Polinomio de campana

En matemáticas , y más precisamente en combinatoria , un polinomio de Bell , llamado así por el matemático Eric Temple Bell , se define por:

B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{n-k + 1}}) = \ sum {n! \ over j_ {1}! j_ {2}! \ cdots j _ {{n-k + 1}}!} \ left ({x_ {1} \ over 1!} \ right) ^ {{j_ {1}}} \ left ({x_ {2} \ over 2!} \ right) ^ {{j_ {2}}} \ cdots \ left ({x _ {{nk + 1}} \ over (nk + 1)!} \ derecha) ^ {{j _ {{nk + 1}}}}

donde la suma se relaciona con todas las secuencias j 1 , j 2 , j 3 ,…, j n - k +1 de números naturales como:

{\ Displaystyle j_ {1} + j_ {2} + \ cdots + j_ {n-k + 1} = k}

{\ Displaystyle j_ {1} + 2j_ {2} + 3j_ {3} + \ cdots + (n-k + 1) j_ {n-k + 1} = n}

Polinomios de Bell completos

La suma

B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x_ {n}) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} B _ {{n, k}} (x_ { 1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{n-k + 1}})

a veces se denomina n -ésimo polinomio de Bell completo , y luego los polinomios B n , k definidos anteriormente se denominan polinomios de Bell "parciales". Los polinomios de Bell completos B n se pueden expresar mediante el determinante de una matriz :

B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {n}) = {\ begin {vmatrix} {0 \ choose 0} x_ {1} & {1 \ choose 0} x_ {2 } & {2 \ choose 0} x_ {3} & {3 \ choose 0} x_ {4} & \ cdots & {n-2 \ choose 0} x _ {{n-1}} & {n-1 \ elija 0} x_ {n} \\\\ - 1 & {1 \ elija 1} x_ {1} & {2 \ elija 1} x_ {2} & {3 \ elija 1} x_ {3} & \ cdots & {n -2 \ elija 1} x _ {{n-2}} & {n-1 \ elija 1} x _ {{n-1}} \\\\ 0 & -1 & {2 \ elija 2} x_ {1} & {3 \ elija 2} x_ {2} & \ cdots & {n-2 \ elija 2} x _ {{n-3}} & {n-1 \ elija 2} x _ {{n -2}} \\\\ 0 & 0 & -1 & {3 \ choose 3} x_ {1} & \ cdots & {n-2 \ choose 3} x _ {{n-4}} & {n- 1 \ elija 3} x _ {{n-3}} \\\\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ ddots & \ vdots & \ vdots \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & {n-2 \ elija n-2} x_ {1} & {n- 1 \ elija n-2} x_ {2} \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ cdots & -1 & {n-1 \ elija n-1} x_ {1} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} {j -1 \ elija i-1} x _ {{ji + 1}} - \ delta _ {{ji + 1}} \ end {vmatrix}}

con δ k el símbolo de Kronecker . La matriz de la cual B n es el determinante es una matriz de Hessenberg .

Interpretación combinatoria

Si el entero n se divide en una cantidad en la que "1" aparece j 1 veces, "2" aparece j 2 veces, y así sucesivamente, entonces el número de particiones de un conjunto con n elementos que corresponden a la partición del entero n cuando ya no distinguimos los elementos del conjunto es el coeficiente correspondiente del polinomio.

Ejemplos de

Por ejemplo, tenemos:

B _ {{6.2}} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}, x_ {5}) = 6x_ {5} x_ {1} + 15x_ {4} x_ {2 } + 10x_ {3} ^ {2}

porque hay :

6 particiones de un conjunto de 6 elementos de la forma 5 + 1;
15 particiones de la forma 4 + 2;
10 particiones de la forma 3 + 3.

Igualmente :

B _ {{6.3}} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}, x_ {4}) = 15x_ {4} x_ {1} ^ {2} + 60x_ {3} x_ {2} x_ {1} + 15x_ {2} ^ {3}

porque hay :

15 particiones de un conjunto de 6 elementos de la forma 4 + 1 + 1;
60 particiones de la forma 3 + 2 + 1;
15 particiones de la forma 2 + 2 + 2.

