Teorema de los tres cuadrados

En matemáticas y más precisamente en aritmética modular , el teorema de los tres cuadrados se establece de la siguiente manera:

Un número entero natural, es la suma de tres cuadrados de enteros si (y solo si) es no de la forma 4 j × (8 k - 1) con j y k números enteros.

Historia

N. Beguelin descubrió en 1774 que cada entero positivo que no tiene ni la forma 8 n + 7 ni la forma 4 n , es una suma de 3 cuadrados, sin proporcionar una prueba satisfactoria. Esta afirmación es claramente equivalente a la afirmación (1) anterior, de la cual Adrien-Marie Legendre , en 1797 o 1798, proporciona una prueba defectuosa. En 1801, Carl Friedrich Gauss dio la primera demostración correcta y completa de este teorema, contando incluso las soluciones de escribir un número entero en suma de tres cuadrados, lo que generaliza otro resultado de Legendre, cuya demostración también dejaba que desear.

Con el teorema de Lagrange de cuatro cuadrados (que también es un corolario del teorema de tres cuadrados) y el teorema de los dos cuadrados de Girard , Fermat y Euler , el problema de Waring para k = 2 está completamente resuelto.

Pruebas

El significado "sólo si" de la equivalencia se debe simplemente al hecho de que módulo 8, cada cuadrado es congruente con 0, 1 o 4. Por el contrario , las tres herramientas principales de la demostración, debido a Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet en 1850 y se vuelven clásicos, son

Esta recíproca también se puede deducir del teorema de Davenport-Cassels , que incluso permite demostrar que tan pronto como un número entero es la suma de tres cuadrados de razones lógicas , es la suma de tres cuadrados de números enteros.

Notas y referencias

  1. "  Demostración del teorema de Bachet y análisis de números en triangular y cuadrado  ", Nouvelles Mémoires de l'Académie de Berlin (1774, publ. 1776), p.  312-369 .
  2. (en) Leonard Eugene Dickson , Historia de la teoría de los números  (en) [ ediciones detalladas ], Vuelo. II, pág. 15 (Carnegie Institute of Washington 1919; AMS Chelsea Publ., 1992, reimpresión).
  3. AL Cauchy , “Prueba del teorema general de Fermat sobre números de polígono  ”, Mém. Sci. Matemáticas. Phys. del Institut de France , (1) 14 (1813-1815), p.  177 y siguientes, Obras completas , Serie 2, Volumen 6, p. 320 y siguientes.  : ver p.  323 .
  4. A.-M. Legendre, Ensayo sobre teoría de números , París, An VI (1797-1798), p.  202 y 398-399 .
  5. Dickson , pág.  261, no note las fallas en esta prueba, pero vea el análisis preciso de Carl Friedrich Gauss , Disquisitiones arithmeticae ,1801[ detalle de ediciones ], Adición a los núms. 288-293, [ leer en Wikisource ] y los comentarios de (en) André Weil , Teoría de los números: una aproximación a través de la historia desde Hammurapi hasta Legendre [ detalle de las ediciones ], p. 332 y anteriores en Google Books o (en) Elena Deza y Michel Marie Deza , Figurate Numbers , World Scientific ,2012( leer en línea ) , pág.  314.
  6. Gauss 1801 , art. 291 y 292, [ leer en Wikisource ].
  7. A.-M. Legendre, “  Investigaciones de análisis indeterminado  ”, Hist. y Mem. Acad. Roy. Sci. París , 1785, pág.  465-559  : pág.  514-515 .
  8. Dickson , pág.  261-262.
  9. Véase, por ejemplo vol. I, parte III, cap. 4 por: (de) E. Landau , Vorlesungen über Zahlentheorie , Nueva York, Chelsea, 1927.
  10. (De) G. Lejeune Dirichlet, “  Über die Zerlegbarkeit der Zahlen in drei Quadrate  ” , J. queen angew. Matemáticas. , vol.  40,1850, p.  228-232 ( leer en línea ).
  11. G. Lejeune-Dirichlet, “  Sobre la posibilidad de descomposición de números en tres cuadrados  ”, J. math. pura aplicación (2) , vol.  4,1859, p.  233-240 ( leer en línea ).
  12. En otra demostración, ver por ejemplo (en) N Ankeny  (en) , "  Sumas de tres cuadrados  " , Proc. Amargo. Matemáticas. Soc. , vol.  8, n o  21957, p.  316-319 ( leer en línea ).

Ver también

Artículos relacionados

Bibliografía

André Weil , “  Sobre las sumas de tres y cuatro cuadrados  ”, Educación Matemática , vol.  20,1974, p.  215-222 ( leer en línea )

enlaces externos