Anillo topológico

En matemáticas , un anillo topológico es un anillo provisto de una topología compatible con operaciones internas , es decir tal que la suma, el mapa opuesto y la multiplicación son continuos .

Un campo topológico es un campo provisto de una topología que hace que la suma, la multiplicación y la aplicación inversa sean continuas.

Estas estructuras amplían la noción de grupo topológico .

Ejemplos de

• Todos los campos numéricos habituales ( racionales , reales , complejos , p -ádicos ) tienen una o más topologías clásicas que los convierten en campos topológicos. Se trata esencialmente de topologías inducidas por la distancia habitual o la distancia p -ádica .
• El conjunto de aplicaciones de un conjunto a un anillo topológico constituye un anillo topológico para la topología de convergencia simple . Cuando el conjunto es en sí mismo un espacio topológico, el subanillo de funciones continuas es un anillo topológico para la topología compacta-abierta .X{\ Displaystyle X}X{\ Displaystyle X}
• Cualquier álgebra de normas es un anillo topológico.
• Cualquier subanillo de un anillo topológico es un anillo topológico para la topología inducida.
• Cualquier anillo provisto de topología discreta o topología burda constituye un anillo topológico.

Me -adic topología

Dado un anillo conmutativo y un ideales de , la -adic topología de se define por la base de los barrios en cada punto de de la forma :, donde describe todos los enteros naturales. R{\ Displaystyle R} I{\ Displaystyle I}R{\ Displaystyle R}I{\ Displaystyle I}R{\ Displaystyle R}X{\ Displaystyle x}R{\ Displaystyle R}X+Ino{\ Displaystyle x + I ^ {n}}no{\ Displaystyle n}

Esta topología hace del anillo un anillo topológico, que se separa si y solo si la intersección de las potencias del ideal se reduce al elemento cero: R{\ Displaystyle R}I{\ Displaystyle I}

⋂no∈NOIno={0}{\ Displaystyle \ bigcap _ {n \ in \ mathbb {N}} I ^ {n} = \ {0 \}}.

En este caso, la topología se puede medir mediante una distancia ultramétrica definida de la siguiente manera:

para todos los ≠ elementos de ,X{\ Displaystyle x}y{\ Displaystyle y}R{\ Displaystyle R} D(X,y)=1/2k{\ Displaystyle d (x, y) = 1/2 ^ {k}} ¿Dónde está el mayor poder del ideal que contiene la diferencia ?k{\ Displaystyle k}X-y{\ Displaystyle xy}

La topología p -ádica en enteros relativos se construye así con el ideal de múltiplos enteros de . I{\ Displaystyle I}pag{\ Displaystyle p}

Terminación de un anillo metrizable

Cuando una topología de anillo es metrizable, las operaciones se extienden continuamente (de forma única) hasta su finalización métrica , que se convierte así en el anillo completo  (in) .

Notas

1. La continuidad de la aplicación contraria se comprueba automáticamente si el anillo es unitario .
2. Sin embargo, existen anillos topológicos que son cuerpos sin satisfacer esta última condición.

<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">