Beneficio de sinergia

En microeconomía , el beneficio de la sinergia es una ventaja general adicional que resulta de la decisión de un conjunto de actores de aunar recursos o medios para coordinar acciones con el mismo objetivo.

Los actores pueden ser sectores de actividad de una misma empresa (utilizando recursos comunes), o entidades económicamente distintas que se organizan dentro de una asociación basada en reglas aceptadas por todos.

Cuando los actores desean preservar su independencia económica, se enfrentan a tener que gestionar una mayor complejidad, obligados a definir y aceptar los términos de su colaboración. Los principales problemas se refieren a la caracterización cuantitativa del beneficio de la sinergia y la forma de distribuirlo entre los actores: mal resueltos, estos problemas inducen una inestabilidad de la alianza que naturalmente conduce a su ruptura.

Fusiones comerciales

Cualquier operación de fusión-adquisición de empresas o compra de competidores genera un beneficio de sinergia:

aumentando las habilidades internas,
mediante un uso más racional de los recursos,
reorganizando las actividades (es posible hacerlo mejor después que antes),
a través de economías de escala y menores costos de producción ,
mejorando la posición en los mercados,
etc.

En teoría, la fusión es el enfoque más simple en el sentido de que evita la delicada cuestión de la distribución del beneficio de la sinergia entre los actores ya que al final solo queda uno.

Los cárteles y los cárteles también operan una fuente de sinergia que se realiza plenamente a expensas de otros actores, es decir los clientes.

Compras grupales

Varios pequeños consumidores del mismo tipo de producto agrupan sus demandas individuales para presentar una demanda resultante al mercado. Por ejemplo :

Combustible para calefacción: al realizar un solo pedido, varios propietarios ubicados en un mismo distrito obtienen un precio más atractivo (descuento por cantidad).
Productos financieros: varios pequeños ahorradores colocan sus activos financieros en un fondo de inversión que les permite adquirir juntos una cartera más diversificada, costos de transacción reducidos y una gestión de riesgos centralizada.

Definición de la estabilidad de una distribución

Para caracterizar un método de distribución del beneficio de sinergia obtenido dentro de la alianza de un conjunto de actores, se puede formular un criterio de estabilidad de la siguiente manera:

Definición : un método de distribución es estable si ningún subgrupo de actores tiene un incentivo económico para separarse del todo.

Este criterio se satisface cuando, para cualquier subgrupo dado, el beneficio de sinergia general resultante de solo los miembros del subgrupo no es mayor que la suma de los beneficios que sus miembros obtendrían al permanecer dentro de la alianza inicial. La estabilidad así definida es similar a un óptimo de Pareto local. Sin embargo, la alianza se ve amenazada por la existencia de un subgrupo particular que no satisface esta propiedad.

En particular, para que exista tal método de distribución, es necesario que el beneficio total de la sinergia no aumente cuando un actor abandona la alianza. Esta condición, sin embargo, no implica que la contribución específica de un actor dado sea necesariamente favorable a cada uno de los demás.

Asignación de un recurso limitado

Un conjunto de socios comparte un recurso cuantitativamente limitado de acuerdo con sus respectivas participaciones que se supone que están legalmente establecidas. Por ejemplo :

Conjunto de superficies agrícolas pertenecientes respectivamente a ganaderos.
Un recurso hídrico que se distribuye en cuotas predefinidas entre empresas independientes asegurando respectivamente el consumo público, el riego y la producción hidroeléctrica.

De mutuo acuerdo y con espíritu de colaboración, los socios pueden decidir modificar temporalmente las acciones legales para retirar una renta global superior a la que de otro modo se beneficiarían: este aumento de la renta es el beneficio sinérgico de todos.

Si bien el impacto económico de las nuevas acciones asignadas temporalmente es favorable al conjunto, sin duda no será el caso para todos; Por lo tanto, es fundamental establecer reglas precisas para la compensación de los ingresos individuales para que todos encuentren en última instancia un interés tangible en la operación: estas reglas deben permitir que cada socio se beneficie al menos de los ingresos que obtendría fuera de la alianza, para lo cual s 'agregará una parte del beneficio de sinergia que está relacionado con su propia contribución a este último.

Método de distribución estable

Considere a los actores que comparten un recurso limitado. Supongamos que cada uno de ellos es capaz de desarrollar una función que describa la ventaja (aquí hablaremos de ingresos ) que obtendría una participación (variable) del recurso que tendrían en una alianza, esto durante un período limitado y el lo mismo para todos. Supongamos también que cada actor valida la objetividad de las funciones de los demás. $metro$

Propiedades naturales de las funciones de renta:

Cada% de recurso adicional otorgado a un actor generalmente le trae un aumento en sus ingresos: es una propiedad de crecimiento de la función. Es posible, aunque esto no es muy frecuente, que a partir de una cantidad muy alta de recurso, la función comience a disminuir: "ya es demasiado" y el actor debe pagar para destruir un excedente de recurso. para hacer con.
Por cada% de recurso adicional otorgado a un actor, el aumento de sus ingresos disminuye a medida que aumenta su participación: es una propiedad de la concavidad de la función (la apariencia de la función tiene la forma de un “cuenco volcado”: cualquier segmento cuya los extremos están ubicados en el gráfico está completamente "debajo" del gráfico).

