Multiplicación

La multiplicación es una de las cuatro operaciones de la aritmética elemental con la suma , la resta y la división . Esta operación a menudo se indica con la cruz de multiplicación "×", pero también se puede indicar con otros símbolos (por ejemplo, el punto medio "·") o con la ausencia de un símbolo.

Su resultado se llama producto , los números que multiplicamos son los factores .

La multiplicación de dos números ayb se dice indistintamente en francés "a multiplicado por b" o "b por a".

La multiplicación de dos números enteros puede verse como una suma repetida varias veces. Por ejemplo, "3 por 4" puede verse como la suma de tres números 4; "4 por 3" puede verse como la suma de cuatro números 3:

3 por 4 = 4 multiplicado por 3 = 4 × 3 = 4 + 4 + 4; 4 por 3 = 3 multiplicado por 4 = 3 × 4 = 3 + 3 + 3 + 3;

con : $3 \ times 4 = 4 \ times 3 = 12.$ La multiplicación se puede utilizar para contar elementos dispuestos en un rectángulo o para calcular el área de un rectángulo cuya longitud y anchura se conocen. También permite determinar un precio de compra conociendo el precio unitario y la cantidad comprada.

La multiplicación se generaliza a otros conjuntos distintos a los números clásicos (entero, relativo, real). Por ejemplo, puede multiplicar el complejo entre ellos, las funciones , de las matrices e incluso los vectores por números.

Notaciones

En aritmética , la multiplicación a menudo se escribe usando el signo "×" entre los términos, es decir, en notación infija . Por ejemplo,

{\ Displaystyle 2 \ times 3 = 6}

(oralmente, "tres veces (el número) dos es seis")

{\ Displaystyle 3 \ times 4 = 12}

{\ Displaystyle 2 \ times 3 \ times 5 = 6 \ times 5 = 30}

{\ Displaystyle 2 \ times 2 \ times 2 \ times 2 \ times 2 = 32}

Este símbolo se codifica en Unicode U + 00D7 × signo de multiplicación ( HTML : × ×) . En modo matemático en LaTeX , está escrito \times.

Hay otras notaciones matemáticas para la multiplicación:

La multiplicación también se indica con un punto, en altura media o baja: $5 \cdot 2$ o $5. 3$
En álgebra , una multiplicación que implica las variables es a menudo escrito por un simple yuxtaposición (por ejemplo, xy para x veces y o 5 x para cinco veces x ), también llamado multiplicación implícita . Esta notación también se puede usar para cantidades que están entre paréntesis (por ejemplo, 5 (2) o (5) (2) para cinco veces dos). Este uso implícito de la multiplicación puede crear ambigüedades cuando la concatenación de variables corresponde al nombre de otra variable, o cuando el nombre de la variable antes del paréntesis puede confundirse con el nombre de una función, o para la determinación del orden de operaciones. .
En la multiplicación de vectores, los símbolos de cruz y punto tienen diferentes significados. El símbolo de cruz representa el producto de cruz de dos vectores de dimensión 3, proporcionando un vector como resultado, mientras que el símbolo de punto representa el producto de puntos de dos vectores de la misma dimensión (posiblemente infinito), proporcionando un escalar .
En programación de computadoras , el asterisco (como en 5*2) es la notación más común. Esto se debe a que, históricamente, las computadoras estaban limitadas a un pequeño conjunto de caracteres (como ASCII o EBCDIC ) que no tenían un símbolo como ⋅o ×, mientras que el asterisco se encuentra en todos los teclados. Este uso tiene su origen en el lenguaje de programación FORTRAN .

Multiplicación en conjuntos de números

Multiplicación en números enteros

Multiplicar un número entero por otro es sumar este número entero a sí mismo varias veces. Entonces, multiplicar 6 por 4 es calcular 6 + 6 + 6 + 6, el resultado de 6 × 4 se dice 4 veces 6 (como en 4 veces el número 6 ) o 6 multiplicado por 4 . Llamamos al producto de 6 por 4 el resultado de esta operación. En esta multiplicación, 6 se llama multiplicando porque es lo que se repite y 4 se llama multiplicador porque indica cuántas veces 6 deben repetirse.

