Matriz definida positiva

En álgebra lineal , la noción de una matriz definida positiva es análoga a la de un número real estrictamente positivo. Una matriz definida positiva es una matriz positiva invertible .

Matriz simétrica real definida positiva

En primer lugar, ya sea una matriz con elementos reales o complejos, observamos: A{\ Displaystyle A}

• AT{\ Displaystyle A ^ {\ mathsf {T}}}la matriz transpuesta de  ;A{\ Displaystyle A}
• A∗{\ Displaystyle A ^ {*}}la matriz transconjugada de (transpuesta conjugada);A{\ Displaystyle A}
• R{\ Displaystyle \ mathbb {R}}el campo de los números reales  ;
• VS{\ Displaystyle \ mathbb {C}}el campo de los números complejos .

Sea M una matriz simétrica real de orden n . Se dice que es positivo definido si es positivo e invertible, en otras palabras, si satisface una de las siguientes cuatro propiedades equivalentes:

1. Para cualquier matriz de columna distinta de cero con n elementos reales, tenemosX{\ displaystyle {\ textbf {x}}}XTMETROX>0{\ displaystyle {\ textbf {x}} ^ {\ mathsf {T}} M {\ textbf {x}}> 0}En otras palabras, la forma cuadrática definida por M es estrictamente positiva para .X≠0{\ Displaystyle \ mathbf {x} \ not = 0}
2. Todos los valores propios de M (que son necesariamente reales) son estrictamente positivos.
3. La forma bilineal simétricaRno×Rno→R,(X,y)↦XTMETROy{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ times \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}, \ quad ({\ textbf {x}}, {\ textbf {y}}) \ mapsto {\ textbf {x}} ^ {\ mathsf {T}} M {\ textbf {y}}}es un producto escalar sobre ℝ n .
4. Existe una matriz invertible tal que M = N T N (en otras palabras: M es congruente con la matriz identidad ).NO∈METROno(R){\ Displaystyle N \ in {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {R})}

Se dice que una matriz simétrica real es definida negativa si su opuesto (también simétrico) es definida positiva.

Ejemplo básico

La caracterización 4 anterior se puede justificar de la siguiente manera:

• Para cualquier matriz cuadrada real N , tal que su núcleo se reduzca al singleton 0, la matriz simétrica N T N es positiva.
• Por el contrario, cualquier matriz real simétrica positiva tiene esta forma (la matriz N no es única; lo es si se impone que ella misma es positiva).
• Ahora, si M = N T N (con N cuadrado), entonces M es invertible si y solo si N lo es.

Muestra que la matriz de Gram de una familia de n vectores de un espacio prehilbertiano (real o complejo) es definida positiva si y solo si la familia es libre . Por ejemplo, cualquier matriz de Hilbert es definida positiva.

Interés de matrices definidas positivas

• Muchos de los problemas más fáciles de resolver numéricamente para resolver sistemas lineales son aquellos cuyas matrices son simétricamente positivas definidas: uno tiene algoritmos numéricamente estables y rápidos para la inversión y la diagonalización de las matrices positivas definidas.
• Cualquier matriz simétrica real positiva está unida por una secuencia de matrices simétricas reales positivas definidas, que es la base de muchos razonamientos por densidad .

Matriz hermitiana definida positiva

Extendemos las propiedades y definiciones anteriores a matrices complejas.

Sea M una matriz cuadrada compleja de orden n . Se dice que es positivo definido si satisface una de las siguientes cuatro propiedades equivalentes:

1. Para cualquier matriz de columna distinta de cero con n elementos complejos, el número complejo es un real estrictamente positivo. z{\ Displaystyle \ {\ textbf {z}}}z∗METROz{\ Displaystyle {\ textbf {z}} ^ {*} M {\ textbf {z}}}
2. M es hermitiano y todos sus valores propios son estrictamente positivos.
3. La forma sesquilíneaVSno×VSno→VS,(X,y)↦X∗METROy{\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n} \ times \ mathbb {C} ^ {n} \ to \ mathbb {C}, \ quad ({\ textbf {x}}, {\ textbf {y}}) \ mapsto {\ textbf {x}} ^ {*} M {\ textbf {y}}}es un producto escalar en (en el sentido: forma hermitiana definida positiva ).VSno{\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}
4. Hay una matriz de reversión como M = N * N .NO∈METROno(VS){\ Displaystyle N \ in {\ mathcal {M}} _ {n} (\ mathbb {C})}

Se dice que M es definida negativa si su opuesto es definida positiva.

Propiedades

• La matriz inversa de una matriz definida positiva es definida positiva.
• Si M es positivo definido y si r es un real estrictamente positivo, entonces rM es positivo definido.
• Si M y N son positivos y uno de los dos es invertible, entonces M + N es positivo definido.
• Una matriz positiva es definida positiva si y solo si su raíz cuadrada positiva es invertible. Esta propiedad se utiliza para la descomposición polar .
• Desigualdad de Hadamard  (en)  : determinante de una matriz definida positiva es menor o igual al producto de sus elementos diagonales.

