Serie formal

En álgebra , las series formales son una generalización de polinomios que permiten sumas infinitas, al igual que en el análisis , las series enteras generalizan funciones polinomiales , excepto que en el marco algebraico, los problemas de convergencia se evitan mediante definiciones ad hoc . Estos objetos son útiles para describir secuencias de manera concisa y para encontrar fórmulas para secuencias definidas por inducción a través de las llamadas series generadoras .

Una construcción formal

Sea R un anillo conmutativo ( unificado ). El anillo R [[ X ]] de una serie formal sobre R en una X indeterminada es el grupo abeliano ( R N , +) de secuencias con valores en R , dotado de una cierta ley de multiplicación interna . Mas presisamente :

una secuencia ( a n ) n ≥0 de elementos de R , cuando se considera como un elemento de R [[ X ]], se denota por ∑ n ≥0 a n X n ;
la adición de dos conjuntos se realiza término por término: $\ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} a_ {n} X ^ {n} + \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} b_ {n} X ^ {n} = \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} (a_ {n} + b_ {n}) X ^ {n}$ ;
el producto de dos secuencias, llamado producto de Cauchy , se define por: $\ sum _ {{i \ in \ mathbb {N}}} a_ {i} X ^ {i} \ times \ sum _ {{j \ in \ mathbb {N}}} b_ {j} X ^ {j} = \ sum _ {{n \ in \ mathbb {N}}} \ left (\ sum _ {{i + j = n}} a_ {i} b_ {j} \ right) X ^ {n}$

(es una especie de producto de convolución discreto).

Estas dos operaciones hacen de R [[ X ]] un anillo conmutativo.

Propiedades

Propiedades algebraicas

El anillo de polinomios R [ X ] es un subanillo de R [[ X ]], siendo los polinomios la serie formal ∑ n ≥0 a n X n cuyos coeficientes a n son cero desde un cierto rango. Dado que R [ X ] en sí mismo contiene R como un subanillo (identificando los elementos de R con polinomios constantes ), R [[ X ]] es por lo tanto un R- álgebra asociativa y R [ X ] un subálgebra .
La fórmula de la serie geométrica es válida en R [[ X ]]: ${\ Displaystyle \ left (1-X \ right) ^ {- 1} = \ sum _ {n \ geq 0} X ^ {n}}$ .Más generalmente, un elemento de Σ tiene n X n de R [[ X ]] es invertible en R [[ X ]] si y sólo si su constante de coeficiente de un 0 es invertible en R . Esto implica que el radical Jacobson de R [[ X ]] es la ideales generada por X y el radical de Jacobson R .
Para todos los números naturales n , ${\ Displaystyle {\ left (1+ \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k} X ^ {k} \ right)} ^ {n} = 1 + \ sum _ {m = 1} ^ {\ infty} c_ {m} X ^ {m}}$ con, para cualquier m invertible en R , ${\ Displaystyle c_ {m} = {\ frac {1} {m}} \ sum _ {k = 1} ^ {m} (kn-m + k) a_ {k} c_ {mk}}$ .En el caso de series formales con coeficientes complejos , también podemos definir las potencias complejas f α de una serie formal f con término constante igual a 1, por composición con la serie binomial (1 + x ) α , o con la serie exponencial y logarítmico estableciendo f α : = exp (αlog ( f )), o como la solución formal del término constante 1 de la ecuación diferencial f ( f α ) ′ = α f α f ′, siendo las tres definiciones equivalentes. Deducimos que ( f α ) β = f αβ y f α g α = ( fg ) α .
Todos los ideales máximos de R [[ X ]] derivan de R de la siguiente manera: un ideal M de R [[ X ]] es máximo si y solo si M ∩ R es un ideal máximo de R y M se genera como por un ideal X y M ∩ R .
Varias propiedades algebraicas de R se transmiten al anillo R [[ X ]], como ser integral , noetheriano o local .
Si K es un campo conmutativo, entonces K [[ X ]] es un anillo de valoración discreto , cuyo campo de fracciones , indicado K (( X )), se compone de expresiones de la forma $f = \ sum _ {{n \ geq -M}} a_ {n} X ^ {n}$ donde M es un número entero que depende de f . Bourbaki llama a estas expresiones "series formales generalizadas en X con coeficientes en K ". A menudo se les llama series formales de Laurent (en X , con coeficientes en K ).

La topología en R [[ X ]] mejor por qué, cualesquiera que sean los coeficientes $a n$ en R , $\ sum _ {{n \ geq 0}} a_ {n} X ^ {n} = \ lim _ {{N \ to + \ infty}} \ sum _ {{n = 0}} ^ {N} a_ { n} X ^ {n},$ es la topología producida en R N donde R está dotado de la topología discreta .

