Lista de fractales por dimensión de Hausdorff

Este artículo es una lista de fractales , ordenados por dimensión creciente de Hausdorff .

En matemáticas , un fractal es un espacio métrico cuya dimensión de Hausdorff (indicada δ) es estrictamente mayor que la dimensión topológica . Al menos esta es la definición dada inicialmente por Benoît Mandelbrot , pero rápidamente la reemplazó por una definición más vaga , permitiendo, por ejemplo, incluir la curva de Hilbert .

Fractales deterministas

δ <1

δ (valor exacto)	δ (valor aproximado)	apellido	Dibujo	Observaciones
0 ⇒ por lo tanto, no es un fractal sino un recuento de cajas tenue = 1	0	Numeros racionales		La dimensión de Hausdorff de los conjuntos contables es siempre cero. Estos conjuntos no pueden ser fractales. Agreguemos que la dimensión de "recuento de cajas" de tal conjunto puede ser diferente si es un subconjunto denso de una región abierta de R. El conjunto de números racionales tiene, por tanto, una dimensión de recuento de cajas de "1" porque su cierre es R.
Calculado	0.538	Atractor Feigenbaum		El atractor de Feigenbaum (entre las flechas) es el conjunto de puntos generados por iteraciones sucesivas de la función logística para el parámetro crítico , donde la duplicación de períodos es infinita. Nota: esta dimensión es la misma para cualquier función diferenciable y unimodal. λ∞=3,570{\ Displaystyle \ lambda _ {\ infty} = 3 {,} 570}
Iniciar sesión⁡2Iniciar sesión⁡3{\ Displaystyle {\ frac {\ log 2} {\ log 3}}}	0,6309	Conjunto de cantor		Construido quitando el tercio medio con cada iteración. En ninguna parte densa y de medida nula pero incontable . Generalización  : El conjunto de Cantor generalizado se construye eliminando en cada segmento y en la enésima iteración, el segmento central de longitud . Su dimensión fractal vale entonces y puede tomar todos los valores entre 0 y 1. Se construye con el conjunto de Cantor habitual . γno{\ Displaystyle \ gamma ^ {n}}-1Iniciar sesión2⁡1-γ2{\ Displaystyle - {\ frac {1} {\ log _ {2} {\ frac {1- \ gamma} {2}}}}}γ=1/3{\ Displaystyle \ gamma = 1/3}
Iniciar sesión2⁡φ{\ Displaystyle \ log _ {2} \ varphi}	0,6942	Conjunto Cantor asimétrico		Observe que la dimensión ya no es , ni siquiera (caso simétrico arriba con ). Construido eliminando el segundo trimestre con cada iteración. En ninguna parte densa y de medida cero, pero incontable . 1Iniciar sesión2⁡3{\ Displaystyle {\ frac {1} {\ log _ {2} 3}}}13-Iniciar sesión2⁡3{\ Displaystyle {\ frac {1} {3- \ log _ {2} 3}}}γ=14{\ Displaystyle \ gamma = {\ tfrac {1} {4}}} φ=(1+5)/2{\ Displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}( proporción áurea ).
Iniciar sesión⁡(5)Iniciar sesión⁡(10){\ Displaystyle {\ frac {\ log (5)} {\ log (10)}}}	0,69897	Números reales con decimales pares		Recordando un conjunto de Cantor .
Iniciar sesión⁡(5)Iniciar sesión⁡(9){\ Displaystyle {\ frac {\ log (5)} {\ log (9)}}}	0,7325	Fractal UNU		Fractal autodescriptivo construido por iteraciones sucesivas del siguiente diagrama: u → unu (una “u”) → unuunnunu (una “u”, una “n”, una “u”) → etc.

