Multiíndice

En matemáticas , los índices múltiples generalizan la noción de índice entero al hacer posible considerar varias variables enteras para la indexación. El propósito de usar índices múltiples es simplificar las fórmulas que se encuentran en el cálculo multivariado, ya sea para el cálculo de polinomios o en el análisis de vectores .

Un índice múltiple de tamaño n es un vector

α=(α1,α2,...,αno){\ Displaystyle \ alpha = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n})}

con coeficientes enteros positivos. αI{\ Displaystyle \ alpha _ {i}}

El índice múltiple α está asociado con su longitud (a veces llamada módulo ) , definida por: |α|{\ Displaystyle | \ alpha |}

|α| = ∑k=1noαk = α1 + ... + αno{\ Displaystyle | \ alpha | \ = \ \ sum _ {k = 1} ^ {n} \ alpha _ {k} \ = \ \ alpha _ {1} \ + \ \ dots \ + \ \ alpha _ {n }}

Calificaciones apropiadas

Usamos para un vector de componentes , una notación en forma de exponenciación para representar el cálculo de polinomios X{\ Displaystyle \ mathbf {x}}X1,...,Xno{\ Displaystyle x_ {1}, \ dots, x_ {n}}

Xα=X1α1X2α2...Xnoαno=∏k=1noXkαk{\ Displaystyle \ mathbf {x} ^ {\ alpha} = x_ {1} ^ {\ alpha _ {1}} x_ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots x_ {n} ^ {\ alpha _ {n}} = \ prod _ {k = 1} ^ {n} x_ {k} ^ {\ alpha _ {k}}}

Y podemos introducir el operador diferencial

∂α: =∂1α1∂2α2...∂noαnocon∂Ij: =∂j∂XIj.{\ estilo de visualización \ parcial ^ {\ alpha}: = \ parcial _ {1} ^ {\ alpha _ {1}} \ parcial _ {2} ^ {\ alpha _ {2}} \ ldots \ parcial _ {n} ^ {\ alpha _ {n}} \ qquad {\ hbox {con}} \ qquad \ parcial _ {i} ^ {j}: = {\ frac {\ parcial ^ {j}} {\ parcial x_ {i} ^ {j}}}.}

Se debe tener cuidado de utilizar esta notación solo en el caso de funciones para las que no importa el orden de las derivaciones (es decir, verificando, por ejemplo, las condiciones del teorema de Schwarz ).

De manera más general, podemos definir un operador diferencial de orden N para n variables mediante una fórmula tal que

PAG(∂)=∑|α|≤NOaα(X)∂α{\ Displaystyle P (\ parcial) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq N} {} {a _ {\ alpha} (x) \ parcial ^ {\ alpha}}}

Para escribir las fórmulas clásicas, introducimos un multifactorial generalizando el factorial  :

α! = ∏k=1no(αk!) = α1! × ... × αno!{\ Displaystyle \ alpha \ ,! \ = \ \ prod _ {k = 1} ^ {n} (\, \ alpha _ {k} \ ,! \,) \ = \ \ alpha _ {1} \,! \ \ veces \ \ puntos \ \ veces \ \ alpha _ {n} \,!}

Y es posible generalizar los coeficientes binomiales  :

(αβ)=α!(α-β)!β!=(α1β1)(α2β2)...(αnoβno){\ displaystyle {\ alpha \ elige \ beta} = {\ frac {\ alpha!} {(\ alpha - \ beta)! \, \ beta!}} = {\ alpha _ {1} \ elige \ beta _ { 1}} {\ alpha _ {2} \ elija \ beta _ {2}} \ ldots {\ alpha _ {n} \ elija \ beta _ {n}}}

Los coeficientes multinomiales también se pueden escribir utilizando una notación de índices múltiples:

(kα)=k!α1!α2!⋯αno!=k!α!{\ displaystyle {\ binom {k} {\ alpha}} = {\ frac {k!} {\ alpha _ {1}! \ alpha _ {2}! \ cdots \ alpha _ {n}!}} = { \ frac {k!} {\ alpha!}}}

|α|=k{\ Displaystyle | \ alpha | = k \,}

Finalmente, para describir los dominios de indexación, es útil dar una relación de orden parcial en los índices múltiples.

