Teorema fundamental de funciones simétricas

En las matemáticas , y más particularmente en álgebra conmutativa , el teorema fundamental de funciones simétricas , a menudo llamado “  teorema fundamental del polinomio simétrico  ” o “  de Newton teorema  ”, los estados que cualquier polinomio simétrico en indeterminado n con coeficientes en un ( conmutativa ) anillo A es expresado de manera única por una función polinomial de los n polinomios simétricos elementales . En otras palabras, los n polinomios simétricos elementales forman una parte generadora de la álgebra de polinomios simétricos en n indeterminadas sobre A y son algebraicamente independiente sobre A .

Definiciones y observaciones preliminares

El teorema fundamental de las funciones simétricas

Teorema: Sea A un anillo conmutativo. Si P es un polinomio simétrico en n indeterminado con coeficientes en A , entonces existe un polinomio único T , con coeficientes en A , tal que

P ( X 1 ,…, X n ) = T ( s n , 1 ,…, s n, n ),

siendo s n, i los polinomios simétricos elementales en los indeterminados X 1 ,…, X n .

El siguiente corolario justifica el nombre habitual del teorema:

Si f es una fracción racional simétrica en n indeterminada sobre un campo K , entonces existe una fracción racional única Φ sobre K tal que

f ( X 1 ,…, X n ) = Φ ( s n , 1 ,…, s n, n ).

De hecho, cualquier fracción racional simétrica es un cociente de dos polinomios simétricos .

Nota La unicidad de la representación es equivalente al hecho de que no existe un polinomio T distinto de cero que satisfaga T ( s n , 1 ,…, s n, n ) = 0. Si el anillo A es un campo, eso significa, en el lenguaje de la teoría corporal, los polinomios simétricos elementales son algebraicamente independientes. Por lo tanto, forman una base trascendencia fracciones racionales simétricas en n indeterminadas más de K .

Pruebas del teorema

Hay muchas pruebas del teorema de funciones simétricas. Los más cortos utilizan el orden lexicográfico sobre monomios unitarios , luego un truco para bajar el "grado lexicográfico" de un polinomio simétrico, que proporciona el paso necesario para una demostración por inducción de este buen orden . La idea de este algoritmo se remonta a Edward Waring en 1700 . La demostración fue formalizada por Gauss en 1815 y "es la misma que se encuentra en los libros de texto modernos" .

Prueba de inducción mediante orden lexicográfico

El conjunto de multigrados ( α 1 ,…, α n ) de monomios unitarios X 1 α 1 … X n α n es igual a N n , que se puede ordenar por orden lexicográfico: por definición,

X 1 α 1 … X n α n > X 1 β 1 … X n β n

si, habiendo llegado al primer i tal que α i ≠ β i , tenemos α i > β i .

Existencia Sea P un polinomio simétrico distinto de cero y X 1 α 1 … X n α n su monomio unitario máximo. Supongamos que cada unidad máxima de no cero inductivamente simétrica polinomio monomio bajar estrictamente que P es expresable por la función polinomial de los polinomios simétricos elementales, y demostrar que es el mismo para P . Como P es simétrico, contiene, asignado el mismo coeficiente distinto de cero a ∈ A , todos los monomios obtenidos permutando los exponentes en el monomio X 1 α 1 … X n α n . Por maximalidad de este último, entonces tenemos α 1 ≥ α 2 ≥… ≥ α n . Sea t i = α i - α i +1 para 1 ≤ i <n , y t n = α n . Por tanto, los t i son todos positivos o cero. Considere el polinomio simétrico Q = como n , 1 t 1  s n , 2 t 2  …  s n, n t n .Su monomio unitario máximo es el mismo que el de P  : X 1 t 1  ( X 1 X 2 ) t 2  ( X 1 X 2 X 3 ) t 3  … ( X 1 … X n ) t n = X 1 α 1  X 2 α 2  …  X n α n por lo tanto el polinomio simétrico P - Q es cero o tiene una unidad de máxima monomio bajar estrictamente que P . Por hipótesis de inducción, existe por tanto un polinomio W tal que P - Q = W ( s n , 1 ,…, s n, n ) . Como resultado, P = P - Q + Q = T ( s n , 1 ,…, s n, n ), donde     T ( S 1 ,…, S n ) = W ( S 1 ,…, S n ) + a S 1 t 1 S 2 t 2 … S n t n . Unicidad Sea T ( S 1 ,…, S n ) un polinomio distinto de cero. Considere en T el monomio a S 1 t 1 S 2 t 2 … S n t n para el cual la unidad monomio X 1 t 1 + t 2 +… + t n X 2 t 2 +… + t n … X n t n es el máximo para el orden lexicográfico anterior. Entonces, este monomio unitario es el más grande que aparece (afectado por el coeficiente a ≠ 0) en el polinomio P = T ( s n , 1 ,…, s n, n ), por lo que este polinomio P es distinto de cero. Nota Esta prueba muestra además que el grado total de T es como máximo igual al máximo de los grados de P en cada variable.