Considere las siguientes notaciones y suposiciones:

${\ Displaystyle {\ hat {p}} _ {i}}$ es la parte contractual del actor entre 0 y 1, $I$
${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ hat {p}} _ {i} = 1}$ indica que todo el recurso está distribuido,
${\ Displaystyle \ Displaystyle f_ {i} (p_ {i})}$ denota la función de ingresos en función de la participación (se desconoce entre 0 y 1), ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i}}$
${\ Displaystyle f_ {i} ({\ hat {p}} _ {i})}$ es el beneficio del actor resultante de su parte contractual. $I$

La maximización del beneficio total se obtiene resolviendo el siguiente problema:

Encuentre las incógnitas satisfactorias que maximizan

{\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i}}

{\ Displaystyle 0 \ leqslant p_ {i} \ leqslant 1}

{\ Displaystyle \ Phi ({\ vec {p}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (p_ {i})}

bajo coacción

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} = 1}

Dado que las partes contractuales son candidatas admisibles, el beneficio total obtenido independientemente por los actores es menor o igual al beneficio máximo , valor definido como el máximo de incumplimiento de las restricciones. ${\ Displaystyle {\ hat {p}} _ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ hat {\ Phi}} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} ({\ hat {p}} _ {i})}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Phi _ {max}}$ ${\ Displaystyle \ Phi ({\ vec {p}})}$

El beneficio general de la sinergia es entonces la diferencia . ${\ Displaystyle \ Phi _ {max} - {\ hat {\ Phi}}}$

El supuesto de concavidad de las funciones permite asegurar que este problema siempre admita solución y que existan métodos sencillos y robustos que permitan determinarlo numéricamente.

Evidencia

Existencia de una solución:

Las funciones de la variable escalar siendo cóncavas, son continuas , al igual que la función definida en el dominio que se caracteriza por las restricciones. al ser un espacio cerrado y compacto , el teorema del límite implica la existencia de un punto que maximiza . ${\ Displaystyle \ Displaystyle f_ {i} (p_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i}}$ ${\ Displaystyle g ({\ vec {p}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (p_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ Omega \ subconjunto \ mathbb {R} ^ {m}}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Omega}$ ${\ Displaystyle g ({\ vec {p}})}$

Características de una solución:

Al introducir un multiplicador de Lagrange , es decir, una variable adicional, el problema de búsqueda máxima se puede formular de la siguiente manera: ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}$

Encuentra el escalar y los que maximizan

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}

{\ Displaystyle 0 \ leqslant p_ {i} \ leqslant 1}

{\ Displaystyle \ Psi (\ lambda, {\ vec {p}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (p_ {i}) + \ lambda (1- \ sum _ { i = 1} ^ {m} p_ {i})}

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}$ corresponde al ingreso marginal de todos los actores en comparación con la cantidad (relativa) del recurso total disponible.

Método para encontrar una solución:

La concavidad de implica que son derivables, excepto en ciertos puntos (cuyo número es como mucho contable) en los que existen derivadas “a la izquierda” y “a la derecha”. ${\ Displaystyle \ Displaystyle f_ {i} (p_ {i})}$

Para simplificar, hagamos caso omiso de estos puntos de singularidad. Por lo tanto, se asume provisionalmente que son diferenciables y estos derivados están disminuyendo. ${\ Displaystyle \ Displaystyle f_ {i} (p_ {i})}$

Finalmente podemos formular el problema de la siguiente manera:

Hallar con el que asociamos el definido por

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}

{\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i}}

${\ Displaystyle \ Displaystyle f '_ {i} (p_ {i}) = \ lambda}$ si , ${\ Displaystyle f '_ {i} (1) \ leqslant \ lambda \ leqslant f' _ {i} (0)}$
${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i} = 0}$ si , ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda> f '_ {i} (0)}$
${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i} = 1}$ si , ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda <f '_ {i} (1)}$

satisfactorio .

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} = 1}

Si existen los puntos de singularidad de las derivadas, con las derivadas a la izquierda (g) y a la derecha (d), se escribe la primera condición

${\ Displaystyle \ Displaystyle f '_ {d, i} (p_ {i}) \ leqslant \ lambda \ leqslant f' _ {g, i} (p_ {i})}$ si . ${\ Displaystyle f '_ {g, i} (1) \ leqslant \ lambda \ leqslant f' _ {d, i} (0)}$

De esta forma, es fácil de resolver el problema mediante la aplicación, por ejemplo, un método de bisección en hasta que se satisfizo la última restricción. En efecto, si aumenta, el (definido por las 3 condiciones que los caracterizan) disminuye y viceversa. ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i}}$

Otra propiedad:

Por construcción, la línea de pendiente que pasa por el punto es una tangente a la curva en este punto. Por concavidad, esta línea se ubica “arriba” de la gráfica de la función. ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle (p_ {i}, \, f_ {i} (p_ {i}))}$

En particular, hay un escalar ( multiplicador de Lagrange de la restricción ) correspondiente al ingreso marginal de todos los actores en comparación con la cantidad de recurso total disponible (si fuera posible aumentar el recurso total en un 1%, entonces el ingreso total de la alianza aumentaría en aproximadamente ). ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} = 1}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle 0.01 \ lambda}$

El siguiente método de distribución es estable en el sentido de la definición dada anteriormente:

En lugar de explotar su parte contractual , el actor recibe la parte que es la solución del problema anterior. En esta etapa, la totalidad del recurso disponible está bien distribuido entre los actores. ${\ Displaystyle {\ hat {p}} _ {i}}$ $I$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i}}$
Para compensar la diferencia en la participación del actor , intercambia con un “bote común” la cantidad que debe pagar si o retirar del bote si . $I$ ${\ Displaystyle M_ {i} = \ lambda (p_ {i} - {\ hat {p}} _ {i})}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle M_ {i}> 0}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle M_ {i} <0}$
Dado que , la suma algebraica de los intercambios con el bote común es cero. ${\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ hat {p}} _ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} p_ {i} = 1}$

Con este método de distribución, la ganancia del actor finalmente alcanza la cantidad $I$

{\ Displaystyle S_ {i} = f_ {i} (p_ {i}) + \ lambda ({\ hat {p}} _ {i} -p_ {i}).}

Comprobamos que este nuevo beneficio no puede ser inferior al beneficio obtenido fuera de la alianza con la parte contractual. Gráficamente, la línea de pendiente que pasa por el punto es una tangente a la curva en este punto. Por concavidad, esta tangente se ubica “arriba” de la gráfica de la función. ${\ Displaystyle f_ {i} ({\ hat {p}} _ {i})}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle (p_ {i}, \, f_ {i} (p_ {i}))}$