Sin embargo, el hecho de que 4 por 6 sea igual a 6 por 4, hace que esta distinción sea innecesaria, y los dos números se denominan factores del producto. Celui-ci est noté 6 × 4 — qui se lit indifféremment « quatre fois six » ou « six multiplié par quatre » — ou 4 × 6. Dans les livres scolaires d'arithmétique des deux derniers siècles, on lisait plutôt de la seconde manière al origen. Se consideró que "Tiempos" era menos preciso (como "y" para sumar).

No es eficiente, a largo plazo, ver la multiplicación como una suma repetida. Por lo tanto, es necesario aprender el resultado de multiplicar todos los números enteros del 1 al 9. Este es el propósito de la tabla de multiplicar .

La multiplicación en números enteros satisface las siguientes propiedades:

podemos cambiar el orden de los factores sin cambiar el resultado final: a × b = b × a. Decimos que la multiplicación es conmutativa ;
cuando tenemos que multiplicar tres números entre ellos, podemos, como se desee, multiplicar los dos primeros y multiplicar el resultado obtenido por el tercer factor o multiplicar entre ellos los dos últimos y luego multiplicar el resultado por el primer número: (a × b) × c = a × (b × c). Decimos que la multiplicación es asociativa ;
cuando tiene que multiplicar una suma (o una diferencia) por un número, puede primero calcular la suma y multiplicar el resultado por el número o bien, primero multiplicar cada término de la suma por este número y luego realizar la suma: ( a + b) × c = (a × c) + (b × c). Decimos que la multiplicación es distributiva para la suma porque hemos distribuido c a los dos términos de la suma.

Los paréntesis indican el orden en el que se deben realizar las operaciones. En la práctica, para no arrastrar demasiados paréntesis, utilizamos, por convención, la siguiente regla de prioridad: las multiplicaciones se realizan siempre antes que las sumas. Así, en la escritura 4 + 5 × 2, debemos leer 4 + (5 × 2), es decir 4 + 10 = 14 y no (4 + 5) × 2 que habría valido 18.

4 + 5 \ times 2 = 4 + (5 \ times 2) = 4 + 10 = 14,

(4 + 5) \ times 2 = 9 \ times 2 = 18 \ neq 4 + 5 \ times 2.

Esta regla se denomina prioridad operativa .

La última propiedad se relaciona con las comparaciones. Si dos números se organizan en un orden determinado y se multiplican por el mismo número estrictamente positivo, los resultados se ordenarán en el mismo orden. Si a <b entonces a × c <b × c. Decimos que la multiplicación por números enteros positivos es compatible con el orden.

El símbolo utilizado para la multiplicación es la cruz × (a × b) pero también encontramos, en los cálculos con letras el punto (a b) o incluso nada (ab) si no hay ambigüedad posible. $\ cdot$ $\ cdot$

Hay dos operaciones algo específicas:

la multiplicación por 1 que no cambia el factor: 1 × a = a × 1 = a. Decimos que 1 es un elemento neutro para la multiplicación;
la multiplicación por 0 que siempre da 0: 0 × a = a × 0 = 0. Decimos que 0 es un elemento absorbente para la multiplicación.

Multiplicación en decimales

Para multiplicar decimales entre sí, utilizamos el hecho de que los productos se pueden hacer en cualquier orden. Si queremos multiplicar, por ejemplo, 43,1 por 1,215, hacemos las siguientes observaciones

{\ displaystyle {\ begin {align} 43,1 \ times 1,215 & = \ left (431 \ times {\ frac {1} {10}} \ right) \ times \ left (1 \; 215 \ times {\ frac {1} {1 \; 000}} \ right) \\ & = (431 \ times 1 \; 215) \ times \ left ({\ frac {1} {10}} \ times {\ frac {1} { 1 \; 000}} \ right) \\ & = (431 \ times 1 \; 215) \ times {\ frac {1} {10 \; 000}}. \ End {alineado}}}

De ahí nace la regla: para multiplicar entre ellos dos decimales, se cuenta el número de dígitos que se encuentran después del punto decimal en los dos números y se hace la suma. A continuación, se realiza el producto, sin tener en cuenta la coma. Finalmente, colocamos la coma en el resultado final, dejando a la derecha tantos dígitos como la suma que obtuvimos anteriormente.