La siguiente demostración, apenas más extensa, puede parecer más natural y proporciona instrumentos teóricos que preludian la teoría de Galois .

Con las notaciones especificadas en el apartado “Definición y observaciones preliminares” , se basa en tres lemas  :

Lema 1  -  Si A ' es un anillo que contiene A como un subanillo y ( a 1 ,…, a n ) una n -tupla de elementos de A' , entonces el mapa de evaluación,

φ  : B → A ' ,   P ( X 1 ,…, X n ) ↦ P ( a 1 ,…, a n ),

es un morfismo de anillos e incluso de A -álgebras , llamado "morfismo de sustitución".

Este es un caso especial de la propiedad universal de los anillos de polinomios .

Lema 2  -  Sea σ una permutación de S n . Si bien la aplicación () σ  : B → B ,   P ↦ P σ  es un automorfismo de B .

Dado que A es un subanillo de B , es una aplicación simple del Lema 1, con ( a 1 ,…, a n ) = ( X σ (1) ,…, X σ ( n ) ) . El mapa inverso de () σ es obviamente () σ −1 .

Lema 3  -  Si i es diferente de j 1 , j 2 , ..., j k y si X i divide el producto de un polinomio P de B por el monomio x j 1 ... X j k , entonces X i divide P .

De nuevo es una aplicación simple del Lema 1, con ( a 1 ,…, a n ) = ( X 1 ,…, X i –1 , 0, X i +1 ,…, X n ).

Prueba por inducción sobre el número de indeterminados y sobre el grado total

Para reproducir la recurrencia, necesitamos refinar el enunciado del teorema, especificando que en él, el polinomio T ( S 1 ,…, S n ) tal que P ( X 1 ,…, X n ) = T ( s n , 1 , ..., s n, n ) es de "peso" menor o igual que el grado total de P , el "peso" de un polinomio se define a partir del de los monomios de la misma manera que el grado total, pero por ponderación por los índices de los indeterminados: el peso del monomio S 1 t 1 … S n t n es por definición t 1 + 2 t 2 +… + nt n .

El teorema (en su versión especificada) es obvio en el caso de polinomios en 0 indeterminado y en el de polinomios en n indeterminado de grado total menor o igual a 0 (en ambos casos, son los polinomios constantes). Supongamos, por tanto, que el teorema se verifica inductivamente para cualquier polinomio en n - 1 indeterminado y para cualquier polinomio en n indeterminado de grado total estrictamente menor que m ( n , m ∈ N *), y consideremos en B un polinomio simétrico P , de igual grado total a m .

Sea A ' = A [ X 1 ,…, X n –1 ] , y φ  : B → A' el morfismo de sustitución (cf. Lema 1) que fija X 1 ,…, X n –1 y envía X n a 0.

Dado que φ ( P ) es simétrico y de grado total menor o igual am , existe (por hipótesis de inducción) un polinomio V ( S 1 ,…, S n –1 ) de peso menor o igual am tal que ( en A ' )

φ ( P ) = V ( s n –1,1 ,…, s n –1, n –1 ).

Pongamos (en B )

P ' = V ( s n , 1 ,…, s n , n –1 ).

Entonces, φ ( P ' ) = φ ( P ) - ya que el morfismo φ envía s n, i sobre s n –1, i para todo i < n - y el grado total de P'  es menor o igual al peso de V por lo tanto a m .

