Operador (matemáticas)
En matemáticas y física teórica , un operador es una aplicación entre dos espacios vectoriales topológicos .
Definición de operador
Definición
Sean E y F dos espacios vectoriales topológicos. Un operador O es un mapeo de E a F :
O :mi → F{\ Displaystyle O \: \ quad E \ \ to \ F}
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Operador lineal
Un operador es lineal si y solo si:
O:mi→F{\ Displaystyle O: E \ a F}
∀(λ,μ)∈K2, ∀(X1,X2)∈mi,O(λX1+μX2) = λO(X1)+μO(X2){\ Displaystyle \ forall (\ lambda, \ mu) \ in K ^ {2}, \ \ forall (x_ {1}, x_ {2}) \ in E, \ quad O (\ lambda x_ {1} + \ mu x_ {2}) \ = \ \ lambda O (x_ {1}) + \ mu O (x_ {2})}
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donde K es el campo de escalares E y F .
Nota
Cuando E es un espacio vectorial, y (se trata de un cuerpo ), un operador es una forma lineal en E .
K{\ Displaystyle \ mathbb {K}}F=K{\ Displaystyle F = \ mathbb {K}}
Campo de definición)
Extendemos la definición anterior a mapas lineales definidos solo en un subespacio vectorial de E , que luego llamamos dominio de definición de operador.
Continuidad
Por definición de continuidad :
- Sea O un operador de dominio con valores en F y . Se dice que el operador O es continuo en si y solo si para cualquier vecindario V de , existe un vecindario de tal que:D0⊂mi{\ Displaystyle D_ {0} \ subconjunto E}X0∈DO{\ Displaystyle x_ {0} \ in D_ {O}}X0{\ Displaystyle x_ {0}}y0=O(X0){\ Displaystyle y_ {0} = O (x_ {0})}U{\ Displaystyle U}X0{\ Displaystyle x_ {0}}
∀X∈U∩DO ,O(X)∈V{\ Displaystyle \ forall x \, \ in \, U \ cap D_ {O} \, \ quad O (x) \, \ in \, V}
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- Se dice que el operador O es continuo si y solo si es continuo en todos los puntos de su dominio.X0∈DO{\ Displaystyle x_ {0} \ in D_ {O}}
Artículos relacionados
Bibliografía
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AN Kolmogorov y SV Fomin, Introductory Real Analysis , Dover Publications, Inc. (1975), ( ISBN 0-486-61226-0 ) .
- T. Kato, Teoría de la perturbación para operadores lineales , serie: Clásicos en matemáticas , Springer-Verlag ( 2 edición electrónica 1995) ( ISBN 3-540-58661-X ) .
- B. Yosida, Análisis Funcional , serie: Clásicos en Matemáticas , Springer-Verlag ( 6 ª edición, 1995) ( ISBN 3-540-58654-7 ) .
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