En las matemáticas , y más precisamente en el álgebra general , una ley de composición interna en un conjunto S se dice que es conmutativo cuando, por todo x y y en S ,
.Los ejemplos más simples de leyes conmutativas son, sin duda, la suma y la multiplicación de números naturales . La suma y multiplicación de números reales y complejos , la suma de vectores , la intersección y unión de conjuntos también son leyes conmutativas.
Por el contrario, la resta , la división , la multiplicación de matrices , la composición de mapas y la multiplicación de cuaterniones son leyes no conmutativas.
Algunos escritos antiguos utilizan implícitamente las propiedades de la conmutatividad. Los egipcios utilizaron la conmutatividad de la multiplicación para simplificar los cálculos de productos. Euclides , en sus Elementos , también había asumido la conmutatividad de la multiplicación. La definición formal de conmutativa surgió a finales de la XVIII ª y principios del XIX ° siglo, cuando los matemáticos comenzaron a construir una teoría de funciones. Hoy en día, la propiedad de la conmutatividad se considera una propiedad básica, utilizada en la mayoría de las ramas de las matemáticas.
La primera aparición del término “conmutativo” se remonta a un artículo de los Annales de Gergonne escrito por François-Joseph Servois en 1814, donde estudiaba las propiedades de las funciones que se conmutan entre ellas (por composición ). El término ley conmutativa (en inglés) apareció en 1838 de la pluma de Duncan Farquharson Gregory , en un artículo titulado "Sobre la naturaleza real del álgebra simbólica" publicado en 1840 en las Transactions of the Royal Society of Edinburgh .
Las siguientes estructuras tienen el punto común de ser descritas por los datos de una o más leyes internas cuya conmutatividad se requiere:
Sea S un conjunto dotado de una ley de composición interna . Dos elementos x y y de S se dice que son permutable cuando:
.También se dice que x e y viaje .
Por lo tanto, es conmutativo si y solo si dos elementos cualesquiera de S son siempre permutables.