Por construcción, este espacio es:

compacto si (y solo si) R es finito (según una versión débil del teorema de Tykhonov );

completamente metrizable , para la distancia sobre el producto dada por: si a ≠ b , d ( a , b ) = 2 - k donde k es el número natural más pequeño n tal que a n ≠ b n .

Reconocemos la distancia de la topología que -adic donde I = ( X ) son los múltiplos ideales de X . Hace que R [[ X ]] sea un anillo topológico (si K es un campo conmutativo, K (( X )) también está dotado de una estructura de campo topológico ).

En consecuencia, la propiedad que motivó la elección de esta topología es generalizada: una serie de término general f n converge en R [[ X ]] si y solo si para cualquier número natural N , casi todas las series formales f n (au que significa: todos excepto un número finito ) son múltiplos de X N . Además, cualquier reordenamiento de la serie converge hacia el mismo límite.

Series formales vistas como funciones

En análisis, una serie completa convergente define una función con valores reales o complejos. Las series formales también pueden verse como funciones cuyos conjuntos de inicio y finalización deben manejarse con cuidado. Si f = ∑ a n X n es un elemento de R [[ X ]], S un álgebra conmutativa y asociativa en R , I un ideal de S tal que la topología I -ádica en S es completa, yx un elemento de Yo , entonces es posible definir:

f (x) = \ sum _ {{n \ geq 0}} a_ {n} x ^ {n}.

Esta serie converge en S gracias al supuesto de x . De más :

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

(fg) (x) = f (x) g (x).

Sin embargo, estas fórmulas no son definiciones y deben demostrarse.

Dado que la topología sobre R [[ X ]] es la topología ( X ) -ádica y R [[ X ]] está completa, es posible aplicar una serie formal a otra serie formal, siempre que los argumentos n 'no tengan constantes coeficiente: f (0), f ( X 2 - X ) yf ((1 - X ) −1 - 1) están bien definidos para cualquier serie formal f ∈ R [[ X ]].

Con este formalismo, podemos dar una fórmula explícita para la inversa (en el sentido multiplicativo) de una serie formal f cuyo coeficiente constante a = f (0) es invertible en R :

f ^ {{- 1}} = \ sum _ {{n \ geq 0}} a ^ {{- n-1}} (af) ^ {n}.

Si la serie formal g con g (0) = 0 viene implícitamente dada por la ecuación

f (g) = X

donde f es una serie de enteros conocida que satisface f (0) = 0, entonces los coeficientes de g pueden calcularse explícitamente usando el teorema de inversión de Lagrange .

Derivación de series formales

Si f = ∑ a n X n es un elemento de R [[ X ]], definimos su derivada formal usando el operador D definido por

Df = \ sum _ {{n \ geq 1}} a_ {n} nX ^ {{n-1}}.

Esta operación es R - lineal :

D (af + bg) = aDf + bDg

para un , b en R y f , g en R [[ X ]].

Muchas propiedades de la derivación clásica de funciones son válidas para la derivación de series formales. Por ejemplo, la regla de derivación de un producto es válida:

D (fg) = f (Dg) + (Df) g

así como la regla de derivación de un compuesto:

D (f (u)) = (Df) (u) Du.

En cierto sentido, todas las series formales son series de Taylor , porque si f = ∑ a n X n , escribiendo D k como la k- ésima derivada formal, encontramos que

(D_ {k} f) (0) = k! A_ {k}.

También podemos definir la derivación para series formales de Laurent de forma natural, y en este caso también será válida la regla del cociente, además de las reglas enumeradas anteriormente.

Serie formal de varias variables

La forma más rápida para definir el anillo R [[ X 1 , ..., X r ]] de las series formales sobre R en R Variables comienza con el anillo S = R [ X 1 , ..., X r ] de los polinomios en R . Sea I el ideal de S generado por X 1 ,…, X r ; considerar entonces la I -adic topología en S y completarlo (en) . El resultado de esta finalización es un anillo topológico completo que contiene S y que se denota por R [[ X 1 ,…, X r ]].

Para n = ( n 1 ,…, n r ) ∈ N r , escribimos X n = X 1 n 1 … X r n r . Entonces, cada elemento de R [[ X 1 ,…, X r ]] se escribe de forma única como una suma de la siguiente manera:

{\ Displaystyle \ sum _ {\ mathbf {n} \ in \ mathbb {N} ^ {r}} a _ {\ mathbf {n}} \ mathbf {X ^ {n}}.}

Estas sumas convergen para cualquier elección de los coeficientes a n ∈ R y el orden en el que se suman los elementos no importa.

La topología en R [[ X 1 ,…, X r ]] es la topología J -ádica, donde J es el ideal de R [[ X 1 ,…, X r ]] generado por X 1 ,…, X r ( es decir, J está formado por series cuyo coeficiente constante es cero).

Dado que R [[ X 1 ,…, X r ]] es un anillo conmutativo, podemos definir su anillo de serie formal, denotado R [[ X 1 ,…, X r ]]. Este anillo es naturalmente isomorfo al anillo R [[ X 1 ,…, X r ]] definido previamente, pero estos anillos son topológicamente diferentes.

