Espacio hermitiano

En matemáticas , un espacio hermitiano es un espacio vectorial en el campo conmutativo de complejos de dimensión finita y provisto de un producto escalar hermitiano . La geometría de tal espacio es análoga a la de un espacio euclidiano . Muchas propiedades son comunes a ambas estructuras.

Así, los márgenes característicos como la desigualdad de Cauchy-Schwarz y la desigualdad triangular son siempre válidos , se asegura la existencia de bases particulares, llamadas ortonormales , y la relación canónica entre el espacio y su dual es de la misma naturaleza que el de la configuración euclidiana.

El carácter algebraicamente cerrado del cuerpo subyacente hace que la diagonalización de endomorfismos sea compatible con el producto escalar más general. El término compatible aquí significa normal , es decir, desplazamientos con su adjunto .

Finalmente, un espacio hermitiano de dimensión n es también un espacio euclidiano de dimensión 2 n , por lo que las propiedades topológicas son exactamente las mismas.

Esta estructura debe su nombre al matemático francés Charles Hermite ( 1822 - 1901 ) .

Definición y primeras propiedades

Definiciones

El objetivo es generalizar la estructura del espacio euclidiano a números complejos, lo que ofrece la ventaja de ser un campo algebraicamente cerrado. Por otro lado, ya no existe una relación de orden compatible con las operaciones del cuerpo, y el cuadrado de un complejo es a veces negativo. Para superar esta dificultad, el producto escalar ya no es una forma bilineal sino una forma hermitiana.

Una forma hermitiana es un mapeo〈⋅, ⋅〉 de E × E a ℂ tal que:

para todo x en E , el mapa φ x de E en ℂ definido por φ x ( y ) = 〈y , x〉, es una forma lineal y
para toda x y y en E , (donde representa la conjugación ). $\ langle x, y \ rangle = \ overline {\ langle y, x \ rangle}$ ${\ bar {\ cdot}}$

En particular, 〈x , x〉 es real y es una forma cuadrática en E visto como espacio vectorial ℝ. $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

Tenga en cuenta también que una forma hermitiana con esta definición es sesquilínea a la derecha .

Lo que conduce a las siguientes definiciones:

Definición : un producto escalar sobre un espacio vectorial complejo es una forma hermitiana 〈⋅, ⋅〉 tal que la forma cuadrática real es definida positiva . $x \ mapsto \ langle x, x \ rangle$

En estas condiciones, la parte real de 〈⋅, ⋅〉 es un producto escalar euclidiano de la estructura del espacio vectorial real obtenido por restricción, y la parte imaginaria una forma bilineal no degenerada alternativa , es decir, una forma simpléctica . ${\ mathfrak {Re}} \ izquierda (\ langle \ cdot, \ cdot \ rangle \ right)$

El término producto hermitiano es sinónimo de producto escalar sobre un espacio vectorial complejo.

Definición : un espacio hermitiano es un espacio vectorial complejo de dimensión finita y provisto de un producto escalar.

El mapeo que a un vector x asocia la raíz cuadrada del producto escalar de x por sí mismo, es una norma llamada norma hermitiana ; la distancia asociada, que con dos vectores asocia la norma de su diferencia, se llama distancia hermitiana .

En el resto del artículo, E denota un espacio vectorial complejo de dimensión finita, ℂ el cuerpo de números complejos, 〈⋅, ⋅〉 un producto escalar en E , elegido lineal con respecto a la primera variable y semilineal con respecto a per segundo. La norma se anota ║ ∙ ║.

Ejemplos de

El espacio vectorial ℂ n , dotado del producto escalar canónico y la norma asociada, definido, para x = ( x 1 ,…, x n ) y y = ( y 1 ,…, y n ), por $\ langle x, y \ rangle = x_ {1} \ overline {y_ {1}} + x_ {2} \ overline {y_ {2}} + \ ldots + x_ {n} \ overline {y_ {n}} = \ sum _ {{i = 1}} ^ {n} x_ {i} \ overline {y_ {i}} {\ text {et}} \ | x \ | = {\ sqrt {\ sum _ {{i = 1}} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}}},$ es un espacio hermitiano llamado espacio hermitiano canónico de dimensión n .
En el espacio vectorial M n (ℂ) de matrices cuadradas de orden n , identificado con ℂ ( n 2 ) , se reescribe el producto escalar canónico: $\ langle A, B \ rangle = \ sum _ {{i, j \ in \ {1, \ ldots, n \}}} A _ {{ij}} \ overline {B _ {{ij}}} = { \ mathrm {tr}} (AB ^ {*})$ donde $tr$ denota la traza y B * denota la matriz adjunta (o transconjugada) de B (es decir, la transpuesta de la matriz cuyos coeficientes son los conjugados de los coeficientes B ). La norma asociada se llama la " norma de Frobenius ".
El espacio vectorial de polinomios complejos de grado menor o igual an ,
- provisto con el producto escalar $\ left \ langle \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} a_ {i} X ^ {i}, \ sum _ {{i = 0}} ^ {{n}} b_ {i} X ^ {i} \ right \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} a_ {i} \ overline {b_ {i}}$ es un espacio hermitiano, trivialmente isomorfo al espacio hermitiano canónico de dimensión n + 1.
- con un producto escalar diferente: $\ langle P, Q \ rangle = \ int _ {0} ^ {1} P (t) \ overline {Q (t)} \ {{\ rm {d}}} t$ también es un espacio hermitiano. Este producto escalar es el del espacio de Hilbert $L 2 ([0, 1])$ (de dimensión infinita), restringido al subespacio de funciones polinomiales (identificadas como polinomios) de grado menor o igual an .
- proporcionado con el producto escalar (diferente de los dos anteriores): $\ langle P, Q \ rangle = \ sum _ {{i = 0}} ^ {n} P (x_ {i}) \ overline {Q (x_ {i})}$ (donde x 0 ,…, x n son n + 1 complejos distintos) es isomorfo al espacio hermitiano canónico de dimensión n + 1, por el mapa P ↦ ( P ( x 0 ),…, P ( x n )).

