Aritmética

La aritmética es una rama de las matemáticas que es la ciencia de los números .

La aritmética se limita a iniciar el estudio de las propiedades de los números naturales , de los números enteros y racionales (como fracciones ), y las propiedades de las operaciones sobre estos números. Las operaciones aritméticas tradicionales son suma , división , multiplicación y resta . Esta disciplina se amplió luego con la inclusión del estudio de otros números como los reales (en forma de expansión decimal ilimitada), o incluso conceptos más avanzados, como la exponenciación o la raíz cuadrada . Una aritmética es una forma de representar formalmente, es decir, "codificar", los números (en forma de una lista de números, por ejemplo); y (gracias a esta representación) definir las operaciones básicas: suma, multiplicación, etc.

Historia

La etimología de la palabra aritmética se basa en el griego antiguo ἀριθμός ( arithmos ), que significa número .

El origen de la aritmética parece ser una invención fenicia . En la escuela de Pitágoras en la segunda mitad del VI º  siglo  aC. AD , la aritmética era, junto con la geometría , la astronomía y la música , una de las cuatro ciencias cuantitativas o matemáticas ( Mathemata ). Estos se agruparon en los siete artes liberales por Marciano Capella ( V º  siglo) y designado con más precisión como el quadrivium por Boecio . Las otras tres disciplinas fueron literarias ( gramática , retórica , dialéctica ) y fueron objeto de la obra de Casiodoro y, más tarde, de Alcuino que les dio el nombre de trivium .

Diferente aritmética

Aritmética elemental

El término "aritmética elemental" a veces se refiere a la forma más básica de matemáticas que se aprende en la escuela primaria . Este es esencialmente el estudio de números y operaciones elementales ( resta , suma , división , multiplicación ).

Este término también se refiere a los conceptos básicos de las técnicas aritméticas. Las herramientas utilizadas son la división euclidiana , el lema de Euclides , el teorema de Bachet-Bézout o el teorema fundamental de la aritmética . Nos permiten demostrar teoremas como el pequeño teorema de Wilson o Fermat .

Este segundo significado del término se trata en el artículo detallado.

Aritmética modular

Carl Friedrich Gauss ( 1777 - 1855 ) estudia el conjunto de clases de congruencia de enteros relativos módulo un entero dado . Cada clase corresponde a un resto de la división euclidiana por este número entero, y el conjunto está naturalmente provisto de una suma y una multiplicación.

El estudio de esta estructura se llama aritmética modular. Permite generalizar los resultados de la aritmética elemental. El teorema de Euler , que corresponde a un resultado más fuerte que el pequeño teorema de Fermat, ilustra una generalización.

La aritmética modular se utiliza en criptología o para la construcción de códigos correctivos en informática .

Teoría algebraica de números

Muchas preguntas quedan sin respuesta, incluso con técnicas aritméticas modulares. Los ejemplos proceden de ecuaciones diofánticas , es decir, de ecuaciones cuyos coeficientes son números enteros y cuyas soluciones deseadas son números enteros. Un método consiste en extender el conjunto de enteros a una nueva estructura llamada anillo de enteros algebraicos , como el de los enteros gaussianos .

El estudio de estas estructuras, más generales que las de la aritmética modular que se limita a los anillos euclidianos , constituye el primer capítulo de la teoría algebraica de números .

Aritmética polinomial

El estudio de la aritmética, en el sentido de números enteros, supone establecer teoremas. Estos teoremas se demuestran utilizando técnicas que no se limitan a números enteros. Es posible utilizar el mismo enfoque en otras estructuras, como la de polinomios . A través del estudio de polinomios ciclotómicos , Gauss logra encontrar un nuevo polígono regular construible con una regla y un compás , desde 17 lados.

Su enfoque es aritmético , por ello hablamos de aritmética polinomial.

Conjuntos utilizados en aritmética

La totalidad de los números se ha subdividido en varios conjuntos . Los más famosos son:

• NO{\ Displaystyle \ mathbb {N}} : el conjunto de números naturales ( ).0;1;2;3;4;5; etc.{\ Displaystyle 0; \, 1; \, 2; \, 3; \, 4; \, 5; {\ mbox {etc.}}}
• Z{\ Displaystyle \ mathbb {Z}} : el conjunto de enteros relativos ( ).-12;-2;0;5;6; etc.{\ Displaystyle -12; \, - 2; \, 0; \, 5; \, 6; {\ mbox {etc.}}}
• D{\ Displaystyle \ mathbb {D}} : el conjunto de números decimales , es decir, que se escribe en forma de cociente de un entero relativo y una potencia positiva de 10, es decir, donde x es un número entero relativo yn es un número entero ( , etc.).X10no{\ Displaystyle {\ frac {x} {10 ^ {n}}}}-510,0,13100,1010{\ displaystyle {\ tfrac {-5} {10}}, \, 0, \, {\ tfrac {13} {100}}, \, {\ tfrac {10} {10}}}
• Q{\ Displaystyle \ mathbb {Q}} : el conjunto de números racionales , es decir números que se pueden escribir como un cociente (resultado de una división) de dos enteros relativos. Al establecer la división, puede haber un número infinito de dígitos después del punto decimal en el resultado, pero estos dígitos terminarán repitiéndose; en este caso decimos que la escritura decimal es periódica ilimitada .(13;-513;227 etc.){\ Displaystyle \ left ({1 \ over 3}; \, - {5 \ over 13}; {22 \ over 7} {\ mbox {etc.}} \ right)}
• R{\ Displaystyle \ mathbb {R}} : El conjunto de los números reales , que miden todas las distancias entre dos puntos de una línea, que puede ser visto como límites de los números racionales y que se pueden escribir con dígitos después del punto decimal, pero las cifras ya no son necesariamente repiten ( , , etc.).π{\ Displaystyle \ pi}2{\ Displaystyle {\ sqrt {2}}}
• VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}} : números complejos de la forma donde xey son reales e imaginarios tales que .X+Iy{\ Displaystyle x + iy}I{\ Displaystyle i}I2=-1{\ Displaystyle i ^ {2} = - 1}

