Álgebra de un grupo finito

En matemáticas , el álgebra de un grupo finito es un caso especial del álgebra de un monoide que cae dentro del marco de la teoría de las representaciones de un grupo finito .

Un álgebra de un grupo finito son los datos de un grupo finito , de un espacio vectorial de dimensión del orden del grupo y de una base indexada por el grupo. La multiplicación de los elementos de la base se obtiene mediante la multiplicación de los índices utilizando la ley de grupos, se extiende a toda la estructura por linealidad. Tal estructura es un álgebra semi-simple , tiene una teoría completa de la cual el teorema de Artin-Wedderburn es el pilar.

Este enfoque aporta un nuevo ángulo de análisis para la representación de grupos. Permite establecer por ejemplo, el teorema de reciprocidad de Frobenius , el de Artin o por ejemplo el teorema de Brauer sobre los caracteres inducidos  (en) .

Introducción

Naturaleza del proceso

El objetivo es el estudio de las representaciones de un grupo finito G desde un ángulo particular. Primero, se estudia una única representación, la representación regular . El conjunto inicial se linealiza, es decir, se identifica con el espacio vectorial del cuerpo K de la representación, convirtiéndose el grupo en la base canónica del espacio. El morfismo de los grupos de G en el grupo lineal del espacio vectorial se prolonga por la linealidad. Obtenemos una estructura de álgebra asociativa en un campo conmutativo , denotado K [ G ] (para notaciones, ver el artículo polinomio en varios indeterminados ). Junto con los personajes , este enfoque es uno de los dos pilares de la teoría de la representación .

El teorema de Maschke muestra que si el orden del grupo no es un múltiplo de la característica del cuerpo K , el álgebra es semi-simple . Esta estructura, objeto de una vasta teoría, permite la demostración de diversos resultados gracias a sus numerosos teoremas. Uno de los más importantes es sin duda el de Artin-Wedderburn , él indica que si se divide el polinomio X g - 1, el álgebra es isomorfa a una suma directa de álgebras de endomorfismos sobre K - espacios vectoriales de dimensiones terminadas . Aquí g denota el orden del grupo.

El álgebra de un grupo opera sobre todas las representaciones, basta para extender el morfismo de los grupos por linealidad. Obtenemos una estructura de módulo donde el anillo K [ G ] opera sobre el espacio vectorial de la representación. Esta estructura se llama módulo G. Hay una equivalencia estricta entre la noción de G -módulo y la representación de G .

Aplicaciones

La mayoría de los primeros resultados de la teoría de la representación son una consecuencia directa de las propiedades generales de las álgebras semi-simples. Podemos demostrar el carácter finito del número de representaciones irreductibles, o la igualdad entre el orden del grupo y la suma de los cuadrados de las dimensiones de las representaciones irreductibles . Es cierto que estas propiedades a menudo se demuestran fácilmente usando caracteres, sin la adición de una teoría rica pero a veces compleja. Por otro lado, algunos de estos resultados se demuestran más fácilmente con un enfoque que utiliza álgebras semi-simples, este es el caso del criterio de reciprocidad de Frobenius .

Hay elementos específicos de las álgebras que son esenciales para la teoría de la representación. El centro de la álgebra K [ G ] es naturalmente una extensión abeliana conmutativa del campo K . Es posible utilizar la noción de entero algebraico . Esta observación permite introducir una aritmética , que resulta ineludible. Se utiliza en este artículo para demostrar que cualquier representación irreductible tiene un grado que divide el orden del grupo.

En el caso de que g sea ​​un múltiplo de la característica del grupo, la propiedad fundamental de los personajes, es decir, el aspecto ortonormal de los irreductibles, desaparece. El álgebra de grupo también pierde su semi-simplicidad. Por otro lado, la teoría de los anillos semi-simples y particularmente el concepto de radicales de Jacobson permite dilucidar la naturaleza de las representaciones.

