Elemento máximo
En un conjunto ordenado , un elemento máximo es un elemento tal que no hay otro elemento de este conjunto que sea superior a él, es decir que a es dicho elemento máximo de un conjunto ordenado ( E , ≤) si a es un elemento de E tal que:
Asimismo, a es un elemento mínimo de E si:
Para cualquier elemento a de E , tenemos las equivalencias y la implicación (estricta):
una es una cota superior de E ⇔ tiene es el límite superior de E ⇔ tiene es el elemento máximo (o "elemento más grande") de E ⇒ una es el principal elemento individual E .Si el orden es total , las nociones de elemento máximo y elemento mayor se confunden (lo mismo para elemento mínimo y elemento menor).
Ejemplos de
- El conjunto de partes de un conjunto E , provisto de la inclusión , tiene como único elemento máximo E , que también es el elemento más grande.
- Todas las partes encajan (diferente de la propia set) un conjunto E no vacío, siempre que la inclusión, es maximales todo E \ { a } para un ∈ E . No hay mayor parte propia tan pronto como E tenga más de dos elementos.
- El conjunto de números naturales provisto con el orden habitual es un ejemplo de un orden que no tiene un elemento mayor, por lo tanto (dado que este orden es total) no hay elemento máximo.
- El conjunto de sucesiones finitas de 0 y 1, dotadas del orden de prefijo, ( u 0 ,…, u n ) ≤ ( v 0 ,…, v p ) cuando n ≤ py para todo i ≤ n , u i = v i , es un orden parcial que no tiene elementos máximos, y la secuencia vacía para el elemento más pequeño (por lo tanto, solo el elemento mínimo).
- Un árbol dotado de la relación "es un antepasado de" tiene como elementos máximos todas sus hojas (no necesariamente las hay, las ramas pueden ser infinitas).