1 ≤ δ <2

	δ (valor exacto)	δ (valor aproximado)	apellido	Dibujo	Observaciones
	1	1,0000	Conjunto Smith-Volterra-Cantor		Construido por la eliminación de la cuarta y la decimosexta, el 64 º ... central en cada iteración. No es denso en ninguna parte, pero es incontable y tiene la medida de Lebesgue 1/2. Por tanto, tiene dimensión 1.
	2+Iniciar sesión2⁡(1/2)=1{\ Displaystyle 2+ \ log _ {2} (1/2) = 1}	1,0000	Curva de Takagi o Blancmange		Establezca el intervalo de la unidad por , donde está la función "diente de sierra". Caso especial de la curva Takahi-Landsberg: con . La dimensión de Hausdorff es válida . F(X)=∑no=0∞s(2noX)2no{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {s (2 ^ {n} x) \ over 2 ^ {n}}}s(X){\ Displaystyle s (x)}F(X)=∑no=0∞wnos(2noX){\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {w ^ {n} s (2 ^ {n} x)}}w=1/2{\ Displaystyle w = 1/2}2+Iniciar sesión2⁡w{\ Displaystyle 2+ \ log _ {2} w}
	calculado	1.0812	Conjunto de Julia z² + 1/4		Julia estableció para c = 1/4.
	Solución es de2|α|3s+|α|4s=1{\ Displaystyle 2 | \ alpha | ^ {3s} + | \ alpha | ^ {4s} = 1}	1.0933	Rauzy fractal de Límites		Representación geométrica del sistema dinámico asociado con la sustitución Tribonacci: , y . es una de las dos raíces complejas conjugadas de . 1↦12{\ Displaystyle 1 \ mapsto 12}2↦13{\ Displaystyle 2 \ mapsto 13}3↦1{\ Displaystyle 3 \ mapsto 1}α{\ Displaystyle \ alpha}z3-z2-z-1=0{\ Displaystyle z ^ {3} -z ^ {2} -z-1 = 0}
	2Iniciar sesión⁡(3)Iniciar sesión⁡(7){\ Displaystyle 2 {\ frac {\ log (3)} {\ log (7)}}}	1.12915	Isla Gosper		Nombrado por Mandelbrot (1977). Límite de la curva de Gosper .
	Medido ( recuento de cajas )	1.2	Julia establece para c = i (dendrita)		Julia establece para c = i
	3Iniciar sesión⁡(φ)Iniciar sesión⁡(3+132){\ Displaystyle 3 {\ frac {\ log (\ varphi)} {\ log \ left ({\ frac {3 + {\ sqrt {13}}} {2}} \ right)}}}	1.2083	Fractal palabra de Fibonacci a 60 °		Construido a partir de la palabra Fibonacci , con un ángulo de 60 °. Vea también el fractal de la palabra estándar de Fibonacci, a continuación. Con ( proporción áurea ). φ=(1+5)/2{\ Displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}
		1.2107	Frontera domesticada Twindragon		Uno de los seis 2- carpavers regulares (se puede pavimentar con dos copias de sí mismo, del mismo tamaño).
	Iniciar sesión⁡(3)Iniciar sesión⁡(1+2){\ Displaystyle {\ frac {\ log (3)} {\ log (1 + {\ sqrt {2}})}}}	1.2465	Borde fractal palabra fibonacci		Construido a partir de la palabra Fibonacci . Vea también el fractal de la palabra estándar de Fibonacci, a continuación. Con ( proporción áurea ). φ=(1+5)/2{\ Displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}
		1,26	Atractor de Hénon		El mapa canónico de Henon ( a = 1.4 yb = 0.3) tiene δ = 1.261 ± 0.003. Diferentes parámetros conducen a diferentes valores de δ.
	Iniciar sesión3⁡4{\ Displaystyle \ log _ {3} 4}	1.2619	Curva de Koch		Al yuxtaponer esta curva triangular 3 veces, obtenemos el copo de Koch y el copo de anti-Koch si se invierte.
	Iniciar sesión3⁡4{\ Displaystyle \ log _ {3} 4}	1.2619	Borde de la curva de terdragon		L-System  : similar a la curva del dragón con un ángulo de 30 °. El Fudgeflake se construye yuxtaponiendo 3 segmentos iniciales en un triángulo.