Propiedades

Fórmula de recurrencia

B _ {{n + 1}} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{n + 1}}) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ binom {n} {k}} B _ {{nk}} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{nk}}) \, x _ {{k + 1}} = \ suma _ {{k = 0}} ^ {n} {\ binom {n} {k}} B_ {k} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x_ {k}) \, x _ {{nk + 1}}

con

B 0 = 1

. Demostración

Siendo la matriz una matriz de Hessenberg , se puede desarrollar su determinante de acuerdo con la última columna, dando la fórmula de recurrencia. ${\ begin {pmatrix} {j-1 \ elija i-1} x _ {{j-i + 1}} - \ delta _ {{j-i + 1}} \ end {pmatrix}}$

Número de Stirling del segundo tipo

B _ {{n, k}} (1,1, \ puntos, 1) = {\ begin {Bmatrix} n \\ k \ end {Bmatrix}}

Número de campana

B_ {n} (1,1, \ puntos, 1) = B_ {n}

Demostración

B_ {n} (1,1, \ puntos, 1) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} B _ {{n, k}} (1,1, \ puntos, 1) = \ suma _ {{k = 1}} ^ {n} {\ begin {Bmatrix} n \\ k \ end {Bmatrix}} = B_ {n}

Número de Stirlings del primer tipo (sin firmar)

{\ Displaystyle B_ {n, k} (0 !, 1 !, \ dots, (nk)!) = {\ begin {bmatrix} n \\ k \ end {bmatrix}}}

Número de Lah

B _ {{n, k}} (1 !, 2 !, \ Dots, (n-k + 1)!) = \ Left \ lfloor {\ begin {matrix} n \\ k \ end {matrix}} \ right \ piso

Factorial

{\ Displaystyle B_ {n} (0,1, \ puntos, n-1) = (n-1)!}

para

n \geq 1

B_ {n} (0 !, 1 !, \ Puntos, (n-1)!) = N!

B_ {n} (- 0 !, - 1 !, \ Puntos, - (n-1)!) = 0

Último argumento

$B _ {{n, 1}} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x_ {n}) = x_ {n}$
$\ forall k> 1, B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n-k + 1}}, x _ {{n-k + 2}}, \ puntos, x_ {n}) = B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{nk + 1}}) = B _ {{n, k} } (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk + 1}}, 0, \ dots, 0)$
$B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{n-1}}, x_ {n}) = B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{n-1}}, 0) + x_ {n}$

Tipo binomial

B_ {n} (x_ {1} + y_ {1}, x_ {2} + y_ {2}, \ puntos, x_ {n} + y_ {n}) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {\ binom {n} {k}} B _ {{nk}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk}}) B_ {k} (y_ {1 }, y_ {2}, \ dots, y_ {k})

con $B 0 = 1$ .

Recíproco

Deje que $f sea$ una función infinitamente diferenciable en un punto de $una$ y recíproca $f -1$ , entonces:

y_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} [f] _ {{x = a}} ^ {{(k)}} B _ {{n, k}} (x_ { 1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{n-k + 1}}) \ Flecha izquierda x_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} [f ^ {{- 1} }] _ {{x = f (a)}} ^ {{(k)}} B _ {{n, k}} (y_ {1}, y_ {2}, \ puntos, y _ {{nk + 1}})

Casos particulares

Tomando $f ( x ) = e x$ (es decir, $f -1 ( x ) = ln ( x )$ ) infinitamente diferenciable en 0, tenemos:

$[f] _ {{x = 0}} ^ {{(k)}} = 1$
$[f ^ {{- 1}}] _ {{x = f (0)}} ^ {{(k)}} = (- 1) ^ {{k-1}} (k-1)!$

de donde :

y_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{n-k + 1} }) \ Flecha izquierda x_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} (- 1) ^ {{k-1}} (k-1)! B _ {{n, k}} (y_ {1}, y_ {2}, \ puntos, y _ {{n-k + 1}})

es :

x_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} (- 1) ^ {{k-1}} (k-1)! B _ {{n, k}} [B_ {1 } (x_ {1}), B_ {2} (x_ {1}, x_ {2}), \ puntos, B _ {{n-k + 1}} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{nk + 1}})]

