Teorema de Cauchy-Peano-Arzelà

El teorema de Cauchy - Peano - Arzelà es un teorema de análisis que garantiza que un problema de Cauchy siempre tiene al menos una solución localmente , siempre que la función que define la ecuación diferencial sea continua .

Estados

Sean

${\ displaystyle f: K \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {n}}$ una función continua con valores en , definida en un cilindro compacto , $\ mathbb {R} ^ {n}$ ${\ Displaystyle K: = [t_ {0} -a, t_ {0} + a] \ times {\ overline {B (x_ {0}, r)}} \ subset \ mathbb {R} \ times \ mathbb { R} ^ {n}}$
$METRO$ un límite superior de la norma de on , $F$ $K$
${\ Displaystyle c = {\ text {min}} (a, r / M)}$ .

Entonces hay una solución

{\ Displaystyle x: [t_ {0} -c, t_ {0} + c] \ to {\ overline {B (x_ {0}, r)}}}

al problema de Cauchy

{\ Displaystyle x (t_ {0}) = x_ {0} {\ text {y}} x '= f (t, x).}

Incluso es posible, en esta declaración, reemplazar simultáneamente los dos intervalos centrados en por los medios intervalos finales . $t_ {0}$ $t_ {0}$

NB Contrariamente a lo que el teorema de Cauchy-Lipschitz permite concluirbajo supuestos más restrictivos, aquí no hay unicidad.

Ejemplos de

Peano da los siguientes ejemplos.

La ecuación donde el segundo miembro es continuo en sin ser Lipschitziano , admite las soluciones y que se anulan entre sí, así como las funciones que son nulas en el intervalo y que toman el valor de . ${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = 3x ^ {2/3}}$ $x = 0$ ${\ Displaystyle x = t ^ {3}}$ $x = 0$ $t = 0$ $[0, a]$ ${\ Displaystyle (ta) ^ {3}}$ ${\ Displaystyle t> a}$

La ecuación , siempre con la condición , admite las cinco soluciones ( siendo una constante arbitraria positiva): ${\ Displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {4xt ^ {3}} {x ^ {2} + t ^ {4}}}}$ ${\ Displaystyle x (0) = 0}$ $VS$

{\ Displaystyle x (t) = t ^ {2} ~}

{\ Displaystyle x (t) = - t ^ {2} ~}

{\ Displaystyle x (t) = 0 ~}

{\ Displaystyle x (t) = C - {\ sqrt {C ^ {2} + t ^ {4}}}}

{\ Displaystyle x (t) = {\ sqrt {C ^ {2} + t ^ {4}}} - C}

Boceto de demostración

Construimos por el método de Euler una secuencia de funciones M - Lipschitzianas afines a trozos

{\ Displaystyle x_ {n}: [t_ {0} -c, t_ {0} + c] \ to {\ overline {B (x_ {0}, r)}}}

que son "soluciones aproximadas" de este problema de Cauchy en el sentido de que para cualquier número entero n > 0,

{\ Displaystyle x_ {n} (t_ {0}) = x_ {0} \ quad {\ text {y}} \ quad \ | x '_ {n} (t) -f (t, x_ {n} ( t)) \ | \ leq 1 / n}

(para cualquier punto t en el que $x n$ sea diferenciable).

El teorema de Ascoli permite extraer una subsecuencia uniformemente convergente . Luego mostramos (usando la continuidad uniforme de $f$ ) que el límite $x$ satisface

{\ Displaystyle \ forall t \ in [t_ {0} -c, t_ {0} + c], x (t) = x_ {0} + \ int _ {t_ {0}} ^ {t} f (\ tau, x (\ tau)) ~ \ mathrm {d} \ tau.}

Según el primer teorema fundamental de análisis , $x$ es, por tanto, una "solución exacta" al problema de Cauchy.

Caso de espacios Banach

La generalización “ingenua” del enunciado a espacios de dimensión infinita es drásticamente falsa:

para cualquier espacio de Banach de dimensión infinita, hay un problema de Cauchy (asociado con una función continua ) que no tiene una solución local (las traducciones, los datos iniciales , pueden elegirse arbitrariamente en tal contra-ejemplo); $mi$ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} \ times E \ rightarrow E}$ $t_ {0}$ $x_ {0}$
si tiene un cociente separable de dimensión infinita, existe incluso una función continua para la cual la ecuación diferencial autónoma asociada no tiene solución local (cualquiera que sea la condición inicial). $mi$ ${\ displaystyle f: E \ rightarrow E}$ ${\ Displaystyle x '= f (x)}$

Sin embargo, el teorema de Cauchy-Peano-Arzelà se generaliza reemplazándolo por un espacio de Banach, con la condición de agregar el supuesto (redundante en dimensión finita) de que el mapa continuo es compacto . Para demostrar esto, todavía usamos el teorema de Ascoli, pero también el teorema del punto fijo de Schauder . $\ mathbb {R} ^ {n}$ $F$

Notas y referencias

Jean-Pierre Demailly , Análisis numérico y ecuaciones diferenciales [ detalle de ediciones ], pag. 137
(in) Gerald Teschl , Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos , Providence, AMS ,2012, 356 p. ( ISBN 978-0-8218-8328-0 , leer en línea ) , pág. 56
El criterio Osgood (en) ( Teschl 2012 , p. 58), sin embargo, proporciona una condición suficiente para la singularidad, menos restrictiva que Cauchy-Lipschitz. Consulte también el Criterio de Nagumo .
G. Peano , “ Prueba de la integrabilidad de ecuaciones diferenciales ordinarias ”, Matemáticas. Ana. , vol. 37,1890, p. 182-228 ( leer en línea )
(en) AN Godunov , " Teorema de We Peano en espacios de Banach " , Funct. Anal. Apl. , vol. 9,1975, p. 53-55
(in) Petr Hájek (in) y Michal Johanis , " Teorema de We Peano en espacios de Banach " , J. Ecuaciones diferenciales , vol. 249, n o 12,2010, p. 3342-3351, arXiv : 0911.4860
(en) JM Ayerbe Toledano , T. Domínguez Benavides y G. Lopez Acedo , Medidas de no compactación en la teoría del punto fijo métrico , Springer,1997, 211 p. ( ISBN 978-3-7643-5794-8 , leer en línea ) , pág. 15