Criterio de Sylvester

Para una matriz , simétrica real o hermitiana complejo, para ser definida positiva, es necesario y suficiente que las matrices para de 1 a , tienen su estrictamente positivo determinante , en otras palabras, que los principales dominantes menores son estrictamente positivos. A=(aIj)1⩽I,j⩽no{\ Displaystyle A = {\ big (} a_ {ij} {\ big)} _ {1 \ leqslant i, j \ leqslant n}}no{\ Displaystyle n}Apag=(aIj)1⩽I,j⩽pag{\ Displaystyle A_ {p} = {\ big (} a_ {ij} {\ big)} _ {1 \ leqslant i, j \ leqslant p}}pag{\ Displaystyle p}no{\ Displaystyle n}no{\ Displaystyle n}

Observaciones

• Para n = 2, el criterio de Sylvester es esencialmente el criterio de positividad del trinomio cuadrático .
• De manera más general, el índice de una matriz simétrica real es igual al número de cambios de signo en la secuencia de sus principales menores (incluidos ), siempre que todos sean distintos de cero.no+1{\ Displaystyle n + 1}det(A0)=1{\ Displaystyle \ det (A_ {0}) = 1}
• De hecho, en cualquier campo (conmutativo), esta condición de no nulidad de los menores principales es condición necesaria y suficiente para que exista una matriz triangular superior tal que sea ​​diagonal y de rango máximo (basta con adaptar la demostración a continuación) .Q{\ displaystyle Q} QTAQ{\ Displaystyle Q ^ {\ mathsf {T}} AQ}

Prueba. Tenga en cuenta la forma cuadrática asociada con , definida por . q{\ Displaystyle q}A{\ Displaystyle A}q(X)=∑1⩽I,j,⩽noaIjXIXj{\ Displaystyle q (\ mathbf {x}) = \ sum _ {1 \ leqslant i, j, \ leqslant n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j}}

La condición es necesaria. Primero notamos que si es positivo definido, entonces . De hecho, en comparación con una base ortogonal para esta forma cuadrática (existe alguna, de acuerdo con la reducción de Gauss ), la matriz de está escrito ellos todo ser estrictamente positivo. Entonces ( siendo la matriz de paso ), por lo tanto . El resultado sigue, aplicando el mismo razonamiento a la restricción de a subespacios , para . q{\ Displaystyle q}detA>0{\ Displaystyle \ det A> 0}q{\ Displaystyle q}DIagramo(vs1,...,vsno){\ Displaystyle \ mathrm {diag} (c_ {1}, ..., c_ {n})}vsI{\ Displaystyle c_ {i}}vs1...vsno=(detA)(detQ)2{\ Displaystyle c_ {1} ... c_ {n} = (\ det A) (\ det Q) ^ {2}}Q{\ displaystyle Q}detA>0{\ Displaystyle \ det A> 0}q{\ Displaystyle q}Rk×{0}no-k{\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {k} \ times \ {0 \} ^ {nk}}1⩽k⩽no-1{\ Displaystyle 1 \ leqslant k \ leqslant n-1}

Demostremos ahora que la condición es suficiente. Procedemos por inducción sobre la dimensión. Porque esto es obvio ya que en la dimensión 0 el conjunto de vectores distintos de cero está vacío . Suponga que la propiedad es verdadera para y denota . Por hipótesis de inducción, es positivo definido. Además, no es degenerado (porque el determinante de es distinto de cero) por lo tanto no=0{\ Displaystyle n = 0}no-1{\ Displaystyle n-1}mi=Rno-1×{0}{\ Displaystyle E = \ mathbb {R} ^ {n-1} \ times \ {0 \}}q|mi{\ Displaystyle q _ {\ green E}}q{\ Displaystyle q}A{\ Displaystyle A}

Rno=mi⊕mi⊥consol⁡mi⊥=1{\ Displaystyle \, \ mathbb {R} ^ {n} = E \ oplus E ^ {\ perp} \ quad {\ textrm {con}} \ quad \ dim E ^ {\ perp} = 1}

Sea un vector de y no nulo . Entonces y tienen el mismo signo según el mismo argumento que en la primera parte (que implícitamente pone en juego al discriminante ), o por hipótesis y son estrictamente positivos. Entonces , de modo que la restricción de a también sea definida positiva, lo que muestra que es definida positiva. mi{\ Displaystyle e}mi⊥{\ Displaystyle E ^ {\ perp}}a=q(mi){\ Displaystyle a = q (e)}detA{\ Displaystyle \ det A}adetAno-1{\ Displaystyle a \ det A_ {n-1}}detA{\ Displaystyle \ det A}detAno-1{\ Displaystyle \ det A_ {n-1}}a>0{\ Displaystyle a> 0}q{\ Displaystyle q}mi⊥{\ Displaystyle E ^ {\ perp}}q{\ Displaystyle q}

En el caso complejo, más general, la demostración es análoga, considerando la forma hermitiana definida por la matriz.

Otro método es utilizar el teorema de entrelazado de Cauchy .

Notas y referencias

1. Philippe G. Ciarlet , Introducción al análisis y optimización numérica de matrices , Dunod , París, 1998, p.  26 .
2. https://www.labri.fr/perso/zvonkin/Enseignement/CMA/mat-pos.pdf
3. Jean Voedts, curso de Matemáticas, MP-MP * , Elipses , París, 2002 ( ISBN  978-2729806668 ) , p.  634 .
4. (en) Roger A. Horn y Charles R. Johnson, Matrix Analysis , Cambridge University Press ,2013, 2 nd  ed. ( 1 st  ed. 1985), 643  p. ( ISBN  978-0-521-83940-2 , leer en línea ) , pág.  439.

Ver también

• Factorización Cholesky : para cualquier matriz simétrica definida positiva , existe una matriz triangular inferior tal que .A{\ Displaystyle A}L{\ Displaystyle L}A=LLT{\ Displaystyle A = LL ^ {\ mathsf {T}}}
• Complemento de Schur

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