El polinomio P ' es simétrico y satisface φ ( P - P' ) = 0, es decir que el polinomio P - P '  es simétrico y múltiplo de X n , por lo tanto múltiplo de X i para todo i , y consecuentemente múltiplo de X 1 … X n = s n, n ( Lema 3 ). Por tanto, podemos escribir

P - P '= Q s n, n ,

donde Q es un elemento de B , simétrico y de grado total menor o igual que m - n < m . La hipótesis de inducción implica entonces que existe un polinomio único W tal que Q = W ( s n , 1 ,…, s n, n ) , y que este polinomio W tiene un peso menor o igual que m - n . Entonces,

P = P '+ Q s n, n = T ( s n , 1 ,…, s n, n ), donde     T = V + WX n , de peso menor o igual am ,

que muestra la existencia de la representación deseada.

Si T '  es otro polinomio tal que T' ( s n , 1 , ..., s n, n ) = P , entonces ( T '- V ) / X n = W , ya que la representación por W de Q = ( P - P ' ) / s n, n es único (hipótesis de inducción). Entonces T '= V + WX n = T , y la unicidad de la representación está asegurada.

También podemos usar la teoría de Galois para demostrar directamente la parte de "existencia" del corolario del teorema, es decir, para mostrar que cualquier fracción racional simétrica sobre un campo K es una función racional de los polinomios simétricos elementales.

Prueba de la "existencia" parte del corolario de la teoría de Galois

Considere la secuencia de extensiones C ⊂ M ⊂ L , donde L = K ( X 1 ,…, X n ), M = L S n (el subcampo de fracciones racionales simétricas) y C = K ( s n , 1 ,…, S n, n ). Se trata de mostrar que la inclusión de C en M es de hecho una igualdad.

La extensión L / C es finita y Galois porque L es un campo de descomposición del polinomio separable P ( X ) = ( X - X 1 )… ( X - X n ) , cuyos coeficientes (–1) i s n, pertenezco para C .

El subgrupo Gal ( L / M ) es igual a todo el grupo Gal ( L / C ), porque cualquier C -automorfismo de L fija los coeficientes de P , por lo que permuta sus raíces X 1 ,…, X n , entonces es igual a a () σ (Lema 2 extendido a fracciones), que fija todos los elementos de M por definición.

De acuerdo con el teorema fundamental de la teoría de Galois , por lo que tenemos: M ⊂ L Gal ( L / M ) = L Gal ( L / C ) = C .

A continuación, se deduce la parte "existencia" del teorema (todo el polinomio simétrico de A es una función polinómica de los polinomios simétricos elementales) para A = Z entonces, por genérico para cualquier anillo conmutativo A .

La parte de "existencia" del teorema se deduce de la del corolario

Tenemos que demostrar que el anillo A [ X 1 ,…, X n ] S n , que es un número entero en el subanillo A [ s n , 1 ,…, s n, n ], es de hecho igual.

Procedimientos de cálculo

Antes de aplicar cualquier procedimiento de cálculo, posiblemente en cada paso, a veces es preferible, para simplificar los cálculos, separar el polinomio simétrico P en una suma de polinomios igual a las órbitas de los monomios a X 1 α 1 … X n α n que aparece en P bajo la acción de S n . La expresión de P en términos de los polinomios simétricos elementales será entonces la suma de las expresiones de los respectivos polinomios orbitales.

Entonces existen diferentes métodos para el cálculo efectivo de la expresión del polinomio T que aparece en el teorema fundamental anterior. Por ejemplo, podemos basar un procedimiento recursivo para calcular T en una de las dos demostraciones anteriores:

Ejemplo

Proponemos ilustrar los dos procedimientos anteriores determinando la representación en términos de los polinomios simétricos elementales de la tercera suma de Newton en tres variables, que consisten en una sola órbita:

P = p 3 ( X 1 , X 2 , X 3 ) = X 1 3 + X 2 3 + X 3 3 .

Uso y aplicaciones del teorema fundamental de funciones simétricas

El objetivo de esta sección es ilustrar, mediante un cierto número de aplicaciones y ejemplos, el uso del teorema fundamental de las funciones simétricas. Resulta que se usa principalmente a través de un corolario, que a menudo se invoca con el mismo nombre. Este corolario sólo dice que una expresión algebraica polinomio con coeficientes en un anillo conmutativo integra A , que implican las raíces de un cierto número de unidad de polinomios con coeficientes en A y simétrica en cada grupo de raíces, de hecho pertenece a una . Se aplica en particular si A es un campo K (en este caso, todos los elementos algebraicos de K son números enteros de K ).

