Una simetría geométrica es una transformación geométrica involutiva que conserva el paralelismo. Las simetrías comunes incluyen la reflexión y la simetría central .
La simetría geométrica es un caso especial de simetría . Hay varios tipos de simetrías en el plano o en el espacio.
Nota : El término simetría también tiene otro significado en matemáticas. En la expresión grupo de simetría , una simetría denota cualquier isometría . Este término designa una traducción , un automorfismo ortogonal o la combinación de ambos.
La simetría del centro O es la transformación que, en cualquier punto M, asocia el punto M 'de manera que O es el punto medio de [MM'].
Construcción: Dibuje la línea (d) que pasa por A y O. Extiéndala más allá de O. Con un compás apuntando a O y un espaciado igual a OA, corte (d) en A '.
El único punto invariante de esta simetría es el punto O.
Una simetría con centro O es también una rotación con un ángulo plano y una homotecia con centro O y relación -1
Centro de simetríaUna figura tiene un centro de simetría C si es invariante por la simetría del centro C.
Ejemplos de centro de simetría:
El compuesto de dos simetrías con centros O y O ', s O' os O es una traducción vectorial
Esta propiedad permite definir un primer grupo de transformaciones del plano: el de las simetrías-traslaciones centrales. De hecho, al componer dos simetrías centrales o traducciones, se obtiene una simetría central o una traducción. Y, para obtener el mapa idéntico, basta con componer una traslación del vector u por la traslación del vector - u , o componer una simetría central por sí mismo.
La simetría central conserva las distancias y los ángulos orientados. Por tanto, es una isometría o desplazamiento positivo . Por tanto, el grupo definido anteriormente es un subgrupo del grupo de desplazamiento.
También se denominan reflexiones del eje ( d ) . La reflexión del eje ( d ) es la transformación del plano que deja invariantes todos los puntos de ( d ) y que, en cualquier punto M no ubicado en ( d ), asocia el punto M 'tal que ( d ) es la perpendicular bisectriz de [MM ']. Como hay dos definiciones equivalentes de la bisectriz perpendicular, conocemos dos construcciones equivalentes del punto M '.
ConstrucciónDatos: el eje de simetría ( d ), el punto A .
Objetivo: construir A 'simétrico de A por la simetría ortogonal del eje ( d ).
Una figura tiene un eje de simetría ( d ) si y solo si es invariante por la reflexión del eje ( d )
Ejemplos de figuras comunes:
Una figura con dos ejes de simetría perpendiculares tiene como centro de simetría el punto de intersección de las dos líneas. Por ejemplo, las letras H, I, O, X en fuentes simples (no cursivas y no cursivas) a menudo tienen dos ejes de simetría perpendiculares, por lo que también un centro de simetría, al igual que el rectángulo, el rombo y el cuadrado.
Reflexión y grupo de isometríasLa reflexión conserva distancias y ángulos. Por tanto, es una isometría . Pero no mantiene la orientación (ver quiralidad ). Se dice que es anti-desplazamiento.
El compuesto de dos reflexiones de ejes paralelos es una traslación, con una distancia igual al doble de la distancia entre estos ejes. En la imagen opuesta, las propiedades vectoriales de los medios nos permiten decir que |
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La combinación de dos reflexiones de ejes secantes es una rotación , con un ángulo igual al doble del ángulo formado entre los dos ejes. En la imagen opuesta, las propiedades de las bisectrices nos permiten decir que |
Luego notamos que el conjunto de reflexiones genera todo el conjunto de isometrías.
La simetría con respecto a una recta ( d ) que sigue una dirección (d ') (no paralela a ( d )) es la transformación que deja todos los puntos de ( d ) invariantes y que, en cualquier punto M no ubicado en ( d) ) ) asociar el punto M 'de modo que la línea (MM') sea paralela a (d ') y el punto medio de [MM'] esté en ( d )
Esta simetría es involutivo: simétrico de M ' es M . Ofrece menos interés que sus primos porque no guarda distancias: distorsiona figuras. Sin embargo, conserva los baricentros y, por tanto, forma parte de las transformaciones afines.
Encontramos la misma definición y las mismas propiedades que para la simetría central en el plano, excepto que una simetría central no conserva la orientación en el espacio.
El hombre levanta su mano derecha y su imagen levanta su mano izquierda.
Encontramos la misma definición que en el plan. Una simetría ortogonal con respecto a una línea es también una rotación del eje ( d ) y de un ángulo plano.
A diferencia de lo que sucede en el plano, tal simetría en el espacio mantiene la orientación.
El hombre levanta su mano derecha y su imagen levanta su mano derecha.
La simetría ortogonal con respecto al plano ( P ) es la transformación que deja invariantes todos los puntos de ( P ) y que, en cualquier punto M no ubicado en ( P ), asocia el punto M ' tal que ( P ) es el mediador plano de [MM ']
Dicha simetría conserva distancias y ángulos, pero no conserva la orientación.
Por ejemplo, cuando levanta su mano derecha frente a su espejo, su imagen levanta su mano izquierda.
Demostramos que el conjunto de simetrías con respecto a planos genera por composición todo el conjunto de isometrías del espacio.
También se pueden definir simetrías del eje ( d ) según la dirección ( P ) o simetrías con respecto a ( P ) según la dirección ( d ), siempre que cualquier subespacio igual o paralelo a ( P ) no contenga enteramente ( d ) ni está contenido por completo en ( d ) y su intersección se reduce a un solo punto (de lo contrario, estas transformaciones no son simetrías sino proyecciones ).
Pero estas transformaciones no son isometrías si ( d ) y ( P ) no son ortogonales. Sin embargo, estas transformaciones (así como las proyecciones) mantienen los baricentros y son casos particulares de transformaciones afines del espacio.