Definiciones

Álgebra de un grupo

Las siguientes notaciones y suposiciones se utilizan a lo largo del artículo:

G denota un grupo finito denotado por multiplicación, su elemento neutro denotado por 1 y su orden g .

K es un campo cuya característica no no dividir g , y en el que el polinomio X g - 1 es dividida (o incluso sólo el polinomio X e - 1, donde e denota el exponente de G ).

K G denota el espacio vectorial de las aplicaciones de G en K . Su base canónica es la familia ( δ s ) sεG donde δ s ( t ) = 1 para t = s y es 0 para el otro t ∈ G .

• El álgebra K del grupo G , denotado K [ G ], se define proporcionando el espacio vectorial K G de la convolución *, descrito por:∀a,B∈KGRAMO,∀tu∈GRAMO,(a∗B)(tu)=∑s,t∈GRAMO,st=tua(s)B(t){\ Displaystyle \ forall a, b \ in K ^ {G}, \ quad \ forall u \ in G, \ qquad (a * b) (u) = \ sum _ {s, t \ in G, st = u } a (s) b (t)}

o :

∀(as)s∈GRAMO, (Bt)t∈GRAMO∈KGRAMO,(∑s∈GRAMOasδs)∗(∑t∈GRAMOBtδt)=∑s,t∈GRAMOasBtδst.{\ Displaystyle \ forall (a_ {s}) _ {s \ in G}, ~ (b_ {t}) _ {t \ in G} \ in K ^ {G}, \ quad \ left (\ sum _ { s \ en G} a_ {s} \ delta _ {s} \ right) * \ left (\ sum _ {t \ in G} b_ {t} \ delta _ {t} \ right) = \ sum _ {s , t \ in G} a_ {s} b_ {t} \ delta _ {st}.}

Esta multiplicación interna extiende la ley del grupo: δ s ∗ δ t = δ st .

Módulo G

• Un módulo en el álgebra K [ G ] se denomina G -módulo .

Luego tenemos un diccionario completo entre las representaciones de los módulos G y G. En particular :

• Los módulos simples corresponden a representaciones irreductibles .
• Si V 1 y V 2 son dos módulos G , el álgebra K de los morfismos de los módulos G de V 1 a V 2 es el álgebra de los morfismos entre las dos representaciones correspondientes. Se denominará hom K G ( V 1 , V 2 ).

Según el teorema de Maschke  :

• Si el orden del grupo no es un múltiplo de la característica del campo K, entonces cualquier módulo G es semi-simple , es decir, suma directa de módulos simples. En otras palabras: K [ G ] es un álgebra semi-simple .

Propiedades

Centro de álgebra

De la definición del producto en el anillo K [ G ] se deduce que su centro está formado por los mapas de G en K que son centrales , es decir, constantes en cada clase de conjugación . Por lo tanto, este subespacio vectorial de K G tiene como base canónica la familia ( 1 c ) c∊C de funciones indicadoras de estas clases de conjugación (tal indicador se descompone en la base canónica de K G en: 1 c = ∑ s ∊c δ s ).

También está probado que para la forma bilineal no degenerada simétrica en K G definida por

(F|h)=1gramo∑s∈GRAMOF(s)h(s-1),{\ Displaystyle (f | h) = {\ frac {1} {g}} \ sum _ {s \ in G} f (s) h (s ^ {- 1}),}

• los caracteres irreductibles forman una base ortonormal del subespacio de funciones centrales.

Resulta (considerando la dimensión de este subespacio):

• El número de caracteres irreducibles es igual al número h de clases de conjugación en el grupo.

Por lo tanto, el grupo tiene en K (hasta la equivalencia) solo h representaciones irreductibles ( S 1 , ρ 1 ),… ( S h , ρ h ), cuyos caracteres χ 1 , ..., χ h forman una base del espacio de funciones centrales.

