Polinomio en varios indeterminados

En álgebra , un polinomio en varias variables con coeficientes en una unidad de anillo conmutativa A es un elemento de A - álgebra asociativa que generaliza el álgebra A [ X ] de polinomios en una X indeterminada .

Podemos construir el álgebra A [ X 1 ,…, X n ] de polinomios en un número finito n de indeterminados por inducción sobre n  : es el álgebra de polinomios en un indeterminado X n , con coeficientes en l 'anillo A [ X 1 ,…, X n –1 ]. El álgebra A [( X i ) i ∈ I ] de polinomios en cualquier número de indeterminados X i , indexados por cualquier conjunto I (posiblemente infinito), se puede definir como la "  unión  " de A [( X i ) i ∈ J ] para todos los subconjuntos finitos J de I . Más directamente, ya sea que I sea ​​finito o infinito, A [( X i ) i ∈ I ] puede definirse como el álgebra de un monoide  : primero describimos el monoide de monomios unitarios (los productos de un número finito de X i indeterminados , posiblemente repetidos), y los polinomios se definen luego como las combinaciones lineales formales con coeficientes en A de tales monomios.

En el resto del artículo, A denota un anillo conmutativo unitario, y el término de A -álgebra denota un álgebra asociativa y unificada.

Construcción por inducción

Construcción por recurrencia

Definamos el anillo A [ X 1 ,…, X n ] de polinomios con coeficientes en A en n indeterminados, por inducción sobre n  :

• el anillo de polinomios con coeficientes en A en 0 indeterminado es simplemente A en sí mismo.
• para n > 1, A [ X 1 ,…, X n ] es el anillo B [ X n ], donde B denota el anillo A [ X 1 ,…, X n –1 ] que se supone ya está construido.

Verificamos instantáneamente (por inducción) que A [ X 1 ,…, X n ] así definido:

• es un anillo conmutativo (se integra si y solo si A es);
• contiene A como un subanillo (por lo tanto, es un álgebra A );
• es libre como A -módulo , su base canónica consiste en los monomios X 1 k 1 … X n k n , donde los k i son números naturales .

Concretamente, un elemento de A [ X 1 ,…, X n ] se escribe como una suma finita:

PAG=∑j=0metroPAGjXnojconPAGj∈A[X1,...,Xno-1]{\ Displaystyle P = \ sum _ {j = 0} ^ {m} P_ {j} X_ {n} ^ {j} \ quad {\ text {con}} \ quad P_ {j} \ en A [X_ { 1}, \ ldots, X_ {n-1}]}

y cada P j se escribe a sí mismo como una suma finita:

PAGj=∑k1,...,kno-1∈{0,...,Dj}ak1,...,kno-1,jX1k1...Xno-1kno-1conak1,...,kno-1,j∈A{\ Displaystyle P_ {j} = \ sum _ {k_ {1}, \ ldots, k_ {n-1} \ in \ {0, \ ldots, d_ {j} \}} a_ {k_ {1}, \ ldots, k_ {n-1}, j} X_ {1} ^ {k_ {1}} \ ldots X_ {n-1} ^ {k_ {n-1}} \ quad {\ text {con}} \ quad a_ {k_ {1}, \ ldots, k_ {n-1}, j} \ in A}

o de nuevo, eligiendo un límite superior d de m , d 0 ,…, d m y completando con ceros la lista de P j y los coeficientes en A  :