El beneficio de la sinergia que se le debe al actor (es decir, su interés económico en participar en la alianza) es entonces la diferencia en ordenadas entre la tangente y la función calculada sobre la abscisa . $I$ ${\ Displaystyle {\ hat {p}} _ {i}}$

Prueba de estabilidad

O un subgrupo de actores y las respectivas participaciones que conducen al máximo beneficio que estos actores pueden obtener por sí solos al poner en común sus participaciones contractuales. Entonces $A$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i} (A)}$

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in A} p_ {i} (A) = \ sum _ {i \ in A} {\ hat {p}} _ {i}}

Por otro lado, tomando la solución de todos los actores, ubicándose la tangente "encima" de la función, se sigue

{\ Displaystyle f_ {i} (p_ {i} (A)) \ leqslant f_ {i} (p_ {i}) + \ lambda (p_ {i} (A) -p_ {i}).}

Al resumir esta relación en , viene $I$ $A$

{\ Displaystyle \ sum _ {i \ in A} f_ {i} (p_ {i} (A)) \ leqslant \ sum _ {i \ in A} [f_ {i} (p_ {i}) + \ lambda ({\ hat {p}} _ {i} -p_ {i})]}

Esta desigualdad indica precisamente que el beneficio máximo que el subgrupo puede obtener internamente (miembro de la izquierda) no supera la suma de los beneficios individuales que obtendrían sus miembros dentro de la alianza global (miembro de la derecha). $A$

Sinergia de financiación

Como se describió anteriormente, la forma en que se asigna un recurso finito se aplica a otras áreas, en particular la de endeudamiento y financiamiento .

Es económicamente natural que cuanto más aumenta la cantidad prestada por un actor (en igualdad de condiciones), más aumenta el costo (o la tasa de interés). A nivel empresarial, el rendimiento esperado de los bonos sigue siendo inferior al de las acciones , y la razón subyacente es la diferente naturaleza de los riesgos en caso de incumplimiento de un emisor.

En otras palabras, cada tramo adicional de endeudamiento debería costar teóricamente un poco más que los tramos anteriores: la tasa marginal está aumentando. Así, la función que, con una cantidad total prestada por un actor, asocia el costo (anual) satisface una propiedad de convexidad .

Con base en esta observación, varios actores pueden considerar una asociación en la que los préstamos estén centralizados, con el fin de lograr un beneficio de sinergia sobre el costo total de capital. El mecanismo de una distribución estable de esta ganancia es en todos los aspectos similar al desarrollado anteriormente: basta con cambiar el signo de la función convexa del costo de capital para obtener una función cóncava de la ganancia.

Este enfoque difiere muy significativamente de una simple combinación de las deudas respectivas y los riesgos asociados: de hecho, cada actor encontrará una ventaja real dentro de la asociación y, sobre todo, no se verá obligado a financiarse a sí mismo en las condiciones promedio del conjunto (que obviamente sería un enfoque totalmente inestable).

Aplicación a las deudas nacionales de los miembros de la UE

Dentro de la UE , las mismas consideraciones permiten afirmar que la suma de los costes de la deuda nacional (contraída aisladamente) supera el coste de la deuda total adquirida de forma centralizada por el BCE en nombre de sus miembros.

Por tanto, existiría un interés tangible en la implementación de un mecanismo de este tipo porque contribuye de manera significativa a resolver el problema de la crisis de la deuda . No aprovechar este beneficio de sinergia equivale simplemente a tomar la misma cantidad de fondos públicos y entregarlos a los mercados financieros.

En este contexto, las bases de una asociación consisten en:

sustituir las deudas nacionales por eurobonos ,
evaluar consensualmente cada uno de los costos específicos de las deudas nacionales (tasas promedio de endeudamiento estimadas según el monto de la deuda),
cuantificar el beneficio de sinergia así generado,
distribuirlo entre todos los miembros de una manera "apropiada".

En la práctica, cada miembro de la UE desarrolla, de acuerdo con los demás, una curva que caracteriza de la forma más objetiva posible el coste anual de una deuda que, en esta etapa, sigue siendo un parámetro. Estas funciones tienen en cuenta muchas características específicas (como el PIB , la capacidad del Estado para cubrir su gasto y las medidas tomadas para lograrlo, tasas de desempleo y crecimiento, fondos públicos del patrimonio, etc.). Aunque la tarea no es fácil, sin duda es más fácil encontrar un compromiso en los perfiles de estas curvas que convencer a los “buenos estudiantes” de que paguen por los demás. $I$ ${\ Displaystyle f_ {i} (d_ {i})}$ $d_ {i}$

A partir de estas funciones y de las deudas reales , se trata de solucionar el siguiente problema: ${\ Displaystyle {\ hat {d}} _ {i}}$

Encuentra las incógnitas que minimizan

{\ Displaystyle d_ {i} \ geqslant 0}

{\ Displaystyle \ Psi ({\ vec {d}}) = \ sum _ {i = 1} ^ {m} f_ {i} (d_ {i})}

bajo coacción

{\ Displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {m} d_ {i} = \ sum _ {i = 1} ^ {m} {\ hat {d}} _ {i}}

En particular, la solución permite evaluar el escalar (multiplicador de Lagrange de la restricción) correspondiente al costo marginal de la función objetivo en comparación con el lado derecho de la restricción. finalmente permite determinar el costo total a pagar por cada miembro por el financiamiento de su propia deuda, es decir ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}$

{\ Displaystyle M_ {i} = f_ {i} (d_ {i}) + \ lambda ({\ hat {d}} _ {i} -d_ {i})}

(cuya suma alcanza el óptimo de la función objetivo . ${\ Displaystyle \ Psi _ {min})}$