α≤β⟺∀I∈[[1;no]],αI≤βI{\ Displaystyle \ alpha \ leq \ beta \ quad \ Longleftrightarrow \ quad \ forall i \ in [\! [1; n] \!], \ quad \ alpha _ {i} \ leq \ beta _ {i} \ quad }

Aplicación a fórmulas habituales

Con estas notaciones se escribe un cierto número de fórmulas clásicas de forma relativamente compacta y admiten generalizaciones vectoriales.

Cálculo de polinomios

Generalización de la fórmula binomial de Newton

(X+y)α=∑β≤α(αβ)Xα-βyβ{\ Displaystyle \ left (\ mathbf {x} + \ mathbf {y} \ right) ^ {\ alpha} = \ sum _ {\ beta \ leq \ alpha} {\ alpha \ elige \ beta} \, \ mathbf { x} ^ {\ alpha - \ beta} \ mathbf {y} ^ {\ beta}}

También podemos dar una escritura compacta de la fórmula multinomial.

(∑I=1noXI)k=∑|α|=kk!α!Xα{\ Displaystyle \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} {x_ {i}} \ right) ^ {k} = \ sum _ {| \ alpha | = k} ^ {} {{\ frac {k!} {\ alpha!}} \, \ mathbf {x} ^ {\ alpha}}}

A menudo es útil tener el efecto de un operador diferencial en un monomio.

∂IXk={k!(k-I)!Xk-ISiI≤k0si no.{\ Displaystyle \ partial ^ {i} x ^ {k} = \ left \ {{\ begin {matrix} {\ frac {k!} {(ki)!}} x ^ {ki} & {\ hbox {si }} \, \, i \ leq k \\ 0 & {\ hbox {de lo contrario.}} \ end {matrix}} \ right.}

Cálculo infinitesimal

Generalización de la fórmula de Leibniz para dos funciones numéricas suficientemente regulares u, v

∂α(tuv)=∑ν≤α(αν)∂νtu∂α-νv{\ estilo de visualización \ parcial ^ {\ alpha} (uv) = \ sum _ {\ nu \ leq \ alpha} ^ {} {{\ alpha \ elige \ nu} \ parcial ^ {\ nu} u \, \ parcial ^ {\ alpha - \ nu} v}}

Esto da como resultado una fórmula de integración por partes  : para funciones suficientemente regulares, al menos una de las cuales tiene un soporte compacto, se sigue.

∫tu(∂αv)DX=(-1)|α|∫(∂αtu)vDX{\ Displaystyle \ int {u (\ parcial ^ {\ alpha} v)} \, dx = (- 1) ^ {| \ alpha |} \ int {(\ parcial ^ {\ alpha} u) v \, dx }}

Fórmula que es útil, por ejemplo, en distribución .

Redacción de las distintas fórmulas de Taylor : para una función suficientemente regular

F(X+h)=∑|α|≤no∂αF(X)|α|!hα+Rno(X,h){\ Displaystyle f (\ mathbf {x} + \ mathbf {h}) = \ sum _ {| \ alpha | \ leq n} {{\ frac {\ parcial ^ {\ alpha} f (\ mathbf {x}) } {| \ alpha |!}} \ mathbf {h} ^ {\ alpha}} + R_ {n} (\ mathbf {x}, \ mathbf {h})}

donde la expresión del último término (resto) depende de la fórmula utilizada. Por ejemplo, para la fórmula con resto integral viene

Rno(X,h)=(no+1)∑|α|=no+1hα|α|!∫01(1-t)no∂αF(X+th)Dt{\ Displaystyle R_ {n} (\ mathbf {x}, \ mathbf {h}) = (n + 1) \ sum _ {| \ alpha | = n + 1} {\ frac {\ mathbf {h} ^ { \ alpha}} {| \ alpha |!}} \ int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {n} \ parcial ^ {\ alpha} f (\ mathbf {x} + t \ mathbf { h}) \, dt}