PAGj=∑k1,...,kno-1∈{0,...,D}ak1,...,kno-1,jX1k1...Xno-1kno-1yPAG=∑j=0DPAGjXnoj=∑k1,...,kno-1,j∈{0,...,D}ak1,...,kno-1,jX1k1...Xno-1kno-1Xnoj.{\ Displaystyle P_ {j} = \ sum _ {k_ {1}, \ ldots, k_ {n-1} \ in \ {0, \ ldots, d \}} a_ {k_ {1}, \ ldots, k_ {n-1}, j} X_ {1} ^ {k_ {1}} \ ldots X_ {n-1} ^ {k_ {n-1}} \ quad {\ text {y}} \ quad P = \ suma _ {j = 0} ^ {d} P_ {j} X_ {n} ^ {j} = \ sum _ {k_ {1}, \ ldots, k_ {n-1}, j \ in \ {0, \ ldots, d \}} a_ {k_ {1}, \ ldots, k_ {n-1}, j} X_ {1} ^ {k_ {1}} \ ldots X_ {n-1} ^ {k_ {n -1}} X_ {n} ^ {j}.}

Extensión al caso de un conjunto infinito de indeterminados

Observamos, al examinar la definición anterior, que:

• el álgebra A [ X 1 ,…, X n ] obtenida es independiente (hasta isomorfismo canónico ) del orden elegido para los indeterminados durante la construcción. Por lo tanto, también podemos denotarlo A [( X i ) i ∈ {1,…, n } ], o nuevamente (reindexando los indeterminados) A [( X i ) i ∈ I ] donde I es cualquier conjunto con n elementos, desordenado
• para cualquier subconjunto J de I , A [( X j ) j ∈ J ] es un subanillo de A [( X i ) i ∈ I ].

Esto hace posible definir el anillo A [( X s ) s ∈ S ] para cualquier conjunto S (no necesariamente finito ni siquiera contable ) como la unión (llamada "  límite inductivo  ") de A [( X i ) i ∈ I ] para todas las partes finitas I de S .

Algunas propiedades elementales se pueden deducir inmediatamente de esta definición:

• el anillo A [( X s ) s ∈ S ] es integral si y solo si A es;
• para cualquier subconjunto J de S , el anillo A [( X s ) s ∈ S ] se identifica con A [( X j ) j ∈ J ] [( X k ) k ∈ S \ J ];
• si S es la unión de una cadena F de partes (es decir, de un conjunto de partes en las que el orden de inclusión es total ), entonces A [( X s ) s ∈ S ] es la unión de A [( X i ) i ∈ I ] para todos I de F .

Construcción como álgebra de un monoide

Otro método de construcción -equivalente en el sentido de que define la misma estructura- consiste en "copiar" el razonamiento utilizado para los polinomios en un indeterminado, esta vez no sobre una secuencia sino sobre una familia . Permite una prueba elegante de la propiedad universal de las álgebras de polinomios .

Monoide de monomios unitarios

Para todo el (cualquier) S pistas no determinado, se asocia la monoide conmutativo libre en S .

En notación aditiva, podemos representarlo como el conjunto ℕ ( S ) de los mapas de S en ℕ con soporte finito, es decir, de las familias ( k s ) s ∈ S de enteros naturales todos los cuales son cero excepto un número finito - provisto de la suma término por término. Denotemos por e s (para todo s ∈ S ) el elemento de este monoide compuesto por la función de S en ℕ que es igual a cero en todas partes excepto en s donde es igual a 1. Decimos que ( e s ) s ∈ S es una "base" de este monoide conmutativo , en el sentido de que cualquier elemento de ℕ ( S ) se escribe, de forma única hasta el orden de los términos, como una suma finita de elementos e s , con posibles repeticiones: ( k s ) s ∈ S es la suma de k s e s para todos los k s distintos de cero.

El monoide M S de monomios unidad es la misma conmutativa monoid libre en S , pero observó multiplicativa y su base canónica se denota por ( X s ) s ∈ S . En otras palabras, cualquier monomio unitario se escribe de manera única como un producto finito de potencias de X s .

Álgebra de este monoide

El anillo A [( X s ) s ∈ S ] se define entonces como el álgebra A [ M S ] del monoide M S  : un polinomio P es una combinación lineal formal con coeficientes en A de monomios unitarios. Por tanto, se representa como un mapa de ℕ ( S ) en A con soporte finito: el mapa que, a cada familia ( k s ) s ∈ S de casi todos los enteros cero, asocia el coeficiente en P del monomio ∏ s ∈ S X s k s que representa.