3,15 × 1,2 =? (hay 3 dígitos después del punto decimal, 2 en el primer número y 1 en el segundo número) 315 × 12 = 630 × 6 = 3.780. 3,15 × 1,2 = 3,780 = 3,78

Esta regla funciona porque el cálculo "sin tener en cuenta el punto decimal" vuelve a múltiplo 3,15 por 100, para obtener 315 y multiplicar 1,2 por 10 para obtener 12. Estas multiplicaciones deben compensarse al final del cálculo por la multiplicación. inversa, por lo que una división, por 100 y por 10: 3 780 luego se convierte en 378 y luego en 3,78, dando el resultado de la operación solicitada.

Multiplicación con números negativos

Podemos ver el producto 4 veces (–6) como la suma de (–6) repetida 4 veces, es decir (–6) + (–6) + (–6) + (–6) = –24.

También podemos ver el producto (–4) veces (6) como un número 6 que eliminamos 4 veces. Por lo tanto, hacer el producto de (–4) por 6 es restar 24, que escribimos (–4) × 6 = –24.

Finalmente, podemos ver el producto (–4) por (–6) como el número (–6) que restamos 4 veces, entonces tenemos que restar –24. Quitar –24 es sumar 24, por lo que (–4) × (–6) = 24.

Estos ejemplos explican la regla para los números con signo. Para producir el producto de dos números con signo, realizamos el producto de sus valores absolutos y le asignamos al resultado el signo: si los signos de los dos factores son diferentes, y el signo más (+) si los dos factores tienen el mismo firmar.

Estas reglas se pueden resumir de la siguiente manera:

menos por menos es igual a más menos por más es igual a menos más por menos es igual a menos más por más es igual a más

La multiplicación en enteros relativos tiene las mismas propiedades que la multiplicación en enteros naturales (es conmutativa, asociativa, distributiva para la suma) con una excepción: no siempre mantiene el orden: si dos números están ordenados en cierto orden y si los multiplicamos por un entero estrictamente positivo, el orden se mantiene

–2 <3 y (–2) × 4 <3 × 4

pero si lo multiplicamos por un número estrictamente negativo, el orden se invierte

(–2) <3 y (–2) × (–4)> 3 × (–4).

Multiplicación en fracciones

Multiplicar dos fracciones entre ellas es multiplicar los numeradores y los denominadores entre ellas:

{\ frac ab} \ times {\ frac cd} = {\ frac {a \ times c} {b \ times d}}.

En el conjunto ℚ de números racionales , la multiplicación conserva las propiedades ya expresadas con la misma dificultad en cuanto al orden y la multiplicación por un número negativo.

Multiplicación en reales

Es una generalización de la multiplicación anterior. Conserva las mismas propiedades.

Contrarrestar

El recíproco de un número para multiplicar es el número por el que debe multiplicarse para obtener 1.

Por ejemplo :

el inverso de 10 es 0.1 porque 10 × 0.1 = 1;
el inverso de 2 es 0.5 porque 2 × 0.5 = 1;
el inverso de 3 ⁄ 4 es 4 ⁄ 3 porque 3 ⁄ 4 × 4 ⁄ 3 = 12 ⁄ 12 = 1.

El inverso del número a se denota por 1 ⁄ a o incluso a −1 .

Entonces :

el inverso de $π$ se denota por $1 ⁄ π$ ;
el inverso de 2 se denota por 1 ⁄ 2 = 0.5.

Dependiendo de los conjuntos de números, no siempre encontramos un inverso en el conjunto:

en el conjunto de números enteros, solo 1 y –1 tienen inversas;
cualquiera que sea el conjunto de números que verifican 0 ≠ 1, 0 no tiene inverso porque 0 multiplicado por a siempre da 0 y nunca 1;
en el conjunto de racionales y en el conjunto de reales, todos los números excepto 0 tienen una inversa.

La cuarta operación de las matemáticas elementales, la división, puede verse como una multiplicación por el inverso.

