Álgebra de tipos finitos

En álgebra conmutativa , la noción de álgebra de tipos finitos es una primera generalización de anillos de polinomios a un número finito de indeterminados. Estas álgebras tienen buenas propiedades relacionadas con el anillo base y buenas propiedades absolutas cuando el anillo base es un campo. Las álgebras de tipo finito sobre un campo son los objetos algebraicos básicos de las variedades algebraicas .

En un campo k , tenga cuidado de no confundir un álgebra de tipo finito con una extensión de tipo finito que nunca es de tipo finito como k -álgebra a menos que sea una extensión finita .

Definición

Si R es un anillo conmutativo , un R- álgebra de tipo finito o un álgebra de tipo finito sobre R es un R - álgebra conmutativa A (es decir, un anillo conmutativo unitario con un morfismo de anillos unitarios R → A ) generado por un número finito de elementos f 1 ,…, f n (es decir, cualquier elemento de A se escribe como P ( f 1 ,…, f n ), donde P ( X 1 ,…, X n ) ∈ R [ X 1 ,…, X n ] es un polinomio). Luego escribimos A = R [ f 1 ,…, f n ]. Este escrito no hace explícitas las posibles relaciones entre los generadores f 1 ,…, f n .

Una R -álgebra es de tipo finito si y sólo si es isomorfa a un cociente de una R [ X 1 ,…, X n ] por un ideal.

Una noción más restrictiva, pero más adecuada para las cuestiones de finitud sobre una base no necesariamente noetheriana, es la de álgebras de presentación finitas; son cocientes de R [ X 1 ,…, X n ] por ideales de tipo finito .

Propiedades elementales

• Cualquier cociente de un álgebra de tipo finito por un ideal es un álgebra de tipo finito.
• Un álgebra de tipo finito de anillo que es en sí mismo un álgebra de tipo finito de R es un número finito de Tipo I .
• Para álgebra S en R , el producto tensor S ⊗ R A es de generación finita sobre S .
• El producto tensorial sobre R de dos álgebras de tipo finito es de tipo finito.
• En general, una localización de un álgebra de tipo finito no es de tipo finito (por ejemplo, el campo de fracciones de k [ X ] no es un álgebra de tipo finito sobre k ).
• Si R es un anillo noetheriano , cualquier álgebra de tipo finito sobre R es noetheriano y tiene una presentación finita.
• Suponga que R = k es un campo y que A es de tipo finito sobre k .
  • Para cualquier ideal máximo m de A , el campo A / m es una extensión finita de k . Este es el teorema del cero de Hilbert .
  • Supongamos además que A se integra. Entonces la dimensión de Krull de A es igual al grado para trascender el campo de fracciones de A en k .
  • Bajo los supuestos anteriores, el cierre integral de A en una extensión finita del cuerpo de Frac fracciones ( A ) es un álgebra de tipo finita sobre k , y se acaba en A .
  • Si f : A → B es un morfismo de tipo finito de k -álgebras, entonces la imagen inversa de un ideal máximo es un ideal máximo.

Referencia

N. Bourbaki , álgebra conmutativa , Masson, 1985, cap. III.1.