Algebra A [ M S ] es la A de base-módulo M S , proporcionado con el único multiplicación A álgebra que se extiende multiplicando el monoide M S .

Notaciones

Hay muchas formas de denotar un polinomio P de A [( X s ) s ∈ S ]:

• el primero es el utilizado en los párrafos anteriores:

PAG=∑(ks)∈NO(S)a(ks)∏s∈SXsks,a(ks)∈A ;{\ Displaystyle P = \ sum _ {(k_ {s}) \ in \ mathbb {N} ^ {(S)}} a _ {(k_ {s})} \ prod _ {s \ in S} X_ { s} ^ {k_ {s}}, \ quad a _ {(k_ {s})} \ in A ~;}

• otro es más conciso. Consiste en denotar k la familia ( k s ) s ∈ S de casi todos los enteros cero lo que representa un elemento del monoide M S y X k este elemento. Las notaciones anteriores se convierten en:

PAG=∑k∈NO(S)akXk,ak∈A.{\ Displaystyle P = \ sum _ {k \ in \ mathbb {N} ^ {(S)}} a_ {k} X ^ {k}, \ quad a_ {k} \ in A.}

Propiedades

Propiedad universal

Considere, por simplicidad, el anillo de polinomios con n variables A [ X 1 ,…, X n ]. Entonces, para cada A -álgebra conmutativa B y cada n -tupla ( b 1 ,…, b n ) en B , existe un morfismo único de A -álgebras de A [ X 1 ,…, X n ] en B , llamado “Morfismo de evaluación”, que envía cada X i al b i con el mismo índice. Esta propiedad, unida al teorema de factorización , muestra que cualquier A - álgebra conmutativa de tipo finito es un cociente de A [ X 1 ,…, X n ]; por lo tanto, es esencial para la construcción de morfismos desde tal álgebra a otra álgebra A conmutativa.

De manera más general, la siguiente propiedad universal caracteriza a las álgebras de polinomios:

Deje B un Un conmutativa álgebra y ( b s ) s ∈ S una familia de elementos B . Existe un morfismo único φ de A -álgebras, de A [( X s ) s ∈ S ] en B , tal que

∀s∈Sφ(Xs)=Bs.{\ Displaystyle \ forall s \ in S \ quad \ varphi (X_ {s}) = b_ {s}.} Ejemplos de

• Si A es un subanillo de B , la imagen de este morfismo es el subanillo A [( b s ) s ∈ S ] de B generado por A y b s .
• Si C es un anillo conmutativo, cualquier morfismo ψ de A a C se extiende, por la propiedad universal, a un morfismo único φ de A [( X s ) s ∈ S ] a C [( X s ) s ∈ S ] tal que φ ( X s ) = X s para todos los s . Esto se traduce la functoriality , con respecto al anillo de coeficientes, del anillo de los polinomios en un conjunto fijo de indeterminados. La imagen de φ es entonces D [( X s ) s ∈ S ] donde D es la imagen de ψ, y el núcleo de φ es el ideal generado por el núcleo de ψ.

La licenciatura

Algunas definiciones sobre polinomios en una generalización indeterminada:

• un monomio es el producto de un elemento de A por un elemento de M S  :
  • el elemento de A se llama coeficiente del monomio,
  • el grado de un monomio es la suma de los exponentes de los diferentes indeterminados;
• el grado de un polinomio distinto de cero es el de su monomio de mayor grado (estamos de acuerdo en que el grado del polinomio cero es menos infinito);
• un polinomio constante es un polinomio de cero o cero grados;
• el término constante de un polinomio es el coeficiente de su monomio de grado 0, o término independiente .

Por otro lado, los términos "polinomio unitario" o "monomio dominante" ya no tienen ningún significado.

En un anillo integral, el grado del producto de dos polinomios distintos de cero es igual a la suma de los grados de estos dos polinomios, como en el caso de un solo indeterminado.

