Ecuación diferencial autónoma

Una ecuación diferencial independiente es un caso especial importante de una ecuación diferencial donde la variable no aparece en la ecuación funcional. Es una ecuación de la forma:

{\ Displaystyle f (y ^ {(n)}, \ dots, y) = 0}

Las leyes de la física se aplican generalmente a funciones de tiempo y se presentan en forma de ecuaciones diferenciales autónomas, que manifiesta la invariancia de estas leyes en el tiempo. Por tanto, si un sistema autónomo vuelve a su posición inicial al final de un intervalo de tiempo , experimenta en consecuencia una evolución periódica de período . $T$ $T$

El estudio de ecuaciones autónomas es equivalente al de campos vectoriales . Para una ecuación de primer orden, las soluciones son una familia de curvas que no se cruzan (según el teorema de Cauchy-Lipschitz ) y que llenan el espacio. Son tangentes al campo vectorial en cada punto.

Soluciones explícitas de ecuaciones de primer orden.

En ciertos intervalos, es posible determinar soluciones explícitas de la ecuación . La solución general, garantizada por el teorema de Cauchy-Lipschitz , en general solo puede obtenerse prolongando estas soluciones particulares (y sabemos que si es una de estas soluciones, las otras son de la forma ). ${\ Displaystyle y '= f (y)}$ $y_ {0}$ ${\ Displaystyle y (x) = y_ {0} (x + C)}$

Usando primitivas

En un intervalo donde f no desaparece, existe una antiderivada G de 1 / f ; G es monótona y, por tanto, biyectiva, ya que f tiene un signo constante. Por tanto, la ecuación es equivalente ay por tanto G (y) (x) = x + C , y . ${\ Displaystyle y '= f (y)}$ ${\ Displaystyle {\ frac {d} {dx}} (G (y)) = 1}$ ${\ Displaystyle y (x) = G ^ {- 1} (x + C)}$

Usando la serie de Taylor

Sin perder la generalidad, podemos volver a la resolución de

{\ displaystyle {\ begin {cases} y '= f (y) \\ y (0) = 0 \ end {cases}}}

Expresando la función de la serie de Taylor (sobre un intervalo donde esta serie converge), tenemos $F$

{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}}

La solución viene dada por la serie de Taylor:

{\ Displaystyle y (t) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} y_ {n} {\ frac {t ^ {n}} {n!}}}

con

{\ Displaystyle y_ {1} = f_ {0}}

{\ Displaystyle y_ {n} = \ sum _ {i_ {1} + i_ {2} + ... + i_ {n-1} = n-1} ^ {} {\ frac {i_ {1} (i_ {1} + i_ {2} -1) ... (i_ {1} + i_ {2} + ... + i_ {n-1} - (n-2))} {i_ {1}! I_ {2}! ... i_ {n-1}!}} F_ {i_ {1}} f_ {i_ {2}} ... f_ {i_ {n-1}} f_ {0}}

Sistema diferencial autónomo

Cuando hablamos de sistemas autónomos, la variable generalmente es el tiempo t . Se dice que un sistema diferencial es autónomo si sus ecuaciones no incluyen ninguna función de t distinta de las funciones desconocidas y sus derivadas.

La peculiaridad de un sistema autónomo, frente a otros sistemas diferenciales, es que por cualquier punto del espacio de soluciones pasa una trayectoria y solo una. En el siguiente ejemplo del sistema de Lorenz , a través de cualquier punto A (de coordenadas ) pasa una sola trayectoria (a elección cerca del origen de los tiempos). ${\ Displaystyle x _ {\ mathrm {A}}, y _ {\ mathrm {A}}, z _ {\ mathrm {A}}}$ ${\ Displaystyle \ {x (t), y (t), z (t) \}}$

Ejemplos de

Sistema de Lorenz

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} & = \ sigma \, [(y (t) -x (t) ] \\ {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} t}} & = \ rho \, x (t) -y (t) -x (t) \, z (t) \ \ {\ frac {\ mathrm {d} z} {\ mathrm {d} t}} & = x (t) \, y (t) - \ beta \, z (t) \ end {alineado}} \ right .}

Este sistema de sólo tres grados de libertad es una simplificación de las ecuaciones de Navier-Stokes (ver más abajo), aplicable a los números de Rayleigh-Bénard para Rayleigh por encima del valor crítico ( ). Es uno de los sistemas diferenciales más simples que conduce a un comportamiento caótico (así como a trayectorias periódicas). ${\ Displaystyle \ rho = \ mathrm {Ra / Ra_ {c}}}$

Sistemas de orden 1 y dimensión 2

Un sistema autónomo de dos ecuaciones diferenciales de primer orden tiene la forma:

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {alineado} {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} & = u (x, y) \\ {\ frac {\ mathrm { d} y} {\ mathrm {d} t}} & = v (x, y) \ end {alineado}} \ right.}

donde y son continuos sobre un abierto de . $tu$ $v$ $\Omega$ $\ mathbb {R} ^ {2}$

Inmediatamente observamos que dicho sistema es de hecho independiente de , porque se puede transformar en una ecuación diferencial en y : $t$ $X$ $y$

{\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} y} {\ mathrm {d} x}} = {\ frac {v (x, y)} {u (x, y)}}}

Bibliografía

François Laudenbach , Cálculo diferencial et integrale ( leer en línea ) , p. 32-42