Si las funciones corresponden a la percepción de los contratos, el monto debe corresponder al costo real del financiamiento total. Si todavía hay una brecha, las funciones de las extremidades deben adaptarse "uniformemente" para absorber la diferencia. ${\ Displaystyle f_ {i} (d_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ Psi _ {min}}$

En este mecanismo, cada miembro percibe una mayor ventaja a medida que el costo marginal de su propia deuda se desvía del costo marginal del conjunto. Los únicos que obtienen solo un pequeño beneficio son aquellos cuya deuda efectiva se mantiene cercana a la deuda de la solución ( ). El beneficio de la sinergia se distribuye entonces principalmente entre los miembros que contribuyen a ella, es decir, los alumnos “buenos” y “malos”. ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle {\ hat {d}} _ {i} \ simeq d_ {i}}$

Aplicación digital

Los resultados aquí presentados constituyen una simple ilustración digital del mecanismo utilizando datos de publicaciones de la OCDE (año 2011 para el ratio de endeudamiento y año 2010 para el PIB, tipo de cambio admitido 0,707 € / US $).

Las funciones aquí consideradas están particularmente simplificadas: solo tienen en cuenta la relación Deuda / PIB señalada . Si es la función genérica (que se supone válida para cada miembro) que da la tasa de endeudamiento en función de la razón , se escribe el costo anual de la deuda ${\ Displaystyle f_ {i} (d_ {i})}$ $Rhode Island$ ${\ Displaystyle t (r)}$ $r$ $d_ {i}$

{\ Displaystyle f_ {i} (d_ {i}) = d_ {i} \, t (r_ {i}).}

La función común elegida "arbitrariamente" es una función cuadrática definida por los tres puntos (valores hipotéticos) : ${\ Displaystyle t (r)}$ ${\ Displaystyle t (0) = 1 \%, \, t (0.5) = 2 \%, \, t (1) = 5 \%}$

Sobre esta base, la aplicación digital proporciona los siguientes resultados:

Estas tablas muestran los siguientes resultados (que se considerarán aquí como una simple ilustración):

El coste anual total de la financiación de la deuda país por país es de 964.600 millones de euros.
La asociación reduce esta cantidad a 837.200 millones de euros, o un beneficio de sinergia de 127.500 millones de euros (redondeado).
Cada miembro retira una ganancia en la operación (columna en rojo). El beneficio atribuido a un socio aumenta no solo con su tamaño, sino también cuando sus características se desvían de la media: la retribución es favorable a los estudiantes "buenos" y "malos".
Singularmente atípico, la deuda de Grecia se ha reducido en un tercio.
A algunos miembros se les remunera en ocasiones (costes negativos por una deuda positiva en la tabla del medio, como es el caso de Suecia): podemos considerar que se trata de una retribución asociada a una fuerte contribución al beneficio de la sinergia.

Nota: para preservar la homogeneidad de los datos, algunos miembros de la UE no se han tenido en cuenta en el ejemplo porque no forman parte de la OCDE (Bulgaria, Chipre, Letonia, Lituania, Malta y Rumanía).

Elaboración concreta de resultados anteriores:

Partiendo de deudas nominales , el problema es ${\ Displaystyle {\ hat {d}} _ {i}}$

Encuentre el parámetro y las incógnitas que minimizan

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ lambda}

{\ Displaystyle d_ {i} \ geqslant 0}

{\ Displaystyle \ Psi (\ lambda, {\ vec {d}}) = \ sum _ {i} f_ {i} (d_ {i}) + \ lambda (\ sum _ {i} {\ hat {d} } _ {i} - \ sum _ {i} d_ {i}).}

Las condiciones

{\ Displaystyle {\ frac {\ parcial \ Psi} {\ parcial d_ {i}}} = f '_ {i} (d_ {i}) - \ lambda = 0}

y la relación

{\ Displaystyle f '_ {i} (d_ {i}) = t (r_ {i}) + r_ {i} \, t' (r_ {i})}

así implicar

{\ Displaystyle \ lambda = f '_ {i} (d_ {i}) = t (r_ {i}) + r_ {i} \, t' (r_ {i}).}

Con el supuesto de convexidad de , se deduce que todos son iguales a un valor que, por la restricción, solo puede satisfacer ${\ Displaystyle t (r)}$ $Rhode Island$ $r$

{\ Displaystyle r = {\ frac {\ sum _ {i} {\ hat {d}} _ {i}} {\ sum _ {i} PIB_ {i}}}.}

$r$ siendo la relación Deuda / PIB de todos los socios, permite determinar la solución ${\ Displaystyle r_ {i} = r}$

{\ Displaystyle \ lambda = t (r) + r \, t '(r)}

{\ Displaystyle d_ {i} = r \, PIB_ {i}}

entonces la siguiente distribución estable

{\ Displaystyle M_ {i} = f_ {i} (d_ {i}) + \ lambda ({\ hat {d}} _ {i} -d_ {i}).}

Sinergia entre riesgos

En el campo de la gestión de riesgos y los efectos indeseables causados por las amenazas , a menudo existe dentro de un grupo de actores una fuente de sinergia que se explota poco o de manera imperfecta.

Seguro de riesgo

Para hacer frente a los desastres , las compañías de seguros han desarrollado mecanismos de mancomunación de riesgos como incendios, riesgos naturales, salud, responsabilidad civil, etc. Los clientes que firman un contrato de este tipo prefieren pagar una prima anual en lugar de asumir la probabilidad de una pérdida por sí mismos. Por tanto, consideran que se benefician de una parte del beneficio de la sinergia, incluso si parte de esta última permanece en manos del asegurador.

Cabe recordar que el beneficio de la sinergia no se manifiesta aquí en términos de una mejora en la expectativa de ganancia: por el contrario, la expectativa de costo aumenta para quienes contratan una póliza de seguro, aunque solo sea para pagar los márgenes del asegurador. . Por otro lado, el beneficio del cliente se mide por un aumento en su utilidad , o más simplemente por el bienestar que genera su seguridad.

