Métrica de Riemann

En geometría diferencial , las métricas de Riemann son la noción básica de la geometría de Riemann . La primera introducción fue hecha por Bernhard Riemann en 1854. Sin embargo, su artículo sobre el tema fue publicado después de su muerte en 1868. Ese mismo año, Hermann von Helmholtz publicó resultados similares.

Las métricas de Riemann son familias diferenciables de formas cuadráticas definidas positivas .

Definiciones

En un paquete del vector E → M , una métrica de Riemann g es los datos de un producto escalar g x en cada fibra E x que depende de cómo suavizar el punto base x variando M . Más formalmente, x↦g x es una sección en cualquier punto definido positivo del conjunto de vectores S 2 E → M de formas bilineales simétricas. Decimos que los datos ( E, g ) son un paquete de Riemann .

Para dos haces de Riemann ( E, g ) y ( F, g ' ) en M , un morfismo de haz de Riemann f :( E, g ) → ( E, g' ) es un morfismo de haz de vectores f: E → E ' tal que , para cualquier punto x de M , el mapa lineal f x : E x → F x es una isometría lineal , es decir:

\ forall v, w \ in E_ {x}, \ quad g '_ {x} (f_ {x} (v), f_ {x} (w)) = g_ {x} (v, w).

Si M es una variedad diferencial, una métrica de Riemann en M es simplemente una métrica de Riemann en su conjunto tangente . Los datos ( M, g ) son una variedad de Riemann .

Dadas dos variedades de Riemann ( M, g ) y ( N, g ' ), una isometría F :( M, g ) → ( N, g' ) es un mapa diferenciable F: M → N tal que el mapa de tangente dF :( TM, g ) → ( TN, g ' ) es un morfismo de los haces de Riemann. Esta última condición se reescribe: F * g '= g .

Ejemplos de

Cualquier producto escalar en ℝ n induce en cualquier paquete de vectores trivial M × ℝ n → M una métrica de Riemann: $<,>$ $g_ {x} ((x, v), (x, w)) = <v, w>.$
Sea g una métrica de Riemann en E → M y P una variedad. Para una función diferenciable ψ: P → M , existe en el paquete de vectores retiradoFibra inducida ψ * E → P una métrica de Riemann única ψ * g tal que el morfismo natural ψ * E → E es un isomorfismo de los paquetes de Riemann.
Si g es una métrica de Riemann en E → M , y luego por restricción , g define una métrica de Riemann en cualquier vector subfibrado de E .
El límite de la métrica de Minkowski cuando c se acerca al infinito es una métrica de conjunto. El tiempo se vuelve absoluto y el espacio-tiempo es fibra arriba, encontramos la transformación de Galileo . En dos momentos diferentes, la métrica es la diferencia de los tiempos. Al mismo tiempo, en una fibra de espacio isomórfica a , la métrica es el producto escalar habitual. ${{\ rm {d}}} s ^ {2} = c ^ {2} {{\ rm {d}}} t ^ {2} - {{\ rm {d}}} x ^ {2} - {{\ rm {d}}} y ^ {2} - {{\ rm {d}}} z ^ {2}$ $\ mathbb {R} ^ {3}$

Existencia

En cualquier paquete de vectores base paracompactos, existe una métrica de Riemann.

Demostraciones

Prueba a través de una partición de la unidad.

Para cualquier U de M abierta suficientemente pequeña , el paquete de vectores π -1 ( U ) → U es trivializable. Sin embargo, desde arriba, cualquier paquete de vectores trivializable admite una métrica de Riemann. Entonces, existe una métrica riemanniana g U en π -1 ( U ).

Usando la paracompacidad de M , existe una superposición contable ( U n ) n ∈ℕ de M tal que, para cualquier número entero n , existe una métrica riemanniana g n en el paquete vectorial π -1 ( U n ) → U n . Sea (ϕ n ) n ∈ℕ una partición de la unidad subordinada a ( U n ) n ∈ℕ . El mapa x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ) es una sección global de S 2 π -1 ( U n ) → U n cero en la vecindad del borde ∂ U n . Se extiende por una sección global de S 2 E → M , indebidamente denotado por x ↦ϕ n ( x ) g n ( x ). ${\ Displaystyle 0}$

Luego preguntamos:

g = \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ {n} g_ {n}: x \ mapsto \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ phi _ { n} (x) g_ {n} (x)

. Es una sección de S 2 E → M , y es positivo bien definido en cualquier punto de M : si pertenece al interior del soporte de , y para cualquier vector distinto de cero de ,

X

X

\ phi _ {n}

v

Ex}

g (v, v) \ geq \ phi _ {n} (x) g_ {x} ^ {n} (v, v)> 0

Prueba a través de una incrustación.

Existe un paquete de vectores F → M tal que E ⊕ F → M es trivializable. Utilizado en este nivel paracompactness de M . Así que hay una métrica de Riemann en E ⊕ F → M que restringe a una métrica de Riemann en E → M .

Aunque aparentemente más breve, este segundo argumento oculta la dificultad en la existencia de . Esta existencia también apela a un argumento de partición unitaria . $F$

En particular :

En cualquier variedad diferencial paracompacta, existe una métrica de Riemann.

Ver también