Fracción racional

En álgebra abstracta , una fracción racional es un cociente de dos polinomios formales construidos usando un indeterminado . Aquí se trata de hacer el cociente de dos polinomios formales. El cociente de dos funciones polinomiales , definidas mediante una variable y no una indeterminada, se denomina función racional .

Construcción algebraica

Sea K un campo conmutativo (en general o ). Demostramos que el conjunto de polinomios formales con uno indeterminado , con coeficientes en es un anillo integral denotado . Luego podemos construir su campo de fracciones , como se indica : En el conjunto de pares de elementos de , definimos: $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {R}$ ${\ mathbb K}$ ${\ mathbb {K}} [X]$ ${\ mathbb {K}} (X)$ ${\ mathbb {K}} [X] \ times {\ mathbb {K}} [X] ^ {{*}}$

Una relación de equivalencia ~ por: (P, Q) ~ (P ', Q') si y solo si PQ '= QP';
Una adición: (P, Q) + (P ', Q') = (PQ '+ QP', QQ ');
Una multiplicación: (P, Q) (P ', Q') = (PP ', QQ').

El conjunto de clases de equivalencia proporcionado con la suma y el producto inducido es entonces un campo conmutativo llamado campo de fracciones racionales. Cualquier par (P, Q) donde Q no es el polinomio cero, es entonces un representante de una fracción racional. El mapa que a cualquier polinomio P asocia la clase de (P, 1) es un morfismo de anillo inyectivo que se sumerge en . ${\ mathbb {K}} [X]$ ${\ mathbb {K}} (X)$

Fracción irreducible : un par (P, Q) tal que P y Q son coprimos se denomina representante irreducible de la clase de (P, Q) y cualquier otro representante (P ', Q') de la misma clase es tal que existe un escalar λ tal que P '= λP y Q' = λQ. Hay varios representantes irreductibles de la misma clase pero solo un representante irreducible en el que Q es un polinomio unitario: es la fracción unitaria irreducible que representa a la clase.

Grado de una fracción : Para cualquier fracción racional F, el elemento de definido por deg (P) - deg (Q) (donde (P, Q) es un representante de F) es independiente del representante de F y se llama grado de F. El grado de una fracción satisface las siguientes propiedades: ${\ mathbb Z} \ cup \ {- \ infty \}$

para todas las fracciones F y F ', grados (F + F') ≤ sup (grados (F), grados (F '));
para todas las fracciones F y F ', grados (FF') = grados (F) + grados (F ').

Raíz y polo : Si (P, Q) es la fracción irreducible que representa a F:

cada raíz de P es una raíz de F;
cualquier raíz de Q es un polo de F.

Caso de fracciones racionales sobre el conjunto de reales

Podemos dotar al campo ℝ ( X ) con la relación de orden definida por: F ≤ G si tenemos F ( t ) ≤ G ( t ) para cualquier t real lo suficientemente grande. Esta relación es entonces total. Además, es compatible con la suma y la multiplicación por elementos positivos: ℝ ( X ) por lo tanto tiene una estructura de campo ordenada y contiene un subcampo isomorfo a ℝ. No es de Arquímedes : de hecho, tenemos 0 <1 / X <1 pero, para cualquier número natural n , n ⋅ (1 / X ) <1.

En general, posando | F | = max (- F , F ), diremos que F es infinitamente pequeño en comparación con G (denotado por F ≪ G ) si, para todo número natural n , n ⋅ | F | ≤ | G |.

El grado entonces proporciona una escala infinitamente pequeña e infinitamente grande con respecto a los reales: F ≪ G si, y solo si, deg ( F ) ≤ deg ( G ).

El conjunto de elementos de ℝ ( X ) antes de los cuales los reales distintos de cero no son despreciables, es decir, los de grado menor o igual a 0, forma un subanillo de ℝ ( X ).

¿Cuáles son las diferencias entre fracción racional y función racional?

A cualquier fracción racional F, con representante irreducible (P, Q), podemos asociar una función racional ƒ definida para cualquier x tal que Q ( x ) no sea cero, por . Sin embargo, esta asociación conlleva algunos riesgos: $f: x \ mapsto {\ frac {{\ mathrm {P}} (x)} {{\ mathrm {Q}} (x)}}$

por un lado, es posible, si el campo K es finito, que la función f nunca se defina: tomemos por ejemplo en el campo ; ${\ mathrm {F}} = {\ frac {1} {{\ mathrm {X}} ^ {2} - {\ mathrm {X}}}}$ ${\ mathbb Z} / 2 {\ mathbb Z}$
en segundo lugar, la suma o producto de dos fracciones sólo se pueden realizar en los conjuntos de intersección de definición y no transmite las propiedades del componente: Tomemos por ejemplo y entonces , , . ${\ Displaystyle \ mathrm {F} = \ mathrm {X}}$ ${\ mathrm {G}} = {\ frac {1} {{\ mathrm {X}}}}$ $\ forall x \ in {\ mathbb R}, f (x) = x$ $\ forall x \ in {\ mathbb R} ^ {*}, g (x) = {\ frac 1x}$ $\ forall x \ in {\ mathbb R} ^ {*}, fg (x) = {\ frac xx} = 1$

Sin embargo, en el caso de campos como o , podemos construir un isomorfismo entre el conjunto de fracciones racionales y el conjunto de funciones racionales módulo la siguiente relación de equivalencia: $\ mathbb {C}$ $\ mathbb {R}$

ƒ ~ g si y solo si existe un A real tal que, para todo x tal que | x | ≥ A, ƒ ( x ) = g ( x )

Esto equivale a elegir la mayor continuación por continuidad de una función racional.