Producto derivado

En el campo de las finanzas , los productos derivados permiten transferir riesgos (relacionados con un cambio en los precios futuros) entre un agente sensible y otro menos vulnerable. De hecho, se trata de una forma específica de cogestión de riesgos mediante la explotación de una sinergia particular entre varios agentes del mercado.

Sinergia entre las incertidumbres de los resultados

Muchas empresas son más o menos vulnerables a determinados fenómenos externos o exógenos que influyen en sus resultados financieros y volatilizan los beneficios; estos peligros tienen simultáneamente un efecto negativo sobre el costo de capital . Para hacer frente a esto, las empresas buscan diversificar sus actividades. En el área de los peligros climáticos, un vendedor de paraguas y un vendedor de protectores solares son un ejemplo académico que, a pesar de su ingenuidad, ilustra bastante bien el problema.

Cuando las empresas experimentan efectos que son esencialmente opuestos entre sí, es obvio que la creación de una asociación trae un beneficio general. Es menos intuitivo comprobar la validez de la afirmación anterior cuando los efectos son estadísticamente independientes , e incluso cuando están correlacionados positivamente, es decir, si tienen una propensión a moverse en la misma dirección.

El interés radica menos en una transferencia de riesgos (típica de los productos derivados) que en una agrupación que conduzca a una mitigación o dilución de los peligros individuales.

Dentro de una asociación, se alienta a los miembros a implementar un mecanismo de compensación de contingencia para regularizar sus respectivos resultados y reducir las fluctuaciones en las ganancias. Por lo tanto, el beneficio de la sinergia no se manifiesta por un aumento en la expectativa de los resultados respectivos, sino por una reducción en sus variabilidades (o sus desviaciones estándar ).

Mecanismo natural

Descripción de un mecanismo particular que, por su modo de distribución, puede calificarse de "natural":

Elección de un período común para todos: son, por ejemplo, los beneficios anuales los que se buscan y, por lo tanto, el proceso de compensación se implementa cada año.
Elección de variables específicas: cada socio determina una variable aleatoria “objetiva” con expectativa cero que explica mejor las diferencias en su beneficio observado ; en otras palabras, la variable se elige de manera que se minimice la desviación estándar de la diferencia, es decir (que requiere una correlación positiva entre las dos variables). $I$ $x_ {i}$ $bi}$ $x_ {i}$ ${\ Displaystyle \ sigma (b_ {i} -x_ {i})}$
Aceptación por parte de todos los socios de las variables elegidas y las modalidades de la distribución final.
Reparto final: al final del período, cuando los logros de las variables son conocidos por todos, los socios explotan un "bote común" en el que cada uno paga (o retira) el monto , luego el saldo del bote (que puede ser negativo) se distribuye finalmente entre todos en proporción a las respectivas desviaciones estándar . ${\ Displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$ $x_ {i}$ ${\ Displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$ ${\ Displaystyle \ sigma (x_ {i})}$

Condiciones prácticas requeridas para la implementación de este mecanismo:

Las variables elegidas deben ser objetivas: sus valores pasados son conocidos por todos y ningún socio debe poder, de ninguna manera, influir en los logros del futuro.
Todos deben poder ver que las expectativas de las variables son cero (basta con restar los valores esperados).
Las desviaciones estándar de cada variable y de la suma deben poder cuantificarse.

Estas condiciones se cumplen cuando las variables elegidas son, por ejemplo, combinaciones de variables meteorológicas cuyos parámetros estadísticos y logros son publicados por los servicios oficiales. También es posible considerar variables que se expresan como funciones de una o más variables: este es un enfoque relevante para un productor agrícola cuya cosecha es sensible tanto al exceso como a la falta de precipitación.

Este mecanismo asegura que todos tengan una reducción en su variabilidad. Más precisamente, la variabilidad inicial de la pareja caracterizada por disminuciones en un cierto factor, la variabilidad final que llega a donde está definida por $I$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ sigma (x_ {i})}$ ${\ Displaystyle F \, \ sigma (x_ {i})}$ $\ displaystyle F$

{\ Displaystyle F = {\ frac {\ sigma (\ sum _ {i} x_ {i})} {\ sum _ {i} \ sigma (x_ {i})}} \ leqslant 1.}

Nota: la desigualdad surge de la desigualdad triangular que se aplica a la desviación estándar. ${\ Displaystyle F \ leqslant 1}$

Justificación

Cada socio "paga" su resultado al bote y "retira" su parte definida por $I$ ${\ Displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$

{\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ frac {\ sigma (x_ {i})} {\ sum _ {j} \ sigma (x_ {j})}} \, \ sum _ {j} {\ bar {x}} _ {j}}

Por tanto, la variabilidad del resultado va de a cuya relación es efectivamente el factor . ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ sigma (x_ {i})}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ sigma (y_ {i})}$ ${\ Displaystyle F \ leqslant 1}$

En la situación particular en la que cada socio retira del bote una cantidad idéntica a la que pagó y finalmente no hay intercambio. Ocurre solo si todas las variables son idénticas excepto por un coeficiente multiplicativo positivo (coeficiente de correlación igual a 1 para cualquier par). En este caso, es obvio que no hay ningún beneficio de sinergia posible sobre la variabilidad, y no se puede obtener ningún beneficio de una asociación. ${\ Displaystyle F = 1}$ $x_ {i}$

Es fácil comprobar que este método de distribución de la olla en proporción a veces puede alentar económicamente a un subgrupo a separarse del todo: la estabilidad del mecanismo natural no está garantizada en todas las situaciones . También es muy común observar la inestabilidad de este mecanismo, sobre todo porque el número de socios es elevado. ${\ Displaystyle \ sigma (x_ {i})}$

Ejemplos de

Ejemplo 1

Considere 3 socios cuyas variables son las mismas excepto por el signo: ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {1} = x_ {2} = - x_ {3} = x}

En la distribución "natural" de la sinergia de riesgos, obtienen un factor ya que ${\ Displaystyle F = 1/3}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ sigma (x_ {i}) = \ sigma (\ sum _ {j} x_ {j}).}

Si los socios 2 y 3 se juntan, obtienen y eliminan cualquier vulnerabilidad al riesgo. ${\ Displaystyle F = 0}$

De hecho, este ejemplo no es específico del mecanismo natural porque, con las variables elegidas, ningún mecanismo de distribución puede ser estable. De hecho, dado que los socios 1 y 3 se oponen perfectamente y anulan sus riesgos, no deberían participar en la distribución del bote; dado que, por simetría, lo mismo ocurre con los socios 2 y 3, se deduce que ningún socio debe participar en el vaciado de la olla, lo cual no es apropiado.