	Iniciar sesión3⁡4{\ Displaystyle \ log _ {3} 4}	1.2619	Plaza del cantor		Conjunto Cantor bidimensional.
	calculado	1.2683	Julia configurada para z ²-1		Julia estableció para c = -1.
	Medido (recuento de cajas)	1.3	Fractal de berilo para k = 1		Para k = 1. El fractal Beryl se define por con complejo x y y , c un punto en el plano complejo, y el corte en el planoX0=vs , y0=1 ; Xno+1=k(X+y) , yno+1=Xy-y2{\ Displaystyle x_ {0} = c ~, ~ y_ {0} = 1 ~; ~ x_ {n + 1} = k (x + y) ~, ~ y_ {n + 1} = xy-y ^ {2 }}ν0=1{\ Displaystyle \ nu _ {0} = 1}
	calculado	1.3057	Baderne de Apolonio		Ver
	calculado (recuento de cajas)	1.328	Fractal de inversión de 5 círculos		El conjunto de límites generado iterativamente a través de inversiones con respecto a 5 círculos tangentes. También un badern de Apolonio con 4 círculos básicos. Ver
	calculado	1.3934	Conejo de Douady		Julia estableció para c = -0,123 + 0,745i.
	Medido (recuento de cajas)	1,42 ± 0,02	Fractal de Newton		Triple borde de las cuencas de atracción de las 3 raíces complejas de la ecuación por el método de Newton . z3-1=0{\ Displaystyle z ^ {3} -1 = 0}
	Iniciar sesión3⁡5{\ Displaystyle \ log _ {3} 5}	1,4649	Fractal de Vicsek		Construido sustituyendo iterativamente cada cuadrado con una cruz de 5 cuadrados.
	Iniciar sesión3⁡5{\ Displaystyle \ log _ {3} 5}	1,4649	Curva cuadrática de Koch (tipo 1)		Allí encontramos el patrón de la caja fractal (ver arriba), construido de manera diferente.
	Iniciar sesión4⁡8=32{\ Displaystyle \ log _ {4} 8 = {\ frac {3} {2}}}	1.5000	Curva cuadrática de Koch (tipo 2)		También llamada “salchicha de Minkowski”.
	2-Iniciar sesión2⁡2=32{\ Displaystyle 2- \ log _ {2} {\ sqrt {2}} = {\ frac {3} {2}}} (asumido correcto)	1.5000	una función de Weierstrass  :F(X)=∑k=1∞pecado⁡(2kX)2k{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (2 ^ {k} x)} {{\ sqrt {2}} ^ {k}}} }		La dimensión de Hausdorff de la función de Weierstrass definida por con y está limitada por Se conjetura que este es el valor exacto. El mismo resultado se puede establecer utilizando, en lugar de la función seno, otras funciones periódicas como el coseno. F:[0,1]→R{\ Displaystyle f: [0,1] \ to \ mathbb {R}}F(X)=∑k=1∞pecado⁡(BkX)ak{\ Displaystyle f (x) = \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (b ^ {k} x)} {a ^ {k}}}}1<a<2{\ Displaystyle 1 <a <2}B>1{\ Displaystyle b> 1}2-Iniciar sesión⁡(a)/Iniciar sesión⁡(B).{\ Displaystyle 2- \ log (a) / \ log (b).}
	Iniciar sesión2⁡1+73-6873+73+68733{\ Displaystyle \ log _ {2} {\ frac {1 + {\ sqrt [{3}] {73-6 {\ sqrt {87}}}} + {\ sqrt [{3}] {73 + 6 { \ sqrt {87}}}}} {3}}}	1.5236	Borde curvo dragón		Ver Chang y Zhang.
	Iniciar sesión2⁡1+73-6873+73+68733{\ Displaystyle \ log _ {2} {\ frac {1 + {\ sqrt [{3}] {73-6 {\ sqrt {87}}}} + {\ sqrt [{3}] {73 + 6 { \ sqrt {87}}}}} {3}}}	1.5236	Twindragon frontera		Uno de los seis 2- carpavers regulares (se puede pavimentar con dos copias de sí mismo, del mismo tamaño).
	Iniciar sesión2⁡3{\ Displaystyle \ log _ {2} 3}	1.5849	Árbol con tres ramas		Cada rama tiene tres ramas (aquí 90 ° y 60 °). La dimensión fractal del árbol es la de las ramas terminales.
	Iniciar sesión2⁡3{\ Displaystyle \ log _ {2} 3}	1.5849	Triángulo de Sierpiński		También es el módulo 2 del triángulo de Pascal .