Desigualdades e identidades

Las siguientes propiedades se verifican en cualquier espacio prehilbertiano complejo, de dimensión no necesariamente finita. Algunas son solo una repetición de las propiedades del producto $escalar$ real $Re$ (〈⋅, ⋅〉), que tiene la misma norma asociada que 〈⋅, ⋅〉.

Como en la situación real, los dos recargos clásicos siempre se verifican. Si x y y denotan dos vectores de E :

la Cauchy-Schwarz : ; $| \ langle x, y \ rangle | \ leq \ | x \ | \ | y \ |$
la desigualdad del triángulo : Esta última muestra que el tercer axioma de la definición de un estándar , dicha subaditividad, está verificado. Los otros dos (separación y homogeneidad) lo son evidentemente. $\ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.$
El desarrollo del cuadrado de la norma de una suma, $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2} +2 {{\ rm {Re}}} \ left (\ langle x, y \ rangle \ right),$ nos permite establecer el teorema de Pitágoras : si x e y son ortogonales , entonces A diferencia de la situación euclidiana, lo contrario ya no es cierto, ya que un producto escalar puede aquí ser un no-cero imaginario puro . $\ | x + y \ | ^ {2} = \ | x \ | ^ {2} + \ | y \ | ^ {2}.$
El desarrollo del cuadrado de la norma de la suma de dos vectores muestra la regla del paralelogramo , que caracteriza las normas resultantes de un producto escalar : $\ | x + y \ | ^ {2} + \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ | x \ | ^ {2} +2 \ | y \ | ^ {2},$
así como la identidad polar: $\ | x + y \ | ^ {2} - \ | xy \ | ^ {2} = 2 \ langle x, y \ rangle +2 \ langle y, x \ rangle.$
La identidad de polarización (formulada aquí para una forma sesquilínea derecha ), más precisa, muestra que el producto escalar está completamente determinado por la norma: $\ langle x, y \ rangle = {\ frac 14} \ sum _ {{k = 0}} ^ {3} {{\ rm {i}}} ^ {k} \ | x + {{\ rm {i }}} ^ {k} y \ | ^ {2}.$

Propiedades

Base ortonormal

La situación es exactamente la misma que la de un espacio euclidiano:

cualquier familia ortonormal es gratuita ;
Si E es un espacio hermitiana de dimensión n y B una base ortonormal de E a continuación, para todos los vectores u y v de E , de las coordenadas x y Y en B , el producto escalar < u , v > es igual al producto escalar < x , y〉 en el espacio hermitiano canónico de dimensión n . En otras palabras, la biyección lineal de E en ℂ n que asocia con cualquier vector sus coordenadas en B respeta los dos productos escalares y por lo tanto constituye un isomorfismo de espacios hermitianos;
la prueba de la desigualdad de Bessel muestra que si ( f i ) es una base ortonormal de un subespacio vectorial F de E , cualquier vector x de E admite una proyección ortogonal en F , cuyas coordenadas en ( f i ), llamadas coeficientes de Fourier, son las 〈X , f i〉 y verificar $\ sum | \ langle x, f_ {i} \ rangle | ^ {2} \ leq \ | x \ | ^ {2} ~;$
deducimos el algoritmo de Gram-Schmidt , que asegura la existencia de una base ortonormal.

Producto tensor, adjunto y dual

Recuerde que en este artículo una forma hermitiana es una forma sesquilínea derecha con simetría hermitiana.

La configuración es nuevamente análoga a la de los espacios euclidianos. El producto escalar proporciona un mapa canónico φ de E en su doble E *:

{\ Displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad \ varphi _ {x}: E \ rightarrow \ mathbb {C} \ quad y \ mapsto \ varphi _ {x} (y) = \ langle y, x \ rangle .}

Aquí el orden se invierte en comparación con la convención elegida en el artículo sobre el espacio euclidiano. De hecho, φ x habría semi-lineal de otro modo, y obtendríamos una biyección lineal de E en su antidual (espacio vectorial de las formas semi-lineal).