Se recuerda que por cada anillo conmutativo A , un elemento de A álgebra es número entero A si es una raíz de un polinomio unidad con coeficientes en A . Tal elemento α es la raíz de una infinidad de polinomios unitarios; por lo tanto, asumiremos dicho polinomio P α fijo para cada elemento entero α .

Tenga en cuenta que si A está integrado , los coeficientes del polinomio P α son (en el signo) funciones simétricas elementales de las raíces de P α en un cierre algebraico de las fracciones A del cuerpo Fr ( A ) . De hecho, siendo P α unitario, tenemos

P α = ( X - α ) ( X - α ' ) ( X - α " )…

donde α , α ' , α " son todas las raíces de P α , y esta expresión es la imagen de ( X - X 1 ) ( X - X 2 ) ( X - X 3 ) ... por el morfismo de sustitución (lema 2 de la sección anterior) que envía X 1 , X 2 ,… en α , α ' ,….

Corolario  -  Sea A un anillo conmutativo, B un álgebra A conmutativa y α i ( j ) (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n i ) elementos de B (no necesariamente distintos) tales que para todo i , el polinomio P i  = ( x - alpha i (1) ) ... ( x - alpha i ( n i ) ) los coeficientes, ya sea en A .

Si P es un polinomio de n 1 n 2 … n m variables

X 1 , X ' 1 ,…, X 1 ( n 1 ) , X 2 , X' 2 ,…, X 2 ( n 2 ) ,…, X m , X ' m ,…, X m ( n m )con coeficientes en A , y si P es internamente simétrico en cada uno de los grupos de variables X i , X ' i ,…, X i ( n i ) , entonces el elemento E = P ( α 1 , α ' 1 ,…, α 2 , α' 2 ,…, α m , α ' m ,…)

pertenece a una .

Demostración

Razonamos por inducción sobre el número m de grupos de variables. Si m = 0, la afirmación es trivial . Suponga que m > 0 y la afirmación verdadera para m - 1 variables y considere el polinomio

Q ( X , X ' ,…, X (n m ) ): = P ( α 1 ,…, α 1 ( n 1 ) ,…, α m –1 ,…, α m –1 ( n m –1 ) , X , X ' ,…, X (n m ) ).

Es simétrico (por hipótesis de inducción) con coeficientes en A . Según el teorema de funciones simétricas, es por tanto igual a una expresión polinomial T ( s 1 , s 2 ,…) con coeficientes en A de polinomios simétricos elementales s i ( X, X ',… ) . Como los s i ( α m (1) , α m (2) , ...) pertenecen a A (porque son, excepto por el signo, los coeficientes del polinomio P m ), deducimos que E = Q ( α m , α m ', ... ) pertenece a una .

Nota El anillo A puede ser en sí mismo un anillo de polinomios en un cierto número de variables "estáticas" Y k , a diferencia de las "variables activas" X i ( j ) .

Aplicaciones históricas del teorema fundamental de funciones simétricas

Hasta el advenimiento de la teoría de Galois, el teorema de las funciones simétricas fue la única herramienta que permitió penetrar en la estructura de las ecuaciones algebraicas. Fue utilizado por la mayoría de los grandes algebristas como Newton , Lagrange , Abel , Kummer o Galois e incluso más tarde, no es hasta Hilbert quien no lo utilizó. El corolario citado en la sección anterior autoriza efectivamente una actitud activa frente a los problemas; en lugar de esperar a que la solución se imponga, podemos formar a priori expresiones simétricas y deducir las propiedades deseadas de ellas.

Todo el trabajo algebraico de Abel está lleno de estas expresiones "simetrizadas", y es también por este medio que Galois estableció su teoría, a través del teorema del elemento primitivo. Hoy en día, la teoría de Galois establecida independientemente ha suplantado en gran medida el uso del teorema de funciones simétricas. Sin embargo, tiene algunas ventajas sobre la teoría de Galois que aún lo hacen un instrumento útil: en primer lugar, es insensible a la naturaleza del anillo de coeficientes, que puede que ni siquiera sea integral. La teoría de Galois solo se aplica (clásicamente) a los cuerpos. Pero incluso en los cuerpos, la teoría de Galois solo se aplica para extensiones separables (es cierto que la mecánica de Galois se extendió más allá de las extensiones corporales de Galois . Sin embargo, en muchas circunstancias, usar estas teorías volvería a aplastar una mosca con un gran adoquín). Es en estos casos cuando se impone el teorema de las funciones simétricas.