Si R es principal, entonces R [[ X 1 ,…, X r ]] es factorial .

En cuanto a la serie formal con una variable, se puede “aplicar” una serie formal con varias variables a otra serie formal siempre que su coeficiente constante a (0,…, 0) sea cero. También es posible definir derivadas parciales de estas series formales. Las derivadas parciales conmutan como lo hacen para funciones continuamente diferenciables.

Aplicaciones

Fórmulas trigonométricas

Podemos usar series formales para probar la parte puramente algebraica de algunas identidades clásicas de análisis. Por ejemplo, serie formal $\ sin (X): = \ sum _ {{n \ geq 0}} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n + 1)!}} X ^ {{2n + 1}} \ quad {{\ rm {et}}} \ quad \ cos (X): = \ sum _ {{n \ geq 0}} {\ frac {(-1) ^ {n}} {(2n)!}} X ^ {{2n}}$ (con coeficientes racionales ) verificar $\ sin ^ {2} + \ cos ^ {2} = 1, \ quad D \ sin = \ cos \ quad {{\ rm {y}}} \ quad \ sin (X + Y) = \ sin (X) \ cos (Y) + \ cos (X) \ sin (Y)$ (la última expresión se define en el anillo Q [[ X, Y ]].

Determinación del término general de una secuencia.

Múltiples métodos ( ver artículo detallado) permiten representar una secuencia mediante una serie formal y explicar los términos de la secuencia (o al menos, información sobre su comportamiento) a partir de cálculos sobre la serie asociada.

Propiedad universal

El anillo de la serie formal R [[ X 1 ,…, X r ]] tiene la siguiente propiedad universal :

si S es un álgebra R conmutativa,
si I es un ideal de S tal que S es completo para la topología I -ádica y
si x 1 ,…, x r son elementos de I ,

entonces existe un mapa único Φ: R [[ X 1 ,…, X r ]] → S verificando

Φ es un morfismo de R -álgebras ,
Φ es continuo y
Φ ( X i ) = x i para todo i = 1,…, r .

Serie formal generalizada

Sea G un grupo abeliano totalmente ordenado .

Entonces podemos construir el conjunto R (( G )) de las sumas

\ sum _ {{i \ in I}} a_ {i} X ^ {i}

en subconjuntos ordenada I de G , y donde un i son elementos de R . Tal suma es cero si todo un i son cero. Más formalmente, son los mapas de G en R con soporte bien ordenado.

Entonces R (( G )) es un anillo conmutativo llamado anillo de series formales en G generalizado . La condición de que las sumas se relacionen con subconjuntos I bien ordenados garantiza que el producto esté bien definido.

Si R es un campo y si G es el grupo de enteros relativos, encontramos la serie formal de Laurent.

Varias propiedades de R pueden transferirse a R (( G )).

Si R es un campo, también lo es R (( G )). Si R es un campo ordenado , podemos definir en R (( G )) una relación de orden asignando a cada serie el signo de su coeficiente dominante: el coeficiente asociado con el menor i tal que un i no es cero. Si G es un grupo divisible y R un campo real cerrado, entonces es lo mismo para R (( G )) Finalmente, si G es un grupo divisible y R un campo algebraicamente cerrado, entonces es lo mismo para R (( G ))

Esta teoría fue desarrollada por el matemático austriaco Hans Hahn.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Formal power series " ( ver la lista de autores ) .

Pierre Colmez , Elementos de análisis y álgebra (y teoría de números) , Palaiseau, Éditions de l'École Polytechnique ,2009, 469 p. ( ISBN 978-2-7302-1563-3 , leer en línea ) , pág. 231.
(en) Serge Lang , Álgebra ,1965[ detalle de ediciones ] , pág. 146.
N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas , Algebra , p. En III.28 , vista previa en Google Libros .
N. Bourbaki, Elementos de las matemáticas, Álgebra , partes 4 a 7, reed. 2007, pág. IV.36-37 , vista previa en Google Books .
Bernard Randé, Fracciones racionales y series formales , ed. Techniques Ingénieur, 2000, sección 1.4.3, página AF 39-6, vista previa en Google Books ; Alin Bostan, “ Algoritmos rápidos para polinomios, series formales y matrices ”, cap. 8, Los cursos CIRM , vol. 1, N o 2, 2010, p. 177 .

Ver también

enlaces externos

(en) Ivan Niven , “ Formal Power Series ” , Amer. Matemáticas. Mensual , vol. 76,1969, p. 871-889 ( leer en línea ), Premio Lester Randolph Ford 1970
Pierre Samuel , “ Méchants rings de series formal ”, Ann. Sci. univ. Clermont-Ferrand 2 , matemáticas, vol. 24, n o 3,1964, p. 109-111 ( leer en línea )