Con el orden elegido, tenemos una biyección semilineal φ de E a su doble E *. Cuando E * está dotado de la norma dual , esta biyección es incluso una isometría (según la desigualdad de Cauchy-Schwarz ), lo que demuestra que esta norma es hermitiana, es decir asociada a un producto escalar: el definido por 〈φ ( x ), φ ( y )〉 = 〈y , x〉.

Deducimos de φ dos biyecciones ψ 1 y ψ 2 , del espacio L ( E ) endomorfismos de E en el espacio L 3/2 ( E ) de las formas sesquilíneas de la derecha:

\ forall a \ in {{\ rm {L}}} (E) ~ \ forall x, y \ in E \ quad \ psi _ {1} (a) (x, y) = \ langle a (x), y \ rangle {\ text {y}} \ psi _ {2} (a) (x, y) = \ langle x, a (y) \ rangle.

ψ 1 es lineal y ψ 2 es semilineal , por lo que la biyección compuesta ψ 2 −1 ∘ψ 1 es semilineal . A un endomorfismo a asocia el endomorfismo a * llamado adjunto y definido por la siguiente igualdad:

\ forall x, y \ in E \ quad \ langle a (x), y \ rangle = \ langle x, a ^ {*} (y) \ rangle.

Se dice que los endomorfismos iguales (resp. Opuestos) a su adjunto son hermitianos o autoasociados (resp. Antihermitianos o anti autoasociados).

El mapa semi-lineal - por lo tanto ℝ-lineal - L ( E ) → L ( E ), a ↦ a * no es solo biyectivo (un semi-isomorfismo) sino involutivo (( a *) * = a ). En L ( E ) considerado como un espacio vectorial ℝ, es por tanto la simetría con respecto al subespacio ℝ de los endomorfismos hermitianos, con respecto al adicional de los antihermitianos.

El producto escalar hermitiano en un producto tensorial , en particular en L ( E ) ≃ E * ⊗ E , se define de manera similar al caso euclidiano. Obtenemos

\ langle a, b \ rangle = {\ mathrm {Tr}} (a \ circ b ^ {*}).

La simetría semilineal a ↦ a * conserva la norma asociada por lo tanto también el producto escalar euclidiano asociado $Re$ (〈⋅, ⋅〉) (cf. § “Definiciones” ).

Ejemplos de

Tenemos ( $i$ a ) * = - $i$ ( a *). Si a es hermitiano, $i$ a es antihermitiano.
Si A es la matriz de a con respecto a una base ortonormal, la del adjunto es la matriz adjunta A *.
Cuando los endomorfismos están representados por matrices en una base ortonormal fija, encontramos el producto hermitiano canónico en M n (ℂ) .

Espacio euclidiano, espacio hermitiano

Sea E un espacio hermitiano. El espacio vectorial real E ℝ que se deduce de él por restricción de los escalares (en) está naturalmente dotado de un producto escalar euclidiano 〈⋅, ⋅〉ℝ = $Re$ (〈⋅, ⋅〉). Si B = ( e 1 ,…, e n ) es una base de E y si $i$ denota la unidad imaginaria , entonces B ℝ = ( e 1 ,…, e n , $i$ e 1 ,…, $i$ e n ) es un base de E ℝ , que por lo tanto es de dimensión 2 n . Además, si B es ortonormal para 〈⋅, ⋅〉, entonces B ℝ es ortonormal para 〈⋅, ⋅〉ℝ .
Por el contrario, sea F un espacio euclidiano de dimensión n , es posible sumergir F en un espacio hermitiano de dimensión n : el complejo F ℂ : = ℂ⊗ F de F , dotado del producto escalar hermitiano obtenido tensorizando el de ℂ por el producto escalar euclidiano de F : ${\ Displaystyle \ forall \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ in F _ {\ mathbb {C}} \ quad \ langle \ lambda \ otimes x, \ mu \ otimes y \ rangle _ {F _ {\ mathbb {C}}} = \ lambda {\ overline {\ mu}} \ langle x, y \ rangle _ {F}.}$ Si ( f 1 , ..., f n ) es una base ortonormal de F, entonces (1⊗ f 1 ,…, 1⊗ f n ) es una base ortonormal de F ℂ . Es común identificar los vectores f i y 1⊗ f i .

Estas dos construcciones se extienden al marco de espacios prehilbertianos de dimensión no necesariamente finita.

Notas

Las dos convenciones (izquierda y derecha) coexisten. Este artículo toma la convención correcta; Los artículos Forma sesquilínea compleja e Identidad de polarización favorecen a la izquierda.
El método expuesto aquí se usa a menudo cuando el autor de un trabajo desea ser formalmente riguroso. Una formalización orientada hacia la física se da en C. Semay y B. Silvestre-Brac, Introduction au calcul tensoriel, application à la physique , Dunod, 2007 ( ISBN 978-2-10-050552-4 ) .

Ver también

enlaces externos

El producto escalar sobre ℂ n , el método de Gram-Schmidt, matrices hermitianas, unitaria y diagonalización de Véronique Hussin y Alina Stancu, de la Universidad de Montreal
Espacios hermitianos de C. Antonini et al. , 2001, en les-mathematiques.net

Bibliografía

Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ]