En matemáticas , un cuadrado perfecto (un cuadrado si no hay ambigüedad) es el cuadrado de un número entero . Los primeros 70 cuadrados (suite A000290 de la OEIS ) son:
0 2 = 0 | 5 2 = 25 | 10 2 = 100 | 15 2 = 225 | 20 2 = 400 | 25 2 = 625 | 30 2 = 900 | 35 2 = 1225 | 40 2 = 1.600 | 45 2 = 2.025 | 50 2 = 2500 | 55 2 = 3.025 | 60 2 = 3.600 | 65 2 = 4.225 |
1 2 = 1 | 6 2 = 36 | 11 2 = 121 | 16 2 = 256 | 21 2 = 441 | 26 2 = 676 | 31 2 = 961 | 36 2 = 1296 | 41 2 = 1.681 | 46 2 = 2 116 | 51 2 = 2 601 | 56 2 = 3 136 | 61 2 = 3.721 | 66 2 = 4 356 |
2 2 = 4 | 7 2 = 49 | 12 2 = 144 | 17 2 = 289 | 22 2 = 484 | 27 2 = 729 | 32 2 = 1.024 | 37 2 = 1369 | 42 2 = 1,764 | 47 2 = 2 209 | 52 2 = 2 704 | 57 2 = 3249 | 62 2 = 3.844 | 67 2 = 4,489 |
3 2 = 9 | 8 2 = 64 | 13 2 = 169 | 18 2 = 324 | 23 2 = 529 | 28 2 = 784 | 33 2 = 1.089 | 38 2 = 1444 | 43 2 = 1.849 | 48 2 = 2,304 | 53 2 = 2 809 | 58 2 = 3.364 | 63 2 = 3 969 | 68 2 = 4.624 |
4 2 = 16 | 9 2 = 81 | 14 2 = 196 | 19 2 = 361 | 24 2 = 576 | 29 2 = 841 | 34 2 = 1.156 | 39 2 = 1.521 | 44 2 = 1936 | 49 2 = 2 401 | 54 2 = 2 916 | 59 2 = 3481 | 64 2 = 4096 | 69 2 = 4 761 |
En nuestro sistema de numeración habitual, el dígito de las unidades de un cuadrado perfecto solo puede ser 0, 1, 4, 5, 6 o 9. En base doce , necesariamente sería 0, 1, 4 o 9.
Decimos que un entero q es un residuo cuadrático módulo un entero m si existe un entero n tal que:
.Es un concepto muy útil; permite, en particular, mostrar que ciertas ecuaciones diofánticas no admiten una solución. Por ejemplo, con k entero, la ecuación no admite una solución en . De hecho, como los residuos cuadráticos módulo 4 son 0 y 1, un cuadrado perfecto no puede tener un resto igual a 2 en la división euclidiana por 4.
Consideramos una y b no cero enteros naturales .
3. Si a es un cuadrado perfecto, entonces existe un entero m > 0 tal que a = m 2 . Al observar la descomposición de en factores primos, deducimos:, por lo tanto, todos los exponentes en la descomposición de a son pares. Por el contrario, si todos los exponentes en la descomposición de a son pares, entonces a es de la forma .
4. Suponga que pgcd ( a , b ) = 1 y que ab = n 2 donde .
Denote por c = pgcd ( a , n ) . Entonces tenemos:
.Asimismo, b = (pgcd ( b , n )) 2 .
5. Solo fíjate en eso .
6. Según la propiedad 3, a es un cuadrado perfecto si y solo si los exponentes j p en su factorización prima son todos pares, lo que equivale a la desigualdad del producto . Ahora bien, este producto es el número de divisores de a .
7. Cfr. “ Residuos cuadráticos módulo 10 ”.
8. Consulte " Suma de los primeros n cubos ".
Un número cuadrado es un número poligonal (por lo tanto, un entero estrictamente positivo ) que se puede representar geométricamente mediante un cuadrado . Por ejemplo, 9 es un número cuadrado, ya que se puede representar con un cuadrado de 3 × 3 puntos. Los números cuadrados son, por tanto, los cuadrados perfectos distintos de cero , siendo el n- ésimo n 2 .
El producto de dos números cuadrados es un número cuadrado.
La representación del primer número cuadrado es un punto. El del n- ésimo se obtiene bordeando dos lados consecutivos del cuadrado anterior por 2 n - 1 puntos:
1 + 3 = 2 2 = 4
4 + 5 = 3 2 = 9
9 + 7 = 4 2
1 + 3 + 5 + 7 = 4 2
El n- ésimo número cuadrado es, por tanto, la suma de los primeros n números impares : ,
que proporciona un medio práctico de formar una tabla de cuadrados: se escribe en una primera línea los números enteros sucesivos de los que se quiere formar los cuadrados, luego los números impares sucesivos. En una tercera línea, comenzando con 1, cada vez que sumamos el número impar inmediatamente a la derecha y arriba, naturalmente construimos la secuencia de cuadrados perfectos. Esta propiedad también se utiliza para un método de extracción de raíz cuadrada y, aún más prácticamente, para la extracción de raíz cuadrada con un ábaco .
El n- ésimo número cuadrado también es igual a la suma del n- ésimo número triangular y el anterior:
La suma de dos números cuadrados consecutivos es un número cuadrado centrado .
La suma de los primeros n números cuadrados es igual al n- ésimo número de pirámide cuadrada :
Los matemáticos a menudo estaban interesados en algunas curiosidades sobre los números cuadrados. La más conocida, sobre todo por su referencia al teorema de Pitágoras , es la igualdad 3 2 + 4 2 = 5 2 , que da inicio al estudio de las ternas pitagóricas. Según el teorema de Fermat-Wiles , demostrado en 1995, solo los números cuadrados pueden formar una identidad como la de los triples pitagóricos. Por ejemplo, no hay solución para a 3 + b 3 = c 3 con a , b y c enteros distintos de cero.
Cuadrado perfecto en recreomath.qc.ca
<img src="https://fr.wikipedia.org/wiki/Special:CentralAutoLogin/start?type=1x1" alt="" title="" width="1" height="1" style="border: none; position: absolute;">