Teorema de Euler (funciones de varias variables)

El teorema de Euler , que lleva el nombre del matemático suizo Leonhard Euler , es el resultado de un análisis multivariado útil en termodinámica y economía . Dice lo siguiente.

Deje C ser un cono de ℝ n y k un número real .

Una función de varias variables f  : C → ℝ m diferenciable en cualquier punto es positivamente homogénea de grado k si y solo si se verifica la siguiente relación, llamada identidad de Euler :

∀X=(X1,...,Xno)∈Rno,∑I=1noXI∂F∂XI(X)=kF(X){\ Displaystyle \ forall x = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ in \ mathbb {R} ^ {n}, \ quad \ sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i } {\ frac {\ parcial f} {\ parcial x_ {i}}} (x) = kf (x)}

Generalización

Deje E y F dos K - espacios normados ( o ), un cono y k un elemento K . K=R{\ Displaystyle K = \ mathbb {R}}VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}VS{\ Displaystyle C}mi{\ Displaystyle E}

Una función diferenciable es positivamente homogénea de grado si y solo si: F:VS→F{\ Displaystyle f: C \ a F}k{\ Displaystyle k}

∀X∈VSDFX(X)=kF(X){\ Displaystyle \ forall x \ in C \ quad \ mathrm {d} f_ {x} (x) = kf (x)}

Notas y referencias

1. Para una demostración en el caso particular (de la cual el caso general se puede deducir mediante el razonamiento componente por componente), ver por ejemplo Jacques Douchet y Bruno Zwahlen, Cálculo diferencial e integral: funciones reales de una o más variables reales , PPUR ,metro=1{\ Displaystyle m = 1}2006( leer en línea ) , pág.  301-302.
2. Para una demostración, vea, por ejemplo, este ejercicio corregido sobre Wikiversity .

Ver también

Bibliografía

(en) Daron Acemoglu , Introducción al crecimiento económico moderno ( leer en línea ) , cap.  2, pág.  29- Este manual solo establece y prueba, bajo el título “  Teorema de Euler  ” , el significado “fácil” del teorema anterior (el “solo si”), y solo para , pero agrega que las derivadas parciales de son entonces positivamente homogéneas en grado . no=2{\ Displaystyle n = 2}F{\ Displaystyle f}k-1{\ Displaystyle k-1}

Enlace externo

"4 funciones homogéneas" (versión del 26 de septiembre de 2007 en Internet Archive )  : curso online sobre funciones homogéneas