Parte densa
En topología , una parte densa de un espacio topológico es un subconjunto que permite acercarse a todos los elementos del espacio circundante. La noción se opone así a la de una parte densa en ninguna parte .
La densidad de una pieza a veces permite ampliar la prueba de una propiedad o la definición de una aplicación por continuidad .
Definiciones
Deje X un espacio topológico y A una parte de X . Decimos que A es " denso en X ", o incluso " denso en todas partes " si se satisface una de las propiedades equivalentes:
- cualquier abierto no vacío de X contiene elementos A ;
- la adherencia de A es igual a X ;
- todo punto de X es adherente a A ;
- el complemento de A es interior vacío.
Un punto x de X es denso en dicho X si el singleton es denso en X .
Un espacio separable es un espacio topológico que tiene como máximo un subconjunto denso .
Ejemplos de
- Cualquier espacio topológico es denso en sí mismo.
- Cualquier parte densa para la orden en un conjunto totalmente ordenado también es densa para la topología de la orden . En particular, la recta real ℝ admite como partes densas el conjunto ℚ de números racionales , su complemento ℝ \ ℚ, pero también el conjunto de decimales e incluso el conjunto de números diádicos .
- El complemento de un conjunto insignificante para la medida de Lebesgue es denso en ℝ o en ℝ n .
- El grupo lineal general GL n (ℝ) (formado por matrices reales, cuadradas e invertibles de tamaño n ) es denso en el espacio M n (ℝ) de matrices cuadradas de tamaño n .
- El conjunto de matrices diagonalizables en es denso, pero no en .
- El conjunto de funciones escalonadas (definidas en un espacio medible ) es denso en el conjunto de funciones medibles, para la topología de convergencia simple .
- El conjunto de funciones polinomiales es denso en el conjunto de funciones reales continuas en un segmento para la topología de convergencia uniforme (según el teorema de aproximación de Weierstrass ).
Propiedades
Una condición suficiente para esto es que todos los elementos de X está limitado a un resultado de los elementos A . Esta condición también es necesaria si X es un espacio de Fréchet-Urysohn , por ejemplo un espacio metrizable o incluso solo con bases contables de barrios .
Si B es otra parte de X , que no necesariamente contiene A , decimos que A es denso en B si su adhesión contiene B .
Si X es un espacio métrico completo , parte de Y a X es denso en X si y sólo si X es la finalización de Y .
Dos mapas continuos definidos en una parte densa de un espacio separado son iguales.
Una secuencia de funciones definida en un espacio métrico X y continuas converge uniformemente si y sólo si satisface la criterio de Cauchy uniforme en una parte densa de X .
Un anillo conmutativo es de Jacobson si y solo si en cualquier parte cerrada no vacía de su espectro el conjunto de puntos cerrados es denso.
Notas y referencias
- (de) Paul du Bois-Reymond , “ Der Beweis des Fundamentalsatzes der Integralrechnung […] ” , Math. Ana. , vol. dieciséis,1880( leer en línea )dice: "pantachic" : Alain Michel, Constitución de la teoría moderna de la integración , Vrin ,1992( leer en línea ) , pág. 37.
- N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas, libro III: Topología general [ detalle de ediciones ], p. I.9 , vista previa en Google Books .
- atención "denso en sí mismo" no es sinónimo de " denso en sí mismo (en) ", como se señala con humor (en) JE Littlewood , A Mathematician's Miscellany ,1953( leer en línea ) , pág. 39.