	Iniciar sesión2⁡3{\ Displaystyle \ log _ {2} 3}	1.5849	Punta de flecha curva de Sierpiński		Mismo límite que el triángulo de Sierpiński (arriba), pero obtenido por iteraciones de una curva unidimensional.
	Iniciar sesión2⁡3{\ Displaystyle \ log _ {2} 3}	1.5849	Borde del fractal del corchete  (en) (T-cuadrado)
	Iniciar sesión⁡φIniciar sesión⁡φφ{\ Displaystyle {\ frac {\ log \ varphi} {\ log {\ sqrt [{\ varphi}] {\ varphi}}}}}	1,61803 = φ{\ Displaystyle \ varphi}	un dragón dorado		Construido con dos dilataciones de ratio y , con . La dimensión vale porque . Con ( proporción áurea ). r{\ Displaystyle r}r2{\ Displaystyle r ^ {2}}r=1/φ1/φ{\ Displaystyle r = 1 / \ varphi ^ {1 / \ varphi}}φ{\ Displaystyle \ varphi}(r2)φ+rφ=1{\ Displaystyle ({r ^ {2}}) ^ {\ varphi} + r ^ {\ varphi} = 1}φ=(1+5)/2{\ Displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}
	1+Iniciar sesión3⁡(2){\ Displaystyle 1+ \ log _ {3} (2)}	1.6309	Triángulo de Pascal módulo 3		En general, para un triángulo módulo k, si k es primo, la dimensión fractal es (cf. Stephen Wolfram) 1+Iniciar sesiónk⁡k+12{\ Displaystyle 1+ \ log _ {k} {\ frac {k + 1} {2}}}
	Iniciar sesión3⁡6{\ Displaystyle \ log _ {3} 6}	1.6309	Hexágono de Sierpinski		Construido a la manera de la alfombra de Sierpinski , sobre una red hexagonal, con 6 similitudes de relación 1/3. Notamos la omnipresencia del copo de nieve de Koch .
	3Iniciar sesión⁡φIniciar sesión⁡(1+2){\ Displaystyle 3 {\ frac {\ log \ varphi} {\ log (1 + {\ sqrt {2}})}}}	1.6379	Fractal de la palabra de Fibonacci		Fractal basado en la palabra Fibonacci (o secuencia Conejo) Sloane A005614. Ilustración: Fractal después de F 23 = 28657 segmentos. Con ( proporción áurea ). φ=(1+5)/2{\ Displaystyle \ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}
	Solución de (1/3)s+(1/2)s+(2/3)s=1{\ Displaystyle (1/3) ^ {s} + (1/2) ^ {s} + (2/3) ^ {s} = 1}	1.6402	Atractor de un IFS con 3 similitudes de proporciones 1/3, 1/2 y 2/3		Generalización: Suponiendo la condición de abierto todo satisfecho, el atractor de un sistema de función iterada para relación simulitudes , es dimensión de Hausdorff , solución de la ecuación: . no{\ Displaystyle n}vsno{\ Displaystyle c_ {n}}s{\ Displaystyle s}∑k=1novsks=1{\ Displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} c_ {k} ^ {s} = 1}
	1+Iniciar sesión5⁡(3){\ Displaystyle 1+ \ log _ {5} (3)}	1,6826	Triángulo de Pascal módulo 5		En general, para un triángulo módulo k, si k es primo, la dimensión fractal es (cf. Stephen Wolfram) 1+Iniciar sesiónk⁡k+12{\ Displaystyle 1+ \ log _ {k} {\ frac {k + 1} {2}}}
	Medido (recuento de cajas)	1,7	Atractor de Ikeda		Para los valores de los parámetros a = 1, b = 0.9, k = 0.4 yp = 6 en el sistema iterado de Ikeda . Derivado de un modelado de interacciones de ondas planas en un láser. Los diferentes parámetros dan como resultado diferentes valores. zno+1=a+BznoExp⁡[I[k-pag/(1+⌊zno⌋2)]]{\ Displaystyle z_ {n + 1} = a + bz_ {n} \ exp [i [kp / (1+ \ lfloor z_ {n} \ rfloor ^ {2})]]}
	Iniciar sesión⁡4Iniciar sesión⁡5{\ Displaystyle {\ frac {\ log 4} {\ log {\ sqrt {5}}}}}	1.7227	Fractal de molinete		Construido a partir del molino de viento de pavimentación de John Conway .