Así que encontramos este teorema aquí y allá en el álgebra conmutativa moderna. Citemos, por ejemplo, la demostración de los teoremas de “  subir  ” y “  bajar  ” de Cohen  (en) - Seidenberg  (en) .

Ejemplos de

Algunos de los siguientes ejemplos repiten la demostración de resultados bien conocidos. Este tipo de pruebas generalmente se han abandonado en favor de otras más teóricas (es una tendencia constante en las matemáticas modernas buscar conceptos intrínsecos, en lugar de usar argumentos ingeniosos pero artificiales). Sin embargo, estas demostraciones "anticuadas" tienen cierto encanto e ilustran la ventaja que se puede extraer del teorema fundamental de las funciones simétricas.

Ejemplo 1

Deje B un Un álgebra conmutativa y α , β 1 , ..., β n ∈ B .

Si α es una raíz de un polinomio mónico con coeficientes en A [ β 1 , ..., β n ] y si β 1 , ..., β n son integral sobre A , entonces α es entero sobre A .

Por lo tanto, al denotar C el cierre integral de A en B , es decir el conjunto de elementos de B enteros sobre A  :

Prueba: Podemos reducir fácilmente por inducción al caso n = 1 (incluso podemos suponer que cada β k es un número entero solo en A [ β 1 ,…, β k –1 ]).

Entonces, sea P ∈ A [ X , Y ] unitario con respecto a X , tal que P ( α , β ) = 0, y Q ∈ A [ Y ], unidad, tal que Q ( β ) = 0.

Escribe Q en la forma Q ( a 1 ,…, a m , Y ) donde a 1 ,…, a m ∈ A y Q es el polinomio unitario de grado m en Y universal:

Q = Y m - S 1 Y m –1 +… + (–1) m S m ∈ Z [ S 1 ,…, S m , Y ].

El morfismo de sustitución, de Z [ S 1 ,…, S m ] a Z [ X 1 ,…, X m ], que envía ( S 1 ,…, S m ) en ( s m , 1 ,…, s m, m ), siendo inyectivo, podemos asimilarlo a una inclusión y considerar el S k como igual a los polinomios simétricos elementales en el X k . A través de esta identificación, tenemos:

Q = ( Y - X 1 )… ( Y - X m ).

Denote por R ∈ A [ X , S 1 ,…, S m ] el producto de P ( X , X k ), luego R ∈ A [ X ] el polinomio R ( X , a 1 ,…, a m ), unitario por construcción.

El producto de P ( X , X k ) - P es tanto de la forma Q U como de la forma R + P V , con U , V ∈ A [ X , Y , S 1 ,…, S m ]. Por sustitución, deducimos:

R ( α ) = Q ( β ) U ( α , β , a 1 ,…, una m ) - P ( α , β ) V ( α , β , a 1 ,…, una m ) = 0,

demostrando que α es entero sobre A .

Ejemplo 2

Cualquier campo de descomposición es una extensión normal , es decir, si K es un campo y L es un campo de la descomposición de un polinomio con coeficientes en K entonces, para todo α ∈ L , el polinomio mínimo sobre K de α es dividida en L .

Prueba: Por hipótesis, L = K ( β 1 ,…, β n ), donde β i son las raíces de un polinomio Q ∈ K [ X ].

Si α ∈ L , existe entonces una fracción racional f tal que α = f ( β 1 , β 2 ,…). Sea Π ∈ L [ X ] el producto de todos los monomios X - f ( β σ (1) , β σ (2) ,…) , el producto que se extiende al conjunto de permutaciones σ de S n .

El polinomio Π es simétrica en la β i , por lo que sus coeficientes en realidad pertenecen a K . Dado que Π ( α ) = 0, el polinomio mínimo P de α sobre K divide a Π . Pero Π se divide sobre L por construcción, por lo que P también.

Ejemplo 3

Usando el teorema de funciones simétricas en la construcción de van der Waerden de un elemento primitivo, podemos probar fácilmente que cualquier extensión L de un campo K generado por una familia finita de elementos separables sobre K admite un elemento primitivo separable. De esta manera, se obtiene fácilmente que tal extensión L / K es separable (ver "  Construcción de van der Waerden  ", demostración y observación).