Método de construcción de variables aleatorias

Partiendo de vectores elegidos arbitrariamente en un espacio euclidiano de dimensión finita , es fácil asociarlos con una matriz cuadrada de tamaño cuyos componentes son los productos escalares de dos por dos. Entonces es posible construir un conjunto de variables aleatorias cuya matriz de covarianza es precisamente . Sin entrar en todos los detalles: $metro$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle C}$ $metro$ $metro$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle C}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle C}$ es un semi-positiva definida matriz que diagonaliza en la forma en que es una matriz diagonal cuya diagonal elementos son los valores propios ( ) y donde es una matriz ortogonal cuyas columnas contener los correspondientes vectores propios . ${\ Displaystyle C = OD \, ^ {\ operatorname {t}} \! O}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle D}$ ${\ Displaystyle D_ {kk} \ geqslant 0}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle O}$

Partiendo de variables aleatorias asumidas como independientes, con cero expectativas y varianzas respectivamente iguales , las variables definidas por tienen precisamente como matriz de covarianzas. $metro$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle z_ {k}}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle D_ {kk}}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i} = \ sum _ {k} O_ {ik} \, z_ {k}}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle C}$

Por tanto, es posible proporcionar un ejemplo de variables aleatorias dando vectores y ecualizando los productos escalares y las covarianzas. Sin confundir los conceptos, identificamos las notaciones para los vectores y las variables asociadas. ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$

Ejemplo 2

Consideremos, pues, 3 socios cuyas variables están asociadas a los siguientes vectores:

{\ displaystyle x_ {1} = {\ begin {pmatrix} 3 \\ 4 \ end {pmatrix}}, x_ {2} = {\ begin {pmatrix} 3 \\ - 4 \ end {pmatrix}}, x_ { 3} = {\ begin {pmatrix} 2 \\ 0 \ end {pmatrix}}, x = x_ {1} + x_ {2} + x_ {3} = {\ begin {pmatrix} 8 \\ 0 \ end { pmatrix}}}

Luego lo comprobamos . ${\ Displaystyle \ sigma (x_ {1}) = \ sigma (x_ {2}) = 5, \, \ sigma (x_ {3}) = 2, \, \ sigma (x) = 8,}$ ${\ Displaystyle F = {\ frac {2} {3}}}$

Para los socios 1 y 2, sus ponderaciones en la distribución natural de son ambos iguales a , lo que conduce a la atribución general de una desviación estándar que alcanza mientras que la desviación estándar de la suma es menor desde que alcanza : estos dos socios tienen interés en separe de la 3 rd , el mecanismo de distribución natural es inestable en esta situación. $\ displaystyle x$ ${\ Displaystyle {\ frac {5} {12}}}$ ${\ Displaystyle 8 {\ frac {10} {12}} = {\ frac {20} {3}}}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ sigma (x_ {1} + x_ {2}) = 6}$

Si bien el cálculo anterior sigue siendo un poco laborioso, es simple ver en la situación en la que son del mismo orden de magnitud (pesos iguales) que es suficiente que las variables de dos socios estén casi en oposición para que tengan interés. en retirarse de la asociación. ${\ Displaystyle \ sigma (x_ {i})}$

Mecanismo general

Sin cambiar los principios de su implementación, el mecanismo natural anterior se puede adaptar modificando solo los pesos predefinidos que fijan la distribución del bote entre los socios. Estos pesos solo pueden definirse en función de las características estadísticas de las variables (como es el caso del mecanismo natural). ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$

En una formulación lineal general basada en pesos cuya suma es igual a 1, el proceso permite al socio transformar su desviación realizada en una desviación efectiva definida por ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i}}$ $I$ ${\ Displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i}}$

{\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = p_ {i} \ sum _ {j} {\ bar {x}} _ {j}}

Formulación lineal general

Considere una formulación en la que cada socio , habiendo definido su propia variable de expectativa cero, intercambia con el bote una cantidad (a pagar si> 0, a retirar en caso contrario) definida por $I$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle M_ {i}}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle M_ {i} = \ sum _ {j} A_ {ij} x_ {j}}

donde se va a determinar la matriz . $\ displaystyle A$

Tras una realización , el importe final real en manos del socio será definido por ${\ Displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$ $I$ ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i}}$

{\ displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ bar {x}} _ {i} - {\ bar {M}} _ {i}}

y la variable es de hecho de expectativa cero. ${\ Displaystyle \ Displaystyle y_ {i}}$

La suma de las cantidades intercambiadas con el bote debe ser cero en todos los casos, lo que implica la restricción

{\ Displaystyle \ Displaystyle ^ {\ operatorname {t}} Au = 0}

donde es el vector cuyos componentes son todos idénticos a 1. ${\ Displaystyle \ Displaystyle u}$

Para tener en cuenta los tamaños respectivos de los socios, consideremos ponderaciones (vector por determinar). ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i}> 0}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle p}$

La idea es determinar quién minimiza la función escalar objetiva $\ displaystyle A$