	Iniciar sesión3⁡7{\ Displaystyle \ log _ {3} 7}	1,7712	Hexágono de Sierpinski		Construido sustituyendo iterativamente cada hexágono con una hojuela de 7 hexágonos. Su borde es el copo de nieve de Koch. Contiene infinidad de copos de Koch (positivos y negativos).
	log (7) / log (3)	1,7712	Rivera Fractal HI		Comenzando con un cuadrado que divide sus dimensiones en tres partes iguales para formar nueve cuadrados auto-similares con el primer cuadrado, dos cuadrados del medio (el de arriba y el de abajo del cuadrado central) se eliminan en cada uno de los siete cuadrados no eliminados. El proceso se repite, por lo que continúa indefinidamente.
	Iniciar sesión⁡4Iniciar sesión⁡(2(1+porque⁡(85∘)){\ Displaystyle {\ frac {\ log 4} {\ log (2 (1+ \ cos (85 ^ {\ circ}))}}}	1,7848	Curva de Koch de 85 °, fractal Cesàro		La generalización de la curva de Koch basada en un ángulo se elige entre 0 y 90 °. La dimensión fractal es entonces válida . El fractal de Cesàro se basa en este motivo. Iniciar sesión⁡NOIniciar sesión⁡(2(1+porque⁡a)){\ Displaystyle {\ frac {\ log N} {\ log (2 \ left (1+ \ cos a) \ right)}}}
	Iniciar sesión2⁡(30,63+20,63){\ Displaystyle \ log _ {2} (3 ^ {0 {,} 63} + 2 ^ {0 {,} 63})}	1.8272	Un fractal que se refina a sí mismo		Construido iterativamente a partir de una cuadrícula en un cuadrado, con . Su dimensión de Hausdorff es igual a y el número de elementos en la columna k. La dimensión de Minkowski-Bouligand (recuento de cajas) da una fórmula diferente, por lo tanto, un valor a menudo diferente. A diferencia de los fractales auto-similares, la dimensión de Hausdorff de los fractales auto-afines depende de la posición de los elementos iterados y no existe una fórmula simple para el caso general. pag×q{\ Displaystyle p \ times q}pag≤q{\ Displaystyle p \ leq q}Iniciar sesiónpag⁡(∑k=1pagnoka){\ Displaystyle \ log _ {p} \ left (\ sum _ {k = 1} ^ {p} n_ {k} ^ {a} \ right)}a=Iniciar sesión⁡pagIniciar sesión⁡q{\ Displaystyle a = {\ frac {\ log p} {\ log q}}}nok{\ Displaystyle n_ {k}}
	Iniciar sesión⁡(6)Iniciar sesión⁡(1+ϕ){\ Displaystyle {\ frac {\ log (6)} {\ log (1+ \ phi)}}}	1.8617	Flake pentagonal  (en) ( pentaflake)		Construido sustituyendo iterativamente cada pentágono con una laminilla de 6 pentágonos. Aquí está la proporción áurea y valeϕ{\ Displaystyle \ phi}(1+5)/2{\ Displaystyle (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}
	solución de 6(1/3)s+5(1/33)s=1{\ Displaystyle 6 (1/3) ^ {s} +5 {(1/3 {\ sqrt {3}})} ^ {s} = 1}	1.8687	El "árbol de los monos"		Esta curva aparece bajo este nombre en ( Mandelbrot 1982 ). Se basa en 6 dilataciones de ratio 1/3 y 5 dilataciones de ratio . 1/(33){\ Displaystyle 1 / (3 {\ sqrt {3}})}
	Iniciar sesión3⁡8{\ Displaystyle \ log _ {3} 8}	1.8928	Alfombra Sierpiński
	Iniciar sesión3⁡8{\ Displaystyle \ log _ {3} 8}	1.8928	Cubo de Cantor		Conjunto Cantor tridimensional.
	Iniciar sesión3⁡4+Iniciar sesión3⁡2=Iniciar sesión3⁡8{\ Displaystyle \ log _ {3} 4+ \ log _ {3} 2 = \ log _ {3} 8}	1.8928	Producto cartesiano de la curva de von Koch y del conjunto de Cantor		Generalización: Sea F × G el producto cartesiano de dos conjuntos fractales F y G. Entonces dim H (F × G) = dim H (F) + dim H (G) .
	Valorado	1,9340	Borde fractal de Lévy		Estimado por Duvall y Keesling (1999). El propio fractal de Lévy tiene dimensión 2 de Hausdorff.
		1.974	Pavimento de Penrose		Ver Ramachandrarao, Sinha y Sanyal