Teorema de Artin-Wedderburn

Con las notaciones del párrafo anterior, probamos directamente el siguiente teorema fundamental:

• El álgebra K [ G ] es isomorfa a la suma directa de las álgebras L K ( S i ) de endomorfismos de los espacios K-vector S i subyacentes a las h representaciones irreductibles de G:K[GRAMO]≃⨁I=1hLK(SI).{\ Displaystyle K [G] \; \ simeq \; \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} \ mathrm {L} _ {K} (S_ {i}).}Una forma más académica de lograr el mismo resultado es utilizar el teorema de Artin-Wedderburn para álgebras de dimensión finita semi-simples .

Demostración directa

• Cada una de las representaciones ρ i  : G → GL ( S i ) define un morfismo, que nuevamente denotamos por ρ i , de K [ G ] a L ( S i ), y denotamos por ρ el morfismo de K [ G ] en la suma directa de L ( S i ). También denotamos por f k las formas lineales canónicas (coeficientes matriciales) en esta suma.
• Para cualquier forma lineal φ = ∑λ k f k en esta suma directa, si φ es cero en la imagen de ρ, entonces ∑λ k m k = 0, donde m k = f k ∘ρ. Sin embargo, del Corolario 4 del artículo “Lema de Schur” se desprende que los m k forman una familia libre, lo que conlleva la nulidad de todo λ k y por tanto de φ. Esto prueba que la imagen de ρ no está incluida en ningún hiperplano, por lo tanto, ρ es sobreyectiva.
• Si un elemento f de K [ G ] está en el núcleo de ρ, es decir, en el núcleo de todo ρ i , entonces f también está en el núcleo del morfismo λ: K [ G ] → L ( K G ) asociado con el representación regular ya que esta última es, como cualquier representación de G , una suma directa de irreducibles. Como λ (f) es cero, la imagen de λ (f) del elemento δ 1 de K [ G ] también es cero, pero esta imagen no es otra que f . Esto prueba que ρ es inyectivo.

• Dado que el espacio vectorial subyacente a K [ G ] es K G , tenemos, al denotar d i la dimensión del espacio S i , la igualdad de los enteros  :gramo=∑I=1hDI2.{\ Displaystyle g = \ sum _ {i = 1} ^ {h} d_ {i} ^ {2}.}(En el artículo Representación regular , esta notable identidad se demuestra solo módulo la característica de K. )
• Un elemento de K [ G ] pertenece al centro si y solo si cada uno de sus componentes es una homotecia. Además, el estudio de las funciones centrales muestra que la razón λ i de la escala en S i es entonces igual a:F{\ Displaystyle f}λI=1DI∑s∈GRAMOF(s)χI(s).{\ Displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {1} {d_ {i}}} \ sum _ {s \ in G} f (s) \ chi _ {i} (s).}

Rendimiento regular

La representación regular λ de G es la que corresponde, a través del “diccionario” mencionado anteriormente, a la estructura natural del módulo K [ G ] a la izquierda del álgebra K [ G ]. Gracias a la descomposición anterior de este álgebra tenemos:

• La representación regular es equivalente a la suma directa de las representaciones irreducibles ρ i cada una repetida un número de veces igual a su grado d i  :

(KGRAMO,λ) ≃ ⨁I=1hDI(SI,ρI).{\ Displaystyle (K ^ {G}, \ lambda) ~ \ simeq ~ \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} d_ {i} (S_ {i}, \ rho _ {i}).}

En otras palabras, los componentes isotípicos del módulo semi-simple asociado con λ son los

DI(SI,ρI)=(SI,ρI)⊕...⊕(SI,ρI)(DI hora),conDI=sol⁡(SI).{\ Displaystyle d_ {i} (S_ {i}, \ rho _ {i}) = (S_ {i}, \ rho _ {i}) \ oplus \ ldots \ oplus (S_ {i}, \ rho _ { i}) \ quad (d_ {i} {\ text {veces}}), \ quad {\ text {con}} \ quad d_ {i} = \ dim (S_ {i}).}

Ortogonalidad

La complementariedad de los dos enfoques, por caracteres y por álgebra de grupo, también se aplica a las propiedades de la ortogonalidad. Sea ( V 1 , ρ 1 ) y ( V 2 , ρ 2 ) dos representaciones de G .