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Phi = \ sum _ {i} {\ frac {\ sigma ^ {2} (y_ {i})} {p_ {i}}}}

bajo coacción . ${\ Displaystyle \ Displaystyle ^ {\ operatorname {t}} Au = 0}$

La solución viene dada por

{\ Displaystyle A = I - {\ frac {p ^ {\ operatorname {t}} u} {^ {\ operatorname {t}} pu}}}

es decir

{\ Displaystyle (IA) _ {ij} = {\ frac {p_ {i}} {\ sum _ {k} p_ {k}}}}

Los elementos de una columna de son los mismos y las columnas son proporcionales entre sí. ${\ Displaystyle \ Displaystyle IA}$

Es notable notar que los elementos de no dependen de la matriz de covarianza de . $\ displaystyle A$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$

En última instancia, el proceso permite al socio transformar su brecha en una brecha definida por $I$ ${\ Displaystyle {\ bar {x}} _ {i}}$ ${\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i}}$

{\ Displaystyle {\ bar {y}} _ {i} = {\ frac {p_ {i}} {\ sum _ {k} p_ {k}}} \ sum _ {j} {\ bar {x}} _ {j}}

El mecanismo natural es simplemente elegir . ${\ Displaystyle p_ {i} = \ sigma (x_ {i})}$

La determinación de pesos requiere el conocimiento de la matriz de covarianza o, de manera equivalente, el conocimiento de la desviación estándar de todas las sumas parciales . ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$

Problema de estabilidad

En el marco del mecanismo general, una cuestión importante es la determinación de una ponderación que garantice la estabilidad del proceso de asignación y, en su caso, la caracterización de las condiciones en las que es posible asegurar la existencia de dicha ponderación.

Para la distribución de un beneficio de sinergia, la cuestión de la estabilidad no se plantea de la misma forma cuando se trata de beneficios o riesgos ; de hecho, el carácter aditivo del primer tipo de sinergia no se verifica en el segundo.

Considere los socios, cada uno de los cuales ha elegido su propia variable . Tenga en cuenta la suma de la cual es la asignación total del bote que se distribuirá entre los socios; observe nuevamente la covarianza de las dos variables. $metro$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$ $\ displaystyle x$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle (x_ {i}, x_ {j})}$

Bajo ciertos supuestos (que de lejos no se respetan en todas las situaciones), la siguiente propiedad proporciona una solución fácil de determinar:

Propiedad : cuando , un peso que conduce a un mecanismo estable viene dado por ${\ Displaystyle (x_ {i}, x) \ geqslant 0 \; \ forall i}$ ${\ Displaystyle p_ {i} = {\ frac {(x_ {i}, x)} {\ sigma ^ {2} (x)}}.}$

Prueba

Supongamos sin restringir la generalidad que : en el caso contrario, el bote es idénticamente cero (porque la expectativa de es cero, como la de ) y los pesos no juegan ningún papel aquí. ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ sigma (x)> 0}$ $\ displaystyle x$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle x_ {i}}$

Así, por hipótesis, existen los indicados, son positivos o cero y de suma igual a 1. ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i}}$

Sea un conjunto de índices correspondientes a un subgrupo. Para demostrar que el subgrupo no tiene ningún interés económico en separarse del todo, basta con verificar que la desviación estándar de su bote sigue siendo mayor que la suma de las desviaciones estándar de los términos que retirarían en el split de todo el bote. utilizando los pesos que se muestran. sí $\ displaystyle A$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i}}$

{\ Displaystyle x_ {A} = \ sum _ {i \ in A} x_ {i}}

es el contenido del subgrupo pot, se trata entonces de mostrar:

{\ Displaystyle \ sigma (x_ {A}) \ geqslant \ sigma (x) \ sum _ {i \ in A} p_ {i}}

Por la desigualdad triangular que se aplica a la desviación estándar:

{\ Displaystyle \ sigma (x) \ sigma (x_ {A}) \ geqslant (x, x_ {A}) = (x, \ sum _ {i \ in A} x_ {i}) = \ sum _ {i \ en A} (x, x_ {i}) = \ sigma ^ {2} (x) \ sum _ {i \ in A} p_ {i}}

Esta propiedad solo se aplica a situaciones donde las respectivas correlaciones entre las variables de los actores y su suma son positivas, por lo que no son las mejores condiciones para generar una alta sinergia entre los riesgos.

En la práctica y para una situación determinada, el proceso de búsqueda de una ponderación operativa se puede resumir de la siguiente manera:

Sí , las pesas no influyen: es una situación ideal que es perfectamente estable. ${\ Displaystyle \ sigma (x) = 0}$
En la situación en la que , la propiedad anterior proporciona un peso estable. ${\ Displaystyle (x_ {i}, x) \ geqslant 0 \; \ forall i}$
Con dos socios, siempre hay una ponderación estable:
- La situación respetando los supuestos del inmueble anterior.
- El caso contrario donde uno de los socios (digamos el primero) satisface y el otro necesariamente : uno luego posa y cuál es una solución estable que trae una ventaja real a cada uno de los dos socios. ${\ Displaystyle \ Displaystyle (x_ {1}, x) <0}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle (x_ {2}, x)> 0}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {1} = 0}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {2} = 1}$
En cualquier situación, es posible formular un problema cuya solución proporcione una ponderación estable cuando existe.

Condiciones para una ponderación estable

La formulación aquí propuesta pasa por la resolución de un problema de programación lineal pero, a diferencia de la propiedad anterior, el resultado no da fórmulas algebraicas a partir de las cuales se puedan calcular explícitamente los pesos de los socios.