Algunos de estos conjuntos son subconjuntos de otros; todos los elementos de también pertenecen a , por ejemplo. Pero, a la inversa, un elemento de no es necesariamente un elemento de . Estos conjuntos pueden ser representados por círculos concéntricos: el más pequeño es , seguidos , , , y . NO{\ Displaystyle \ mathbb {N}}Z{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}Q{\ Displaystyle \ mathbb {Q}}Z{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}NO{\ Displaystyle \ mathbb {N}}Z{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}D{\ Displaystyle \ mathbb {D}}Q{\ Displaystyle \ mathbb {Q}}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}

Es posible considerar solo una parte de un conjunto. Por lo tanto, denotamos el conjunto de números positivos de . De la misma manera denotamos el conjunto privado de 0. Notamos, entre otras cosas, eso y aquello (se trata de “privado de” ). R+{\ Displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}R∗{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {*}}R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}Z+=NO{\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {+} = \ mathbb {N}}Z∖NO=Z-∗{\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ setminus \ mathbb {N} = \ mathbb {Z} _ {-} ^ {*}}Z{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}NO{\ Displaystyle \ mathbb {N}}

Propiedades

Muchos números enteros tienen propiedades especiales. Estas propiedades son el tema de la teoría de números . Entre estos números particulares, los números primos son posiblemente los más importantes.

números primos

Este es el caso de los llamados números primos . Estos son los números naturales que tienen solo dos divisores positivos distintos, a saber, 1 y ellos mismos. Los primeros diez números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. El número entero 1 no es primo porque no tiene dos divisores positivos distintos, sino solo uno, a saber, él mismo. Hay una infinidad de números primos. Completando una cuadrícula de tamaño 10 × 10 con los primeros 100 enteros naturales distintos de cero, y tachando los que no son primos, obtenemos los números primos pertenecientes a {1,…, 100} mediante un proceso llamado tamiz de Eratóstenes , llamado así por el erudito griego que lo inventó .

Números pares e impares

Los números naturales se pueden dividir en dos categorías: pares e impares .

Un entero par es múltiplo de 2 y, por lo tanto, se puede escribir con . Un número impar no es múltiplo de 2 y se puede escribir con . no{\ Displaystyle n}no=2k{\ Displaystyle n = 2 \, k}k∈NO{\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}no{\ Displaystyle n}no=2k+1{\ Displaystyle n = 2 \, k + 1}k∈NO{\ Displaystyle k \ in \ mathbb {N}}

Mostramos que cualquier número entero es par o impar, y esto para un único  : denotamos . k{\ Displaystyle k}∀no∈NO∃!k∈NO(no=2k∨no=2k+1){\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbb {N} \ quad \ existe! k \ in \ mathbb {N} \ quad \ left (n = 2 \, k \ lor n = 2 \, k + 1 \ right) }

Los primeros seis números enteros pares son 0, 2, 4, 6, 8 y 10. Los primeros seis números enteros impares son 1, 3, 5, 7, 9 y 11.

Notas y referencias

1. Diccionario enciclopédico Quillet , vol. AD, pág.  117.
2. Hervé Lehning, Todas las matemáticas del mundo , París, Flammarion,2017, 446  p. ( ISBN  978-2-08-135445-6 , aviso BnF n o  FRBNF45340842 ) , p.  135.
3. Pascal Mueller-Jourdan , Una iniciación en la filosofía de la antigüedad tardía: lecciones de Pseudo-Elias , Fribourg, Éditions du Cerf ,2007, 143  p. ( ISBN  978-2-204-08571-7 , aviso BnF n o  FRBNF41210863 , leer en línea ) , p.  73.

Ver también

Artículos relacionados

• Aritmética de intervalos
• Aritmética informática
• Aritmética de Peano
• Aritmética saturada
• Asociatividad
• Conmutatividad
• Distributividad
• Orden de operaciones

Bibliografía

Matemáticas

• Daniel Perrin , “  Curso número 6: Aritmética y criptografía  ” , en el Departamento de Matemáticas de Orsay ,2010
• Jean-Pierre Serre , curso de aritmética ,1970[ detalle de ediciones ]

Filosofía

• Gottlob Frege , Los fundamentos de la aritmética , 1884
• Richard Dedekind , Was sind und was sollen die Zahlen? , 1888
• Edmund Husserl , Filosofía de la aritmética  (en) , 1891