δ = 2

δ (valor exacto)	δ (valor aproximado)	apellido	Dibujo	Observaciones
2{\ Displaystyle 2}	2	Frontera de conjunto de Mandelbrot		El borde tiene la misma dimensión que el conjunto.
2{\ Displaystyle 2}	2	algunos conjuntos de julia		Para valores determinados de c (en el límite del conjunto de Mandelbrot), el conjunto de Julia tiene dimensión 2.
2{\ Displaystyle 2}	2	Curva de Sierpiński  ( pulg )		Cualquier espacio de llenado de curva tiene una dimensión de Hausdorff δ = 2.
2{\ Displaystyle 2}	2	Curva de Hilbert		Se puede ampliar a tres dimensiones.
2{\ Displaystyle 2}	2	Curva de Peano		y una familia de curvas de construcción similares, incluidas las curvas de Wunderlich .
2{\ Displaystyle 2}	2	Curve Moore  (en)		Se puede ampliar a 3 dimensiones.
2{\ Displaystyle 2}	2	Curva de Lebesgue		A diferencia de las curvas anteriores, esta es diferenciable en casi todas partes . También se ha definido un segundo tipo de curva 2D. Esta curva se puede ampliar en 3D con una dimensión fractal de 3.
Iniciar sesión⁡2Iniciar sesión⁡2{\ Displaystyle {\ frac {\ log 2} {\ log {\ sqrt {2}}}}}	2	Curva de dragón		Su borde tiene una dimensión fractal de 1.5236 (Ver Chang y Zhang)
	2	Curva "Terdragon"		Sistema L  : F → F + FF; ángulo = 120 °.
Iniciar sesión2⁡4{\ Displaystyle \ log _ {2} 4}	2	Curva de Peano-Gosper		Su frontera es la isla Gosper .
Solución de 7(1/3)s+6(1/33)s=1{\ Displaystyle 7 ({1/3}) ^ {s} +6 ({1/3 {\ sqrt {3}}}) ^ {s} = 1}	2	Curva llenando el copo de nieve de Koch		Propuesto por Mandelbrot en 1982, llena el copo de nieve de Koch . Se basa en similitudes de proporción de 7 1/3 y semejanzas de proporción de 6 . 1/33{\ Displaystyle 1/3 {\ sqrt {3}}}
Iniciar sesión2⁡4{\ Displaystyle \ log _ {2} 4}	2	Tetraedro de Sierpinski		Como consecuencia de su dimensión 2, su superficie permanece sin cambios de iteración en iteración, hasta el infinito.
Iniciar sesión2⁡4{\ Displaystyle \ log _ {2} 4}	2	Fractal H  ( pulgadas )		Además, el árbol de Mandelbrot, que tiene una estructura similar.
Iniciar sesión⁡(1/2)Iniciar sesión⁡(1/2){\ Displaystyle {\ frac {\ log (1/2)} {\ log (1 / {\ sqrt {2}})}}}	2	Árbol pitagórico		Cada cuadrado genera dos cuadrados de lado reducidos en 1 / raíz (2).
Iniciar sesión2⁡4{\ Displaystyle \ log _ {2} 4}	2	Fractal cruz griega		Cada segmento es reemplazado por una cruz formada por cuatro segmentos.

