$

Entonces , lo que prueba esta afirmación. $\ langle \ nabla f, {\ vec {A}} \ rangle = - \ langle f, \ operatorname {div} {\ vec {A}} \ rangle$

Esta interpretación de la divergencia tiene la ventaja de estar generalizada tanto a las variedades de Riemann como a los tensores.

Divergencia de un producto cruzado: div⁡(A→∧B→)=B→⋅eructar⁡A→-A→⋅eructar⁡B→{\ Displaystyle \ operatorname {div} ({\ vec {A}} \ wedge {\ vec {B}}) = {\ vec {B}} \ cdot \ operatorname {rot} {\ vec {A}} - { \ vec {A}} \ cdot \ operatorname {rot} {\ vec {B}}}

{\ Displaystyle \ operatorname {div} ({\ vec {A}} \ wedge {\ vec {B}}) = {\ vec {B}} \ cdot \ operatorname {rot} {\ vec {A}} - { \ vec {A}} \ cdot \ operatorname {rot} {\ vec {B}}}

Una aplicación típica de esta fórmula es el teorema de Poynting en electromagnetismo.

Relaciones con otros operadores: eructar→(eructar→(A→))=graduado→(div⁡(A→))-Δ(A→){\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} {\ Bigl (} {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} {\ bigl (} {\ vec {A}} {\ bigr)} {\ Bigr )} = {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} {\ Bigl (} \ operatorname {div} {\ bigl (} {\ vec {A}} {\ bigr)} {\ Bigr)} - \ Delta { \ bigl (} {\ vec {A}} {\ bigr)}}

{\ displaystyle {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} {\ Bigl (} {\ overrightarrow {\ operatorname {rot}}} {\ bigl (} {\ vec {A}} {\ bigr)} {\ Bigr )} = {\ overrightarrow {\ operatorname {grad}}} {\ Bigl (} \ operatorname {div} {\ bigl (} {\ vec {A}} {\ bigr)} {\ Bigr)} - \ Delta { \ bigl (} {\ vec {A}} {\ bigr)}}

Estas relaciones, ampliamente utilizadas en el análisis de vectores , se comprenden mejor en el contexto de las formas diferenciales .

Uso en física

Leyes de conservación

En general, la divergencia está relacionada en física con la expresión local de la propiedad de conservación de una cantidad. Considerando cualquier superficie cerrada , la variación de una cantidad conservadora en el volumen cerrado por esta superficie se debe, por definición de una cantidad conservadora, a intercambios con el exterior (no existen fuentes de creación o aniquilación de magnitud conservadora). Por tanto, el saldo de esta magnitud entre dos instantes se escribe únicamente como la suma del flujo de esta magnitud a través de la superficie cerrada y de la variación temporal de la magnitud dentro de la superficie . Si la magnitud es conservadora, este saldo es cero. $(S)$ $(S)$ $(S)$

Por ejemplo, en electromagnetismo , si es el vector de densidad de volumen actual, la densidad de volumen de la carga eléctrica y el volumen interior en la superficie , la conservación de la carga se escribe integralmente: ${\ vec {J}}$ $\ rho$ $V$ $(S)$

\ iint _ {(S)} {\ vec {J}} \ cdot {\ vec {n}} \, \ mathrm {d} S + {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t }} \ iiint _ {V} \ rho \, \ mathrm {d} V = 0

o de nuevo, para una superficie fija: $(S)$

\ iint _ {(S)} {\ vec {J}} \ cdot {\ vec {n}} \, \ mathrm {d} S + \ iiint _ {V} {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} \, \ mathrm {d} V = 0

with es un vector unitario normal en todos los puntos a . ${\ vec {n}}$ $(S)$

La fórmula de Green-Ostrogradsky permite reescribir la ecuación anterior a la manera de la divergencia:

\ iiint _ {V} \ nombre de operador {div} ({\ vec {J}}) \, \ mathrm {d} V + \ iiint _ {V} {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} \, \ mathrm {d} V = 0

Lo que conduce inmediatamente a la relación de custodia local:

\ nombre de operador {div} ({\ vec {J}}) + {\ frac {\ parcial \ rho} {\ parcial t}} = 0

Por tanto, también es posible expresar localmente, por ejemplo en el contexto de la mecánica de fluidos , si es la densidad en un punto y el campo de los vectores de velocidad: $\ rho$ ${\ vec {V}}$

\ nombre de operador {div} (\ rho \, {\ vec {V}}) + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} = 0

( ecuación de continuidad ).

Otras leyes de conservación implican la divergencia de tensores de orden 2 , como la conservación del momento en la mecánica de fluidos. En relatividad general , también mostramos la nulidad de la divergencia del tensor energía-momento .