Múltiple

Decimos que un número a es múltiplo de un número b si es el resultado de la multiplicación de b por un número entero (natural o relativo)

a es un múltiplo de b si y solo si existe un entero relativo k tal que a = k × b

Cuando ayb son números enteros, también decimos que a es divisible por b.

Concepto de cuerpo ordenado

En el conjunto de números racionales , y en el conjunto de números reales , encontramos las siguientes propiedades para la multiplicación:

Asociatividad	Para todo a, b, c, a × (b × c) = (a × b) × c
Conmutatividad	Para todo a y b, a × b = b × a
Elemento neutro	Para todo a, a × 1 = 1 × a = a
Contrarrestar	Para cualquier a distinto de cero, existe un −1 tal que a × a −1 = 1
Distributividad	Para todo a, b y c, (a + b) × c = (a × c) + (b × c)
Elemento absorbente	para todo a, a × 0 = 0 × a = 0
Pedido	Para todo a> 0 y todo byc, si b <c entonces ab <ac

Estas propiedades asociadas con las que posee la suma en estos conjuntos hacen ℝ y ℚ, provistos de suma y multiplicación, conjuntos especiales llamados campos ordenados .

Técnicas de multiplicación

Excepto la multiplicación egipcia y su variante rusa que utilizan un principio binario, las técnicas de multiplicación que se han desarrollado a lo largo de los siglos, utilizan el sistema decimal y en su mayor parte requieren conocer la tabla de multiplicar de los números del 1 al 9, así como el principio de distributividad. Entonces, para multiplicar 43 por 25, escribimos que 43 × 25 = 43 × (2 decenas + 5 unidades) . Luego distribuimos los diferentes términos

43 × 25 = 43 × 2 decenas + 43 × 5 unidades. 43 × 25 = (4 × 2 centenas + 3 × 2 decenas) + (4 × 5 decenas + 3 × 5 unidades) = 8 centenas + 6 decenas + 20 decenas + 15 unidades = 1,075.

Los diferentes métodos consisten en presentar este cálculo de forma práctica. Encontramos así el método chino que comienza con los pesos fuertes, es decir, la multiplicación de los dígitos más a la izquierda. Este método es el que se usa en la multiplicación con ábaco . Pero son posibles otros métodos, como el que se utiliza habitualmente en las escuelas francesas, que consiste en "plantear la multiplicación" multiplicando 43 primero por 5, luego por 2 decenas y sumando.

Otras técnicas que utilizan el mismo principio se han desarrollado como el deslizamiento de multiplicación utilizado para IX ° siglo por Al-Khwarizmi o la multiplicación por celos utilizados en la Edad Media en Europa . Este último dio lugar a la fabricación de palos que automatizan el cálculo: los palos de Napier .

La mayoría de estas técnicas requieren conocimiento de las tablas de multiplicar . Se utilizaron desde muy temprano. Encontramos rastros, por ejemplo, en Nippur en Mesopotamia 2000 años antes de Cristo. AD en tabletas reservadas para la formación de aprendices de escribas.

A veces es difícil memorizar tablas para números entre 6 y 9. Georges Ifrah indica una forma sencilla de multiplicar con los dedos los números entre 6 y 9. En cada mano, se dibujan tantos dedos como unidades que superen el 5 para cada uno de los números en cuestión. Entonces, para multiplicar 8 por 7, levantamos 3 dedos de la mano izquierda y dos dedos de la mano derecha. La suma de los dedos verticales da el número de decenas y el producto de los dedos doblados da el número de unidades a sumar. Así, en el ejemplo, hay 5 dedos levantados , por lo tanto , 5 decenas . Hay 2 dedos doblados en una mano y 3 dedos doblados en la otra, lo que da 2 × 3 = 6 unidades o 7 × 8 = 56 .

La explicación matemática vuelve a llamar a la distributividad: si llamamos xey al número de dedos doblados, el número de dedos erectos es a = 5 - x y b = 5 - y y realizamos la multiplicación de 10 - x por 10 - y:

(10 - x) (10 - y) = 10 (10 - x) - (10 - x) y = 10 (10 - x) - 10y + xy = 10 (10 - x - y) + xy = 10 (a + b) + xy.