Tomando $f ( x ) = x α$ con $α \neq 0$ (es decir, $f -1 ( x ) = x 1 / α$ ) infinitamente diferenciable en 1, tenemos:

$[f] _ {{x = 1}} ^ {{(k)}} = \ alpha ^ {{\ underline {k}}}$
$[f ^ {{- 1}}] _ {{x = f (1)}} ^ {{(k)}} = \ left ({\ frac {1} {\ alpha}} \ right) ^ {{ \ subrayado {k}}}$

con $. k$ el factorial decreciente , por tanto:

y_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ alpha ^ {{\ underline {k}}} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2} , \ dots, x _ {{n-k + 1}}) \ Leftrightarrow x_ {n} = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ left ({\ frac {1} {\ alpha}} \ derecha) ^ {{\ underline {k}}} B _ {{n, k}} (y_ {1}, y_ {2}, \ dots, y _ {{nk + 1}})

Factor decreciente

\ forall (a, b) \ in \ mathbb {N} ^ {2}, \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} a ^ {{\ underline {k}}} B _ {{n, k}} (b ^ {{\ subrayado {1}}}, b ^ {{\ subrayado {2}}}, \ puntos, b ^ {{\ subrayado {n}}}) = (ab) ^ {{ \ subrayado {k}}}

con $. k$ el factorial decreciente .

Comportamiento de escala

Polinomios de campana parciales Caso general

B _ {{n, k}} (\ alpha \ beta x_ {1}, \ alpha \ beta ^ {2} x_ {2}, \ dots, \ alpha \ beta ^ {{n-k + 1}} x_ {{ nk + 1}}) = \ alpha ^ {k} \ beta ^ {n} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk +1} })

Casos particulares

B _ {{n, k}} (\ alpha x_ {1}, \ alpha x_ {2}, \ puntos, \ alpha x _ {{nk + 1}}) = \ alpha ^ {k} B _ {{ n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{n-k + 1}})

B _ {{n, k}} (\ alpha x_ {1}, \ alpha ^ {2} x_ {2}, \ dots, \ alpha ^ {{n-k + 1}} x _ {{n-k + 1}} ) = \ alpha ^ {n} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk + 1}})

Polinomios de Bell completos Caso general

B_ {n} (\ alpha \ beta x_ {1}, \ alpha \ beta ^ {2} x_ {2}, \ dots, \ alpha \ beta ^ {n} x_ {n}) = \ beta ^ {n} \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ alpha ^ {k} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x _ {{nk + 1 }})

Casos particulares

B_ {n} (\ alpha x_ {1}, \ alpha x_ {2}, \ dots, \ alpha x_ {n}) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ alpha ^ {k} B _ {{n, k}} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{nk + 1}})

B_ {n} (\ alpha x_ {1}, \ alpha ^ {2} x_ {2}, \ dots, \ alpha ^ {n} x_ {n}) = \ alpha ^ {n} B_ {n} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x_ {n})

Otra expresión

B_ {n} (\ alpha x_ {1}, \ alpha x_ {2}, \ puntos, \ alpha x_ {n}) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} \ alpha ^ {{\ subrayado {k}}} B _ {{n, k}} [B_ {1} (x_ {1}), B_ {2} (x_ {1}, x_ {2}), \ puntos, B _ {{ n- k + 1}} (x_ {1}, x_ {2}, \ puntos, x _ {{n-k + 1}})]

con $. k$ el factorial decreciente .

Identidad convolucional

Para las secuencias x n , y n , n = 1, 2,…, podemos definir un producto de convolución por:

(x \ traje de diamantes y) _ {n} = \ sum _ {{j = 1}} ^ {{n-1}} {n \ elija j} x_ {j} y _ {{nj}}

(los límites de la suma son 1 y n - 1, y no 0 y n ).

