Automorfismo ortogonal

En matemáticas , y más precisamente en álgebra lineal , un automorfismo ortogonal de un espacio prehilbertiano E es un automorfismo f que conserva el producto escalar , es decir , que verifica:

∀X,y∈mi⟨F(X)∣F(y)⟩=⟨X∣y⟩{\ Displaystyle \ forall x, y \ in E \ quad \ langle f (x) \ mid f (y) \ rangle = \ langle x \ mid y \ rangle}.

De manera equivalente, un endomorfismo f de E es un automorfismo ortogonal si y sólo si f es biyectiva y admite a adjunto , es decir, si . F-1{\ displaystyle f ^ {- 1}}F∘F∗=F∗∘F=IDmi{\ Displaystyle f \ circ f ^ {*} = f ^ {*} \ circ f = \ mathrm {id} _ {E}}

En el campo de los complejos, también se le llama automorfismo unitario .

Los automorfismos ortogonales de E son isométrica del vector sobreyectiva de E en E . En dimensión finita , esta sobrejetividad es automática.

Propiedades

Deje f un endomorfismo de E .

La conservación del producto escalar implica la de la norma , es decir para todos , . Por el contrario, las identidades de polarización aseguran que cualquier isometría vectorial conserve el producto escalar. X∈mi{\ Displaystyle x \ in E}‖F(X)‖=‖X‖{\ estilo de visualización \ | f (x) \ | = \ | x \ |}

En dimensión finita, la inyectividad de f implica su bijetividad; por tanto, cualquier isometría vectorial de un espacio euclidiano (o hermitiano ) es un automorfismo ortogonal (o unitario).

En dimensión finita, f es una isometría vectorial si y solo si los vectores columna de su matriz en una base ortonormal dada son unitarios y ortogonales de dos por dos. En consecuencia, un endomorfismo de un espacio euclidiano (resp. Hermitiano) es un automorfismo ortogonal (resp. Unitario) si y solo si su matriz en una base ortonormal dada es ortogonal (resp. Unitario ).

Autovalores de una isometría vectorial

Si f es una isometría vectorial de un espacio prehilbertiano, entonces todos sus valores propios son de módulo 1 (en particular, sus únicos valores propios reales posibles son 1 y –1).

Representación en forma ortonormal

En dimensión 2 o 3

En un plano euclidiano, existen dos tipos de automorfismos ortogonales:

• las rotaciones , que admiten una matriz representativa de la siguiente forma en base ortonormal

(porque⁡θ-pecado⁡θpecado⁡θporque⁡θ){\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos {\ theta} & - \ sin {\ theta} \\\ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {pmatrix}}}.

Si el espacio está orientado, θ es el ángulo de rotación;

• los reflejos y simetrías axiales . En una base ortonormal adaptada, están representados por la matriz

(100-1){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix}}}.

En un espacio euclidiano tridimensional, encontramos los siguientes tres tipos:

• las rotaciones , cuya matriz representativa en una base ortonormal adecuada

(1000porque⁡θ-pecado⁡θ0pecado⁡θporque⁡θ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos {\ theta} & - \ sin {\ theta} \\ 0 & \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {pmatrix}}} ;

• reflexiones (simetrías ortogonales con respecto a un plano)

(-100010001){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}} ;

• los roto-reflejos , compuestos por una rotación diferente de la identidad y la reflexión con respecto al plano normal al eje de esta rotación

(-1000porque⁡θ-pecado⁡θ0pecado⁡θporque⁡θ){\ displaystyle {\ begin {pmatrix} -1 & 0 & 0 \\ 0 & \ cos {\ theta} & - \ sin {\ theta} \\ 0 & \ sin {\ theta} & \ cos {\ theta} \ end {pmatrix}}}.

Caso general

De manera más general, dejar que f automorphism ortogonal de un espacio euclidiano E . Existe una base ortonormal en la que la matriz de f es una diagonal de bloques con dos tipos de bloques:

• bloques de tamaño 1 que contienen 1 o –1 (correspondientes a espacios limpios reales).
• bloques de tamaño 2 del formulario

(porque⁡θ-pecado⁡θpecado⁡θporque⁡θ){\ Displaystyle {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}}.

En esta descomposición, el número de –1 es par si y solo si f es un automorfismo ortogonal directo (del determinante 1).

La prueba de este resultado de descomposición se puede realizar en el marco más general de los endomorfismos normales .

Cualquier automorfismo unitario de un espacio hermitiano es diagonalizable de forma ortonormal.

Caracterizaciones de un automorfismo ortogonal en dimensión finita

Deje espacio euclidiano (resp. Hermitian) y . Las siguientes proposiciones son equivalentes: mi{\ Displaystyle E}F∈L(mi){\ Displaystyle f \ en L (E)}

1. f es un automorfismo ortogonal (resp. unitario) de E  ;
2. FF∗=IDmi{\ displaystyle ff ^ {*} = \ mathrm {id} _ {E}} ;
3. F∗F=IDmi{\ displaystyle f ^ {*} f = \ mathrm {id} _ {E}} ;
4. f es invertible y  ; F-1=F∗{\ Displaystyle \ f ^ {- 1} = f ^ {*}}
5. f transforma al menos una base ortonormal en una base ortonormal;
6. f transforma cualquier base ortonormal en una base ortonormal.

Nota

1. Para una demostración, véase, por ejemplo, este ejercicio en Wikiversidad .

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