• Si χ 1 y χ 2 denotan los caracteres de ρ 1 y ρ 2 y si las representaciones ( V 1 , ρ 1 ) y ( V 2 , ρ 2 ) se consideran como módulos G , entonces la siguiente igualdad se cumple en K:

(χ1|χ2)=sol⁡(homKGRAMO⁡(V1,V2)).{\ Displaystyle (\ chi _ {1} | \ chi _ {2}) = \ dim \ left (\ hom _ {K} ^ {G} (V_ {1}, V_ {2}) \ right).} Demostración

Usando las notaciones anteriores, tenga en cuenta:

(V1,ρ1)≃⨁I=1hno1,I(SI,ρI)y(V2,ρ2)≃⨁I=1hno2,I(SI,ρI).{\ Displaystyle (V_ {1}, \ rho ^ {1}) \ simeq \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} n_ {1, i} (S_ {i}, \ rho _ {i}) \ quad {\ text {y}} \ quad (V_ {2}, \ rho ^ {2}) \ simeq \ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} n_ {2, i} (S_ {i}, \ rho _ {i}).}

El lema de Schur prueba que dim (Hom K G ( S i , S j )) = δ i, j ( símbolo de Kronecker ). Podemos deducir:

sol⁡(homKGRAMO⁡(V1,V2))=sol⁡(homKGRAMO⁡(⨁I=1hSIno1,I,⨁j=1hSjno2,j))=∑I,j∈[1,h]no1,Ino2,jsol⁡(homKGRAMO⁡(SI,Sj))=∑I=1hno1,Ino2,I.{\ Displaystyle \ dim \ left (\ hom _ {K} ^ {G} (V_ {1}, V_ {2}) \ right) = \ dim \ left (\ hom _ {K} ^ {G} \ left (\ bigoplus _ {i = 1} ^ {h} S_ {i} ^ {n_ {1, i}}, \ bigoplus _ {j = 1} ^ {h} S_ {j} ^ {n_ {2, j }} \ right) \ right) = \ sum _ {i, j \ in [1, h]} n_ {1, i} n_ {2, j} \ dim \ left (\ hom _ {K} ^ {G } (S_ {i}, S_ {j}) \ right) = \ sum _ {i = 1} ^ {h} n_ {1, i} n_ {2, i}.}

La propiedad de ortonormalidad de los caracteres irreductibles permite concluir.

Aplicaciones

Reciprocidad de Frobenius

Un buen ejemplo del uso de la estructura del álgebra de grupos lo da el criterio de reciprocidad de Frobenius. Se trata de un modo de construcción del módulo G llamado representación inducida . Sea H un subgrupo de G y W un módulo K [ H ]. Entonces la siguiente estructura es el módulo G inducido por W  :

V≃K[GRAMO]⊗K[H]W{\ Displaystyle V \ simeq K [G] \ otimes _ {K [H]} W \;}

Inducida corresponde representación a una extensión de escalares K [ H ] al anillo K [ G ] en la H -módulo W . En el caso de que H sea ​​un subgrupo normal de G , el módulo G inducido es el equivalente de un producto semidirecto .

El criterio de reciprocidad de Frobenius es un método simple para calcular el producto hermitiano del carácter de un módulo inducido. Si ψ designa el carácter de la representación θ procedente del módulo H W y χ el de una representación ρ de G , si Ind ψ designa el carácter de una representación inducida, es decir, la representación asociada al módulo induce y Res χ el carácter de la restricción de ρ a H , entonces:

<InoDHGRAMOψ|χ>GRAMO= <ψ|RmisHGRAMOχ>H{\ Displaystyle <Ind_ {H} ^ {G} \, \ psi \, | \, \ chi> _ {G} = <\ psi \, | \, Res_ {H} ^ {G} \, \ chi> _ {H} \;}

Se demuestra al establecer un isomorfismo entre las dos estructuras de morfismos del álgebra asociada a K , la igualdad de dimensiones permite concluir.

