Matriz ortogonal

Una matriz cuadrada A ( n filas, n columnas) con coeficientes reales se dice que es ortogonal si t A A = I n , donde t A es la matriz transpuesta de A e I n es la matriz identidad .

Ejemplos de

Ejemplos de matrices ortogonales son matrices de rotación , como el plano de rotación de la matriz de ángulo θ

{\ begin {pmatrix} \ cos \ theta & - \ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}

o matrices de permutación , como

{\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}.

Propiedades

Una matriz real A es ortogonal si y sólo si es invertible y su inversa es igual a su transpuesta: A -1 = t A .
Una matriz cuadrada es ortogonal si y sólo si sus vectores columna son ortogonales de dos por dos y de norma 1. Por tanto, una matriz ortogonal representa una base ortonormal .
Además, una matriz cuadrada es ortogonal si y solo si su transposición es (es decir, en t A = I n ), entonces si y solo si sus vectores de fila son ortogonales de dos a dos y de norma 1.
El determinante de una matriz ortogonal es el cuadrado 1, es decir, es igual a +1 o –1 (lo contrario es trivialmente falso). Se dice que una matriz ortogonal es directa si su determinante es igual a +1 e indirecta si es igual a -1.
El acondicionamiento de una matriz ortogonal es igual a 1.
La multiplicación de un vector por una matriz ortogonal conserva la norma euclidiana (asociada con el producto escalar canónico de R n ) de este vector.
El conjunto de estas matrices es un grupo llamado grupo ortogonal y se denota O ( n , R ). Se interpreta geométricamente como el conjunto de isometrías vectoriales, también llamadas automorfismos ortogonales , del espacio euclidiano R n . Más precisamente, un endomorfismo de un espacio euclidiano es ortogonal si, y solo si, hay una base ortonormal en la que su matriz es ortogonal (y si es así, su matriz en cualquier base ortonormal seguirá siendo ortogonal).
El conjunto de matrices ortogonales directas (con determinante igual a 1) forma un subgrupo del grupo ortogonal, llamado grupo ortogonal especial y denotado SO ( n , R ). En la dimensión 3, se interpreta de forma geométrica como el conjunto de rotaciones del espacio euclidiano R 3 (el eje de rotación viene dado por el subespacio propio asociado al valor propio +1).
Este resultado se generaliza así en cualquier dimensión: cualquier matriz ortogonal es similar , a través de una matriz de pasaje ortogonal, a una matriz de la forma ${\ begin {pmatrix} {\ begin {matrix} R_ {1} && \\ & \ ddots & \\ && R_ {p} \ end {matrix}} & 0 \\ 0 & {\ begin {matrix} \ varepsilon _ {1} && \\ & \ ddots & \\ && \ varepsilon _ {q} \ end {matrix}} \\\ end {pmatrix}},$ donde R i son matrices de rotaciones planas y cada ε j es 1 o –1.
Las matrices ortogonales son matrices unitarias con coeficientes reales.