Álgebra en un anillo

En matemáticas , y más precisamente en álgebra general , un álgebra sobre un anillo conmutativo A es una estructura algebraica que se define de la siguiente manera:

( E , A , +, ∙, ×) es un álgebra sobre A , o un álgebra A , si:

1. ( E , +, ∙) es un módulo en A ;
2. la ley de composición interna ×, de E × E a E , es bilineal .

Definiciones

Sea A un anillo conmutativo y E un módulo en A provisto de una operación binaria . Si esta operación binaria es bilineal , lo que significa que para todos (elementos del módulo) y para todos (escalares), estas identidades son verdaderas: ×:mi×mi→mi,(X,y)↦X×y{\ Displaystyle \ times: E \ times E \ to E, (x, y) \ mapsto x \ times y}X,y,z∈mi{\ Displaystyle x, y, z \ en E \,}a∈A{\ Displaystyle a \ in A}

• (X+y)×z=(X×z)+(y×z) ;{\ Displaystyle (x + y) \ times z = (x \ times z) + (y \ times z) ~;}
• X×(y+z)=(X×y)+(X×z) ;{\ Displaystyle x \ times (y + z) = (x \ times y) + (x \ times z) ~;}
• (a⋅X)×y=a⋅(X×y)=X×(a⋅y),{\ Displaystyle (a \ cdot x) \ times y = a \ cdot (x \ times y) = x \ times (a \ cdot y),}

entonces E es un álgebra sobre un . También dicen que E es un A -álgebra, donde A es el álgebra básica E . La operación bilineal se llama multiplicación en álgebra E .

Cuando A es un campo conmutativa ( E, +,. ) Es un espacio vectorial de A .

Un morfismo entre dos álgebras A E y F es un morfismo para leyes internas (suma y multiplicación) y el producto por escalares: F:mi→F{\ Displaystyle \, f \ ,: \, E \ a F}

F(X+y)=F(X)+F(y), F(X×y)=F(X)×F(y) y F(a⋅X)=a⋅F(X){\ Displaystyle f (x + y) = f (x) + f (y), ~ f (x \ times y) = f (x) \ times f (y) ~ {\ text {y}} ~ f ( a \ cdot x) = a \ cdot f (x)}

para todos y para todo . X,y∈mi{\ Displaystyle x, y \ en E}a∈A{\ Displaystyle a \ in A}

Un morfismo es un isomorfismo si y solo si es biyectivo (su inverso es entonces automáticamente un morfismo de álgebras). Se dice que dos álgebras A son isomórficas si hay un isomorfismo de álgebras A de una a otra.

Ejemplos de

• Encontramos un gran número de ejemplos de álgebras en álgebras asociativas , aquellas para las que la segunda ley interna es asociativa. Este es el caso de los anillos y pseudoanillos que son -álgebras. En esta gran familia de álgebras asociativas, también encontramos conjuntos que están provistos de dos leyes internas que los hacen anillos y una ley externa que los convierte en espacios vectoriales en un campo o módulos en un anillo. Este es el caso del conjunto de matrices cuadradas de dimensión n en un anillo o del conjunto de polinomios en un anillo.Z/noZ{\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}} noZ{\ Displaystyle n \ mathbb {Z}}Z{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

• Entre las álgebras no asociativas, podemos citar
  • el álgebra de Lie, que son álgebras no asociativas sobre un campo.
  • para un anillo , donde "." es la multiplicación externa y “ el producto cruzado es un ejemplo de álgebra no asociativa sobre un anillo.A{\ Displaystyle A}(A3,+,.,∧){\ Displaystyle (A ^ {3}, +,., \ wedge)}∧{\ Displaystyle \ wedge}

Calificación y referencia

1. N. Bourbaki , Álgebra , 1970, cap. III, pág. 2.

Ver también

• Álgebra en un campo
• Álgebra asociativa
• Álgebra de Clifford
• Álgebra geométrica
• Álgebra de mentiras