Sea el n -ésimo término de la secuencia $x_ {n} ^ {{k \ traje de diamantes}}$ $\ Displaystyle \ underbrace {x \ traje de diamantes \ cdots \ traje de diamantes x} _ {{k \ {\ mathrm {factores}}}}$

Entonces :

B _ {{n, k}} (x_ {1}, \ dots, x _ {{n-k + 1}}) = {x _ {{n}} ^ {{k \ diamondsuit}} \ over k!}

Aplicaciones

Fórmula de Faà di Bruno

La fórmula de Faà di Bruno se puede establecer utilizando los polinomios de Bell de la siguiente manera:

{d ^ {n} \ over dx ^ {n}} f (g (x)) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} f ^ {{(k)}} (g (x) ) B _ {{n, k}} \ left (g '(x), g' '(x), \ dots, g ^ {{(nk + 1)}} (x) \ right)

Asimismo, podemos dar una versión de esta fórmula con respecto a la serie formal : supongamos que

f (x) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {a_ {n} \ over n!} x ^ {n}

g (x) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {b_ {n} \ over n!} x ^ {n}

Entonces :

g (f (x)) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {\ sum _ {{k = 1}} ^ {{n}} b_ {k} B _ {{n, k}} (a_ {1}, \ dots, a _ {{n-k + 1}}) \ over n!} x ^ {n}

Los polinomios de Bell completos aparecen en el exponencial de una serie formal (en) :

\ exp \ left (\ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {a_ {n} \ over n!} x ^ {n} \ right) = \ sum _ {{n = 0}} ^ {\ infty} {B_ {n} (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ over n!} x ^ {n}

Momentos y acumulaciones

Para una variable aleatoria real cuyo momento de orden $r$ existe , tenemos:

m_ {r} = B_ {r} (\ kappa _ {1}, \ kappa _ {2}, \ dots, \ kappa _ {r})

con $m r$ el momento ordinario de orden $r$ y $κ 1 , κ 2 ,\dots, κ r$ los acumulados de orden $1$ a $r$ .

Representaciones de secuencias polinomiales

Para cualquier secuencia a 1 , a 2 , a 3 , ... de escalares, es decir:

p_ {n} (x) = \ sum _ {{k = 1}} ^ {n} B _ {{n, k}} (a_ {1}, \ dots, a _ {{n-k + 1}}) x ^ {k}

Esta secuencia de polinomios es de tipo binomial (en) , es decir, satisface la siguiente identidad binomial:

p_ {n} (x + y) = \ sum _ {{k = 0}} ^ {n} {n \ elija k} p_ {k} (x) p _ {{nk}} (y)

para n ≥ 0.

De hecho, también tenemos lo contrario:

Teorema Todas las secuencias de polinomios de tipo binomial se pueden expresar en la forma que involucra los polinomios de Bell.

Si preguntamos

h (x) = \ sum _ {{n = 1}} ^ {\ infty} {a_ {n} \ over n!} x ^ {n}

considerando esta serie como una serie formal, entonces para todo n :

h ^ {{- 1}} \ left ({d \ over dx} \ right) p_ {n} (x) = np _ {{n-1}} (x)

Notas y referencias

(en) W.-S. Chaou, Leetsch C. Hsu, Peter J.-S. Shiue, “ Aplicación de la fórmula de Faà di Bruno en la caracterización de relaciones inversas ”, en Journal of Computational and Applied Mathematics , vol. 190, 2006, pág. 151–169
(en) Andrzej Korzeniowski, " Dominación de colas binomiales para gráficos aleatorios a través de polinomios de Bell " en JPSS , vol. 4, n ° 1, 2006, pág. 99-105

(en) Eric Temple Bell , " Polinomios de partición " , Ann. Matemáticas. , vol. 29, n os 1/4, 1927-1928, pág. 38-46 ( DOI 10.2307 / 1967979 )
(en) Louis Comtet , Combinatoria avanzada: El arte de las expansiones finitas e infinitas , Reidel Publishing Company, Dordrecht-Holland / Boston-US, 1974
(en) Steven Roman (en) , The Umbral Calculus , Publicaciones de Dover

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado " Polinomios de Bell " ( consulte la lista de autores ) .

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Ejemplos de

Propiedades

Fórmula de recurrencia

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Factorial

Último argumento

Tipo binomial

Recíproco

Factor decreciente

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Identidad convolucional

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Fórmula de Faà di Bruno

Momentos y acumulaciones

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Notas y referencias

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