2 <δ <3

δ (valor exacto)	δ (valor aproximado)	apellido	Dibujo	Observaciones
Medido	2.01 + -0.01	Atractor de Rössler		La dimensión fractal del atractor de Rössler es ligeramente mayor que 2. Para a = 0.1, b = 0.1 yc = 14 se estima entre 2.01 y 2.02.
Medido	2,06 + -0,01	Atractor extraño de Lorenz		Para los parámetros del atractor: v = 40, = 16 y b = 4. σ{\ Displaystyle \ sigma}
Iniciar sesión2⁡5{\ Displaystyle \ log _ {2} 5}	2.3219	Pirámide fractal		Cada pirámide es reemplazada por 5 pirámides. No debe confundirse con el tetraedro de Sierpinski, son pirámides de base cuadrada.
Iniciar sesión⁡(20)Iniciar sesión⁡(2+ϕ){\ Displaystyle {\ frac {\ log (20)} {\ log (2+ \ phi)}}}	2.3296	Dodecaedro fractal		Cada dodecaedro está sustituido por 20 dodecaedros.
Iniciar sesión3⁡(13){\ Displaystyle \ log _ {3} (13)}	2,33	Superficie de Koch cuadrática tridimensional tipo 1		Extensión tridimensional de la curva cuadrática bidimensional de Koch tipo 1 (la figura ilustra la segunda iteración).
	2,47	Intersticios de las esferas de Apolonio		Baderne de Apolonio en tres dimensiones. Modele el pan rallado o el bizcocho. Dimensión calculada por M. Borkovec, W. De Paris y R. Peikert.
Iniciar sesión4⁡(32){\ Displaystyle \ log _ {4} (32)}	2,50	Superficie de Koch cuadrática tridimensional tipo 2		Extensión tridimensional de la curva cuadrática bidimensional de Koch tipo 2 (la figura ilustra la segunda iteración).
Iniciar sesión3⁡(dieciséis){\ Displaystyle \ log _ {3} (16)}	2.5237	Hipercubo de Cantor	no hay representación posible	Cantor en 4 dimensiones. En general, en un espacio de dimensión n, el conjunto de Cantor tiene una dimensión fractal igual aIniciar sesión3⁡2{\ Displaystyle \ log _ {3} 2}
Iniciar sesión⁡(76-13)Iniciar sesión⁡(2-1){\ Displaystyle {\ frac {\ log ({\ frac {\ sqrt {7}} {6}} - {\ frac {1} {3}})} {\ log ({\ sqrt {2}} - 1 )}}}	2.529	Cubo de Jerusalén		Su relación de homotecia es irracional, vale la pena . Una iteración en un cubo n construye ocho cubos del siguiente rango n + 1 y doce cubos del rango n + 2. Para comparar con la Esponja Menger , cuyo volumen también tiende a cero. 2-1{\ Displaystyle {\ sqrt {2}} - 1}
Iniciar sesión⁡(12)Iniciar sesión⁡(1+ϕ){\ Displaystyle {\ frac {\ log (12)} {\ log (1+ \ phi)}}}	2.5819	Icosaedro fractal		Cada icosaedro se reemplaza por 12 icosaedros.
Iniciar sesión2⁡6{\ Displaystyle \ log _ {2} 6}	2.5849	Octaedro fractal		Cada octaedro se reemplaza por 6 octaedros.
Iniciar sesión2⁡6{\ Displaystyle \ log _ {2} 6}	2.5849	Superficie de Koch		Cada triángulo equilátero se reemplaza por 6 triángulos dos veces más pequeños. Extensión bidimensional de la curva de Koch .
Iniciar sesión2⁡6{\ Displaystyle \ log _ {2} 6}	2,59	Fractal de cruz griega tridimensional		Cada segmento es reemplazado por una cruz tridimensional formada por 6 segmentos. Extensión tridimensional de la cruz bidimensional.
Iniciar sesión⁡(3)Iniciar sesión⁡(3/2){\ Displaystyle {\ frac {\ log (3)} {\ log (3/2)}}}	2.7095	Von Koch en 3D (Delta Fractal)		Parte de un poliedro de 6 caras isósceles que tienen lados de proporción 2: 2: 3. reemplace cada poliedro no tres copias de sí mismo, 2/3 más pequeño.
Iniciar sesión3⁡(20){\ Displaystyle \ log _ {3} (20)}	2.7268	Esponja Menger		Su superficie tiene una dimensión fractal de . Iniciar sesión3⁡(12)≈2,2618{\ Displaystyle \ log _ {3} (12) \ approx 2 {,} 2618}
Iniciar sesión2⁡7{\ Displaystyle \ log _ {2} 7}	2.8073	Heptaedro fractal		Construido con escala de relación de 7 1/2. Sus caras están formadas por triángulos de Sierpinski. Su volumen tiende a cero.