Entero algebraico

• Sea u un elemento del centro de K [ G ] cuyas coordenadas - en la base canónica ( 1 c ) c ∈ C - son enteros sobre ℤ , entonces u es entero sobre ℤ.

Para demostrarlo, probamos que el módulo ℤ de tipo finito generado por 1 c es de hecho un ℤ-álgebra .

Con las notaciones de los párrafos anteriores, deducimos:

• Sea u un elemento del centro de K [ G ] cuyas coordenadas son enteras en ℤ , entonces el siguiente elemento de K es un número entero en ℤ.

λI=1DI∑s∈GRAMOtusχI(s){\ Displaystyle \ lambda _ {i} = {\ frac {1} {d_ {i}}} \ sum _ {s \ in G} u_ {s} \ chi _ {i} (s)}

De hecho, según el párrafo “Teorema de Artin-Wedderburn” , este número es la razón de la homotecia ρ i ( u ) sobre S i . Según la proposición anterior, esta homotecia es un elemento entero en ℤ, así también su relación porque el mapa que a una homotecia asocia su relación es un morfismo de álgebras.

Cuando K es de característica cero, se puede deducir de ella la siguiente propiedad (que de hecho es cierta en cualquier característica)  :

• El grado d i de una representación irreductible divide el orden g del grupo.

Demostración directa

Considere el elemento u igual a la suma, para s que describe G , de los elementos χ i ( s -1 ) δ s . Los χ i ( s -1 ) son números enteros algebraicos , por la totalidad de los caracteres . Por otro lado, χ i es, como cualquier carácter, una función central en G , lo que prueba que u es un elemento del centro de K [ G ]. Como sus coordenadas en la base canónica son enteros algebraicos, se aplica la proposición anterior y g / d i es un entero algebraico. Pero también es un número racional y por lo tanto un elemento de Z , lo que muestra que d i divide el orden del grupo.

Grupo abeliano

Si el grupo finito G es abeliano, su grupo dual es finito y isomorfo (no canónicamente) a G . Luego tenemos todas las herramientas de análisis armónico sobre el álgebra de grupos (con coeficientes complejos). Definimos una transformada de Fourier y un producto de convolución , y se aplican teoremas como la igualdad de Parseval , el teorema de Plancherel o la dualidad de Pontryagin .

Muchos teoremas clásicos se reinterpretan en términos de análisis armónico en un grupo abeliano finito; podemos citar en aritmética la constitución de herramientas como el símbolo de Legendre , las sumas gaussianas utilizadas para la demostración de la ley de reciprocidad cuadrática o para el cálculo de períodos de Gauss y la búsqueda de raíces de polinomios ciclotómicos .

Notas y referencias

1. Ver Teoría de grupos, Caracteres complejos de grupos finitos, Lema 36 en Wikiversidad .

Ver también

Artículo relacionado

Álgebra a groupoid  (en)

Bibliografía

• Jean-Pierre Serre , Representaciones lineales de grupos finitos [ detalle de ediciones ]
• (en) Marshall Hall, Jr. , The Theory of Groups [ detalle de las ediciones ]
• Serge Lang , Álgebra [ detalle de las ediciones ]
• N. Bourbaki , Elementos de las matemáticas , Álgebra , cap. VIII

enlaces externos

• Vincent Beck, "  TD Representación de grupos finitos  " , 2005-2006 del curso M2 de Michel Broué ( Universidad Paris VII - Diderot ), y corregido
• Daniel Ferrand, "  Representación lineal de grupos finitos, una introducción  " , en IMJ-PRG ,2005
• (en) Peter Webb, "  Representaciones de grupos finitos para el matemático puro  "

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