Campos radiales en el cuadrado inverso de la distancia

Cuando una ley de interacción radial, debido a fuentes puntuales, varía como el inverso del cuadrado de la distancia, es posible establecer que el flujo del campo de interacción a través de una superficie cerrada es siempre proporcional a la cantidad de fuentes presentes dentro de la superficie cerrada. Este tipo de relación generalmente lleva el nombre de teorema de Gauss en física . Por ejemplo, en el caso del campo electrostático , debido a las cargas eléctricas presentes dentro de la superficie cerrada, tenemos la forma integral del siguiente teorema de Gauss: ${\ vec {E}}$ $Q _ {\ text {int}}$ $(S)$

\ iint _ {(S)} {\ vec {E}} \ cdot {\ vec {n}} \, \ mathrm {d} S = {\ frac {Q _ {\ text {int}}} {\ varepsilon _ {0}}}

Gracias al teorema de divergencia de flujo es posible expresar una forma local del teorema de Gauss. Se reescribe la ecuación anterior:

\ iiint _ {V} \ operatorname {div} {\ vec {E}} \, \ mathrm {d} V = {\ frac {Q _ {\ text {int}}} {\ varepsilon _ {0}}} = \ iiint _ {V} {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \, \ mathrm {d} V

si es el volumen delimitado por y la densidad de volumen de carga. Entonces obtenemos inmediatamente: $V$ $(S)$ $\ rho$

\ operatorname {div} {\ vec {E}} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}

que es la forma local del teorema de Gauss. Este tipo de relación también es posible para el campo gravitacional :

\ operatorname {div} {\ vec {G}} = - 4 \ pi \, G \, \ rho

donde es la constante fundamental de la gravitación, el campo gravitacional y la densidad . $GRAMO$ ${\ vec {G}}$ $\ rho$

Flujo de campo magnético

En electromagnetismo es posible demostrar, a partir de la ley de Biot y Savart , que la divergencia del campo magnético es cero: ${\ vec {B}}$

\ operatorname {div} {\ vec {B}} = 0

Esta propiedad intrínseca del campo magnético permite establecer que el flujo del campo magnético a través de una superficie cerrada es siempre cero; decimos que el campo magnético tiene un flujo conservador. De hecho, si se considera la superficie cerrada y el volumen interior con esta superficie, se tiene: $(S)$ $V$

\ iint _ {(S)} {\ vec {B}} \ cdot {\ vec {n}} \, \ mathrm {d} S = \ iiint _ {V} \ operatorname {div} ({\ vec {B }}) \, \ mathrm {d} V = 0

Expresión de divergencia tridimensional en otros sistemas de coordenadas

En coordenadas cilíndricas

∇⋅A=1r∂(rAr)∂r+1r∂Aθ∂θ+∂Az∂z{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {A}} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial (rA_ {r})} {\ parcial r}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial A _ {\ theta}} {\ parcial \ theta}} + {\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial z}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {A}} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial (rA_ {r})} {\ parcial r}} + {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ parcial A _ {\ theta}} {\ parcial \ theta}} + {\ frac {\ parcial A_ {z}} {\ parcial z}}}

En coordenadas esféricas

Al elegir las notaciones físicas por convención (de acuerdo con la norma ISO 31-11 ), a saber : $(x, y, z) \ longrightarrow (r \ cos \ varphi \ sin \ theta, r \ sin \ varphi \ sin \ theta, r \ cos \ theta), 0 <\ theta <\ pi, 0 <\ varphi < 2 \ pies$

∇⋅A=1r2∂(r2Ar)∂r+1rpecado⁡θ∂∂θ(pecado⁡θAθ)+1rpecado⁡θ∂Aφ∂φ{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {A}} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial (r ^ {2} A_ {r })} {\ parcial r}} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} (\ sin \ theta A _ {\ theta}) + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial A _ {\ varphi}} {\ parcial \ varphi}}}

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ nabla}} \ cdot {\ boldsymbol {A}} = {\ frac {1} {r ^ {2}}} {\ frac {\ partial (r ^ {2} A_ {r })} {\ parcial r}} + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial} {\ parcial \ theta}} (\ sin \ theta A _ {\ theta}) + {\ frac {1} {r \ sin \ theta}} {\ frac {\ parcial A _ {\ varphi}} {\ parcial \ varphi}}}

Notas y referencias

Notas

J.-P. Pérez et al. , Electromagnetismo. Fundamentos y aplicaciones , 3 ª edición, Masson, París, 1997, 612-617 páginas.
GallotHulinLafontaine , pág. 211

Referencia

(en) Sylvestre Gallot , Dominique Hulin y Jacques Lafontaine , Riemannian Geometry [ detalle de las ediciones ]

Ver también

Bibliografía

(en) Yvonne Choquet-Bruhat y Cécile DeWitt-Morette , Análisis, Colectores y Física - Parte I: Fundamentos , North-Holland / Elsevier ( 2 ª edición revisada - 1982) ( ISBN 0-444-86017-7 )
Richard P. Feynman , Robert B. Leighton (en) y Matthew Sands (en) , La La Feynman Lectures on Physics [ publicar detalles ], Electromagnetismo I, cap. 2 y 3 , InterEditions ( ISBN 2-72960028-0 )
Jacques Lafontaine, Introducción a las variedades diferenciales [ detalle de las ediciones ]
François Rouvière, Pequeña guía de cálculo diferencial para el uso de la licencia y la agregación , Cassini, 1999 ( ISBN 2-84225-008-7 )