Si A es un campo conmutativo , el anillo A [ X ] es euclidiano . Esta proposición no se extiende a anillos de polinomios en varios indeterminados: el anillo A [ X , Y ] ni siquiera es principal porque en este anillo, el ideal ( X , Y ) generado por X e Y n 'no es principal .

Entonces es necesario buscar propiedades más débiles. En el caso de un indeterminado único, la noción de grado permite establecer el teorema de base de Hilbert  : si A es noetheriano , A [ X ] también lo es. Según la definición por inducción de A [ X 1 ,…, X n ] , deducimos inmediatamente:

• El anillo de polinomios en un número finito de indeterminados, con coeficientes en A, es noetheriano tan pronto como A lo sea.

Este resultado no se extiende al caso de un número infinito de indeterminados: en A [( X n ) n ∈ℕ ], la secuencia de ideales ( X 0 ,…, X n ) es estrictamente creciente y el anillo no puede ser noetheriano .

De acuerdo con un resultado fundamental de la teoría algebraica de números , cualquier anillo de enteros algebraicos de un campo numérico es un módulo ℤ de tipo finito (cf. § "Propiedades noetherianas" del artículo sobre enteros algebraicos ) y, a fortiori , un módulo de tipo finito ℤ-álgebra conmutativa, es decir , un cociente de a d'un [ X 1 ,…, X n ] , noetheriano. En consecuencia :

• Cualquier anillo de números enteros algebraicos de un campo numérico es noetheriano.

Factorialidad

Si un anillo A es factorial , A [ X ] todavía lo es. La construcción por inducción del anillo de polinomios en un número finito o infinito de indeterminados permite deducir:

• El anillo de polinomios en varios indeterminados, con coeficientes en A, es factorial si y solo si A lo es.

Esta transferencia de factorialidad es un poco diferente a la de noetherianidad. El número de indeterminados no es necesariamente finito. Por otro lado, al no pasar la factorialidad a los cocientes, existen campos numéricos (e incluso campos cuadráticos ) cuyo anillo de enteros no es factorial .

Conjunto algebraico

Sea k un campo algebraicamente cerrado . El conjunto de ceros  (en) de un polinomio f ( X 1 ,…, X n ) con coeficientes en k es el conjunto de puntos ( x 1 ,…, x n ) en k n tales que f ( x 1 ,…, X n ) = 0. Un conjunto algebraico en k n es la intersección de los ceros de una familia de polinomios en k [ X 1 ,…, X n ]. Debido a que el anillo k [ X 1 ,…, X n ] es noetheriano, siempre es suficiente tomar una familia finita de polinomios. Los conjuntos algebraicos son la base de la geometría algebraica .

Polinomios notables

Polinomios homogéneos

Un polinomio homogéneo de grado d (entero positivo o cero) es una combinación lineal de monomios de grado d . Aquí se considera que el polinomio cero es de grado d para todo d . Por ejemplo, en dos variables, 2 X 3 + X 2 Y - 5 Y 3 es homogéneo de grado 3, mientras que 2 X 3 + X 2 Y 3 - 5 Y 3 no es homogéneo. Cualquier polinomio P de grado (total) d es, de manera única, suma de polinomios homogéneos P 0 ,…, P d de los respectivos grados 0,…, d . El llamado P i la componente homogénea de grado i de P . En el ejemplo no homogéneo anterior, el componente homogéneo de grado 3 es 2 X 3 - 5 Y 3 , el de grado 5 es X 2 Y 3 y los otros componentes homogéneos son cero. Otra forma de expresar la descomposición en componentes homogéneos es decir que A [ X 1 ,…, X n ] es la suma directa de A d [ X 1 ,…, X n ], donde d atraviesa los enteros positivos o cero y donde A d [ X 1 ,…, X n ] es el sub- A -módulo de polinomios homogéneos de grado d . Observamos que el producto de dos polinomios homogéneos de grados respectivos d , e es homogéneo de grado d + e , mientras que su suma solo es homogénea si d = e .

