En álgebra , la independencia algebraica de un conjunto de números , sobre un campo conmutativo , describe el hecho de que sus elementos no son raíces de un polinomio en varios indeterminados con coeficientes en este campo.
Sea L un campo conmutativo , S un subconjunto de L y K un subcampo de L. Decimos que S es algebraicamente libre en K , o que sus elementos son algebraicamente independientes de K si, para cualquier secuencia finita ( s 1 ,…, S n ) de elementos distintos de S y cualquier polinomio distinto de cero P ( X 1 ,…, X n ) con coeficientes en K tenemos P ( s 1 ,…, s n ) ≠ 0.
Un Singleton { s } es algebraicamente libre sobre K si y sólo si el elemento s es trascendente sobre K .
Si S es algebraicamente libre sobre K, entonces es libre sobre cualquier subcampo de K.
Si S es algebraicamente libre en K, entonces cualquier parte de S también lo es. Más precisamente, si V y W son dos partes disjuntas de L , entonces su unión V⋃W es algebraicamente libre en K si y solo si V es algebraicamente libre en K y W es algebraicamente libre en el subcampo K ( V ) de L.
En particular, si S es algebraicamente libre sobre K, entonces todos sus elementos son trascendentes sobre K , pero lo contrario es claramente falso: por ejemplo, el subconjunto { π , 1 / π} del campo ℝ de números reales no es algebraicamente libre sobre el campo ℚ de números racionales , ya que el polinomio distinto de cero con coeficientes racionales P ( X , Y ) = XY - 1 satisface P ( π, 1 / π ) = 0.
En el campo de las fracciones racionales K ( X 1 ,…, X n ), los indeterminados X 1 ,…, X n son algebraicamente independientes de K ; los polinomios simétricos elementales también lo son.
La parte K -algébriquement máximo libre de L se llama una base de trascendencia de L a K , y el cardinal de tal base se llama el grado de trascendencia de la extensión.
El teorema de Lindemann-Weierstrass se puede utilizar a menudo para demostrar que algunos conjuntos son algebraicamente libres sobre ℚ.
No sabemos si el conjunto {π, e } es algebraicamente libre en ℚ (ni siquiera sabemos si π + e es irracional ).
Nesterenko (en) demostró en 1996 un teorema del que resulta, por ejemplo, que {π, e π , Γ (1/4) } , {π, e π √ 3 , Γ (1/3)} y {π, e π √ d } para cualquier entero d > 0 , son algebraicamente libres en ℚ (ya sabíamos que {π, Γ (1/4)} y {π, Γ (1/3)} son algebraicamente libres, y por lo tanto también { π, Γ (1/6)} , ya que deducimos de las relaciones funcionales en la función Gamma que Γ (1/6) = Γ (1/3) 2 2 –1/3 (3 / π) 1/2 ) .
Se sabe poco sobre los valores enteros impares de la función zeta de Riemann , pero se conjetura que los números π, ζ (3), ζ (5), ζ (7),… son algebraicamente independientes de ℚ.
(en) Michel Waldschmidt, “Funciones elípticas y trascendencia” , en Krishnaswami Alladi , Surveys in Number Theory , Springer, coll. “Dev. Matemáticas. "( N o 17),2008( leer en línea ) , pág. 143-188