Ejemplo 4

¿Cuál es el polinomio mínimo de √ 2 + 3 5 √ 7  ? De manera más general, podemos plantear el problema de determinar el polinomio mínimo de cualquier función racional de elementos algebraicos α 1 , ..., α n sobre un campo K , del cual conocemos los polinomios mínimos P α i (o incluso cancelando solo polinomios ).

Cuando los grados de las ecuaciones en juego son lo suficientemente pequeños como para permitir cálculos de tamaños razonables, podemos considerar el siguiente algoritmo, de lo contrario, demasiado engorroso. Rápidamente se vuelve impráctico, incluso para grados relativamente bajos, pero tiene el mérito de existir.

Sea α = f ( α 1 ,…, α n ) el elemento cuyo polinomio mínimo buscamos. Formamos el polinomio Π ( X ) , multiplicando formalmente de todas las formas posibles los monomios X - f ( α ' 1 ,…, α' n ) , donde α ' i denota cualquier conjugado de α i .

Dado que la expresión formal obtenida es simétrica en cada uno de los grupos de conjugados, es función de las funciones simétricas elementales de estos conjugados, y puede determinarse efectivamente mediante un algoritmo de descomposición en términos de las funciones simétricas elementales.

Reemplazando las funciones simétricas de los conjugados de α i por el correspondiente coeficiente del polinomio mínimo de α i (asignado el signo adecuado), obtenemos un polinomio de K [ X ] que necesariamente se desvanece en α , y que nuevamente denotamos Π .

Entonces se trata de reducir Π en factores irreductibles sobre K , lo que requiere un algoritmo de factorización .

Finalmente, es necesario determinar cuál de los factores irreducibles es el polinomio mínimo de α  ; en el caso de que K sea ​​un campo de números , esto se puede hacer usando aproximaciones numéricas de las raíces de Π .

Notas y referencias

  1. Por ejemplo, véanse las referencias (en) Ben Smith y Samuel Blum Coskey, "  El teorema fundamental de los polinomios simétricos: primer soplo de la teoría de Galois  " , The College Mathematics Journal  (en) , vol.  48, n o  1,2017, p.  18-29 ( arXiv  1301.7116 ).
  2. (La) E. Waring, Meditationes algebricae ,1732( 1 st  ed. 1700) ( línea de leer ) (problema 3, § 3).
  3. (en) Bartel L. van der Waerden , A History of Algebra , Springer ,2013( 1 st  ed. 1985) ( leer en línea ) , p.  77.
  4. (en) Joseph Rotman  (en) , Teoría de Galois , Springer,1998, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1990) ( línea de leer ) , p.  140.
  5. (en) Jean-Pierre Tignol , Teoría de ecuaciones algebraicas de Galois , World Scientific ,2015, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 2001) ( leer on-line ) , p.  96.
  6. (la) CF Gauss, “  Demonstratio nova altera teorematis omnem functionem algebraicam…  ” , comentario. Soc. Reg. Sc. Göttingen , vol.  3,1816( leer en línea ) (presentado en 7 de diciembre de 1815). Werke , vol. 3, pág.  33-56  : ver pág.  36-38 .
  7. Por ejemplo (de) Heinrich Weber , Lehrbuch der Algebra , vol.  1,1898, 2 nd o 3 rd  ed. ( leer en línea ) , pág.  163-167(mencionado por van der Waerden 2013 ), (en) Charles Robert Hadlock , Teoría de campo y sus problemas clásicos , MAA ,2000( leer en línea ) , pág.  42-43(mencionado por Rotman 1998 ) o Tignol 2015 , p.  96-98.
  8. Esta demostración está tomada de (en) Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ], 1965, pág.  133-134 .
  9. Cuando omitimos, como Lang , el lujo de los detalles (los tres lemas).
  10. (de) David Hilbert , Die Theorie der algebraischen Zahlkörper , Berlín, Druck und Verlag von Georg Reimer,1897, p.  178 (§2, th. 2).
  11. El artículo "  Teorema del elemento primitivo  " explica en detalle la demostración de Galois de este teorema.
  12. Así que si hay más Una es factoriales (o incluso sólo integra con GCD ) y si α pertenece a su cuerpo de fracciones, entonces α ∈ A .
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