Identidad de Euler Si P es homogéneo de grado d , entoncesDPAG=∑1≤I≤noXI∂PAG∂XI.{\ Displaystyle dP = \ sum _ {1 \ leq i \ leq n} X_ {i} {\ parcial P \ sobre \ parcial X_ {i}}.}

Polinomios simétricos

Un polinomio con n variables es simétrico si es invariante por permutación de dos variables cualesquiera. Por ejemplo, en tres variables, XY + YZ + ZX es simétrico, mientras que X 2 Y + Y 2 Z + Z 2 X no lo es. A diferencia de los polinomios homogéneos, los polinomios simétricos son estables por suma y multiplicación, y forman un subanillo del anillo de polinomios.

Polinomios simétricos elementales Para i entre 1 y n , el i- ésimo polinomio simétrico elemental S i es la suma de X k 1 … X k i donde los índices pasan por los números enteros k 1 <… < k i entre 1 y n . Por ejemplo, el primer polinomio simétrico elemental es la suma de las variables y el último es el producto de las variables. Teorema fundamental de polinomios simétricos Cualquier polinomio simétrico es únicamente una expresión polinomial de polinomios simétricos elementales. Identidades de Newton Sea d > 0 un número entero. Entonces P d  : = X 1 d +… + X n d es simétrico y se llama polinomio d- ésimo de Newton . La expresión de P d en función de polinomios simétricos elementales (como predice el teorema anterior) se puede deducir indirectamente de las identidades de Newton:

• P d - S 1 P d –1 + S 2 P d –2 +… + (–1) n –1 S n –1 P d - n +1 + (–1) n S n P d - n = 0 , si d ≥ n y
• P d - S 1 P d –1 + S 2 P d –2 +… + (–1) d –1 S d –1 P 1 + (–1) d dS d = 0, si d < n .

En un campo de característica cero, estas relaciones permiten escribir los polinomios simétricos elementales como polinomios en los polinomios de Newton. En particular, en el campo de los números racionales , los polinomios de Newton generan el anillo de polinomios simétricos. Relaciones entre coeficientes y raíces Sea P ( X ) = X n + a 1 X n –1 +… + a n un polinomio de grado n > 0 con coeficientes en un campo. Sea t 1 ,…, t n las raíces de P ( X ) (posiblemente repetidas) en un campo de descomposición de P ( X ). Entonces S i ( t 1 ,…, t n ) = (–1) i a i para todo i entre 1 y n .

Notas y referencias

Notas

1. Ferrand 2005 evoca esta alternativa didáctica a la definición por álgebra de un monoide, antes de insistir en un segundo punto de vista, que caracteriza los anillos de polinomios por "una propiedad universal, con demasiada frecuencia descuidada" .
2. Régine y Adrien Douady , Teorías de Álgebra y Galois [ detalle de ediciones ], p.  138-156 .
3. Álgebra conmutativa de Antoine Chambert-Loir , curso en la Universidad de Rennes 1 (2006-2007).
4. "  Anillos de polinomios en varias variables  " ( Archivo • Wikiwix • Archive.is • Google • ¿Qué hacer? ) Por Patrick Polo, de la Universidad Pierre-et-Marie-Curie .
5. Véase sobre este tema Ferrand 2005 .
6. (en) Serge Lang , Álgebra [ ediciones minoristas ], 1965, pág.  113-115 .
7. Cfr. § “Anillos de polinomios” del artículo sobre anillos factoriales .

Referencias

• N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas , Álgebra, capítulos 4 a 7, Dunod, 1981 ( ISBN  2225685746 )
• Daniel Ferrand , Nota sobre polinomios con varios indeterminados ,2005( leer en línea ), Universidad de Rennes 1 , texto redactado tras la corrección de las copias de la agregación de matemáticas

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