Existe una técnica similar para multiplicar números entre 11 y 15. Solo usamos dedos erectos. El número de dedos erectos da el número de decenas que se suman a 100, y el producto de los dedos erectos da el número de unos que se suman.

Notaciones

En las tablillas babilónicas, hay un ideograma para representar la multiplicación A - DU.

En los elementos de Euclides , la multiplicación se ve como el cálculo de un área. Entonces, para representar el producto de dos números, hablamos de un rectángulo ABCD, en el que los lados AB y AD representan los dos números. El producto de los dos números se llama entonces rectángulo BD (implica el área del rectángulo con lados AB y AD).

Diofanto , por otro lado, no usa un símbolo especial para la multiplicación, colocando los números uno al lado del otro. Encontramos esta misma falta de signo en las matemáticas indias, los números a menudo se colocan uno al lado del otro, a veces separados por un punto o seguidos de la abreviatura bha (para bhavita, el producto).

En Europa, antes de que se admitiera definitivamente el lenguaje simbólico, las operaciones se expresaban en oraciones escritas en latín. Entonces, 3 por 5 se escribió 3 en 5.

En la XVI ª siglo , se ve el símbolo M utilizado por Stifel y Stevin . La cruz de San Andrés × se utiliza para denotar una multiplicación por Oughtred en 1631 ( Clavis mathicae ). Pero encontramos en este momento otras notaciones, por ejemplo una coma precedida de un rectángulo en Hérigone , "5 × 3" escribiendo "☐ 5, 3:". Johann Rahn usa el símbolo * para él en 1659. El punto lo usa Gottfried Wilhelm Leibniz, quien encuentra la cruz demasiado cerca de la letra x. Al final de la XVII ª siglo , todavía no hay una indicación establecida para la multiplicación, en una carta a Hermann, Leibniz afirma que el aumento no necesita ser expresado solamente por cruces, sino que también se puede utilizar comas, puntos o espacios.

Fue sólo durante el XVIII ° siglo que generaliza el uso de puntos para la multiplicación en el lenguaje simbólico.

Multiplicación de varios factores entre ellos.

Dado que la multiplicación es asociativa, no es necesario establecer una prioridad en las multiplicaciones que se realizarán. Sin embargo, queda por definir cómo escribir el producto de un número indeterminado de factores.

\ underbrace {a \ times \ cdots \ times a} _ {n}

significa que hemos multiplicado el factor a por sí mismo n veces . el resultado se observó un n y lee " una a la potencia de n ".

1 \ veces 2 \ veces \ cdots \ veces n

significa que hemos obtenido el producto de todos los números enteros de 1 an , ¡el resultado se denota con n ! y lee " n factorial ".

Si es una secuencia de números, significa que hemos hecho el producto de estos n factores entre ellos. Este producto también se observa $(x_ {i})$ $x_ {1} \ veces x_ {2} \ veces \ cdots \ veces x_ {n}$

\ prod _ {{k = 1}} ^ {n} x_ {k}.

Si la expresión tiene un significado, el límite del producto anterior cuando n se acerca al infinito se llama producto infinito y se escribe

\ prod _ {{k = 1}} ^ {{+ \ infty}} x_ {k}.

Notas y referencias

Colectivo, Pequeña enciclopedia de las matemáticas , Didier, 1980, p. 24.
Charles Briot , Elementos de aritmética… , Dezobry, E. Magdéleine et Cie, 1859, p. 27 .
Técnica de multiplicación sentado para números enteros, [1] .
Tablillas NI 2733 o HS 0217a en Le calcul sexagesimal en Mésopotamie de Christine Proust sobre matemáticas culturales o matemáticas mesopotámicas, 2100-1600 aC por Eleanor Robson p. 175.
Georges Ifrah, Historia universal de figuras , La primera máquina calculadora: mano - elementos de cálculo digital.
(en) Florian Cajori , A History of Mathematical Notaciones [ detalle de las ediciones ], vol. 1, párrafos 219-234.
Michel Serfati, La revolución simbólica , p. 108 .

Ver también

Multiplicación en complejos
Producto de matriz
Multiplicación de un vector por un real en cálculo vectorial en geometría euclidiana
Cruz de multiplicación