Considere los socios, cada uno de los cuales ha elegido su propia variable . Nota: $metro$ $x_ {i}$

{\ Displaystyle \ Displaystyle x = \ sum _ {i} x_ {i}}

y asumir sin restringir la generalidad que . ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ sigma (x)> 0}$

Sea el conjunto de subgrupos no vacíos entre los socios. Para cualquier elemento , denote los escalares de pertenencia igual a 1 si está en , 0 en caso contrario. $\ displaystyle A$ $metro$ $a \ in A$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle v_ {i} (a)}$ $I$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle a}$

Considere el siguiente problema:

Encuentra los pesos que maximizan

{\ Displaystyle p_ {i} \ geqslant 0}

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ Phi = \ sum _ {i} p_ {i}}

bajo las limitaciones

{\ Displaystyle \ sigma (x) \ sum _ {i} v_ {i} (a) p_ {i} \ leqslant \ sigma (\ sum _ {i} v_ {i} (a) x_ {i}) \ quad \ forall a \ in A}

Las restricciones de desigualdad implican que no se anima al subgrupo correspondiente a separarse del conjunto; estas son precisamente las condiciones de estabilidad. $a \ in A$

A pesar de la gran cantidad de restricciones (que alcanza ), este problema siempre admite una solución acotada: ${\ Displaystyle 2 ^ {m} -1}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle p_ {i} = 0}$ es una solución viable;
cuando solo incluye al socio ( solo para esto ), la restricción de desigualdad correspondiente implica y cada peso está acotado; $a \ in A$ $I$ ${\ Displaystyle v_ {i} (a) = 1}$ $I$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ sigma (x) p_ {i} \ leqslant \ sigma (x_ {i})}$
cuando incluye a todos los socios ( para todos ), la restricción de desigualdad correspondiente implica $a \ in A$ ${\ Displaystyle v_ {i} (a) = 1}$ $I$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} \ leqslant 1.}$

En consecuencia :

Si la solución de este problema satisface , caracteriza pesos garantizando estabilidad. ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} = 1}$
Por lo tanto , no hay forma de garantizar una distribución estable. ${\ Displaystyle \ Displaystyle \ sum _ {i} p_ {i} <1}$

Cuando no hay una ponderación estable, la asociación corre el riesgo de colapsar tarde o temprano, independientemente del mecanismo lineal de distribución del bote. Para remediarlo, una solución consiste en buscar otros socios adicionales cuyas variables contribuyan a aumentar la sinergia del conjunto, o incluso posiblemente a excluir a ciertos socios que aportan poco. Otros enfoques posibles solo resuelven imperfectamente el problema de estabilidad:

Distribución jerárquica: extracción de ciertos subgrupos formados por socios que se benefician internamente de una alta sinergia (típicamente subgrupos alentados a abandonar la asociación); cada uno de estos subgrupos establece sus propias reglas de asociación y distribución (estable); cada subgrupo así formado se comporta como un socio dentro de una asociación de nivel superior.
Separación de los socios en dos grupos: el grupo formado por los que satisfacen y el grupo formado por otros. Entonces, los pesos se definen de la siguiente manera: ${\ Displaystyle \ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle (x_ {i}, x) \ geqslant 0}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle b}$

{\ Displaystyle q_ {i} = {\ frac {(x_ {i}, x)} {\ sigma ^ {2} (x)}} \ quad \ forall i \ in a,}

{\ Displaystyle p_ {i} = {\ frac {q_ {i}} {\ sum _ {j \ in a} q_ {j}}} \ quad \ forall i \ in a,}

{\ Displaystyle p_ {i} = 0 \ quad \ forall i \ in b.}

Con estos pesos, la distribución es estable dentro de cada uno de los dos subgrupos. Los únicos problemas se refieren a los incentivos para la separación de un conjunto de socios que pertenecen colectivamente a los dos subgrupos; sin embargo, dado que los socios pertenecientes al grupo pudieron eliminar toda su variabilidad, habría que ofrecerles una ventaja adicional para que acordaran reagruparse con otros socios del grupo .

{\ Displaystyle \ Displaystyle b}

{\ Displaystyle \ Displaystyle a}

Justificación

Dado que la variabilidad de cada socio del grupo es cero, la estabilidad dentro de este grupo está asegurada. ${\ Displaystyle \ Displaystyle b}$

Comprobemos la estabilidad de la distribución dentro del subgrupo : ${\ Displaystyle \ Displaystyle a}$

Definiendo para todo , ${\ Displaystyle q_ {i} = {\ frac {(x_ {i}, x)} {\ sigma ^ {2} (x)}}}$ $I$

{\ Displaystyle \ Displaystyle \ sum _ {i} q_ {i} = 1 \ Rightarrow \ sum _ {j \ in a} q_ {j}> 1 \ Rightarrow p_ {i} \ leqslant q_ {i} \; \ forall i \ in a}

Considere un subgrupo de y denote los escalares de pertenencia igual a 1 si está en , 0 en caso contrario. El finalmente viene $\ displaystyle c$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle a}$ ${\ Displaystyle \ Displaystyle v_ {i} (c)}$ $I$ $\ displaystyle c$

{\ Displaystyle \ sigma (x) \ sum _ {i \ in c} v_ {i} (c) p_ {i} \ leqslant \ sigma (x) \ sum _ {i \ in c} v_ {i} (c ) q_ {i} \ leqslant \ sigma (\ sum _ {i \ in c} v_ {i} (c) x_ {i})}

que corresponde a la condición de estabilidad del subgrupo . $\ displaystyle c$

En la situación todavía inestable presentó como un primer ejemplo para el mecanismo natural, a saber, 3 socios cuyas respectivas variables y el total son los mismos excepto por el signo ( ), la separación en dos grupos implica , , y . Así, el 3 º socio (que es el único para producir una ganancia de sinergia) es libera completamente su variabilidad y los otros dos se reparten el bote igualmente. Parece obvio que esta solución, aunque inestable, sigue siendo la menos riesgosa para la asociación.

x_ {i}

X

{\ Displaystyle x_ {1} = x_ {2} = - x_ {3} = x}

{\ Displaystyle a = \ {1,2 \}}

{\ Displaystyle q_ {1} = q_ {2} = 1}

{\ Displaystyle p_ {3} = 0}

{\ Displaystyle p_ {1} = p_ {2} = 0.5}