δ = 3

δ (valor exacto)	δ (valor aproximado)	apellido	Dibujo	Observaciones
Iniciar sesión2⁡8{\ Displaystyle \ log _ {2} 8}	3	Curva de Hilbert tridimensional		Curva de Hilbert extendida a tres dimensiones
Iniciar sesión2⁡8{\ Displaystyle \ log _ {2} 8}	3	Curva de Lebesgue tridimensional		Curva de Lebesgue ampliada a tres dimensiones
Iniciar sesión2⁡8{\ Displaystyle \ log _ {2} 8}	3	Curva de Moore  (in) tridimensional		La curva de Moore se extendió a tres dimensiones.
3	3	Mandelbulb		Ampliación del set Mandelbrot (potencia 8) a 3 dimensiones.

Fractales aleatorios y naturales

δ (valor exacto)	δ (valor aproximado)	apellido	Dibujo	Observaciones
1/2	0,5	Ceros de la gráfica de una función browniana ( proceso de Wiener )		Los ceros de la gráfica de una función browniana constituyen un conjunto denso en ninguna parte , de medida de Lebesgue 0, con una estructura fractal.
Solución de con ymi(VS1s+VS2s)=1{\ Displaystyle E (C_ {1} ^ {s} + C_ {2} ^ {s}) = 1}mi(VS1)=0,5{\ Displaystyle E (C_ {1}) = 0.5}mi(VS2)=0,3{\ Displaystyle E (C_ {2}) = 0.3}	0,7499	Conjunto de cantor aleatorio 50% / 30%		En cada iteración, la longitud del intervalo izquierdo se define mediante una variable aleatoria : un porcentaje variable de la longitud del segmento original. Lo mismo ocurre con el intervalo de la derecha, con otra variable aleatoria . Su dimensión de Hausdorff satisfizo entonces la ecuación . ( es la expectativa matemática de ). VS1{\ Displaystyle C_ {1}}VS2{\ Displaystyle C_ {2}}s{\ Displaystyle s}mi(VS1s+VS2s)=1{\ Displaystyle E (C_ {1} ^ {s} + C_ {2} ^ {s}) = 1}mi(X){\ Displaystyle E (X)}X{\ Displaystyle X}
Medido	1.05	Cromosoma humano n o  22		Consulte la referencia para obtener detalles del método de cálculo.
Solución de s+1=12∗2-(s+1)-6∗3-(s+1){\ Displaystyle s + 1 = 12 * 2 ^ {- (s + 1)} - 6 * 3 ^ {- (s + 1)}}	1.144…	Curva de Koch con intervalo aleatorio		La longitud del intervalo mediano es una variable aleatoria distribuida uniformemente en (0; 1/3).
Medido	1,24	Costa de Gran Bretaña		Dimensión fractal de la costa oeste de Gran Bretaña, medida por Lewis Fry Richardson y citada por Benoît Mandelbrot .
Iniciar sesión3⁡4{\ Displaystyle \ log _ {3} 4}	1.2619	Curva de Koch con orientación aleatoria		Introducimos aquí un elemento de azar que no afecta la dimensión eligiendo aleatoriamente, en cada iteración, colocar el triángulo equilátero por encima o por debajo de la curva.
43{\ Displaystyle {\ frac {4} {3}}}	1,33	Frontera de movimiento browniano
43{\ Displaystyle {\ frac {4} {3}}}	1,33	Polímero bidimensional		Similar al movimiento browniano sin auto-intersección.
43{\ Displaystyle {\ frac {4} {3}}}	1,33	Frente percolación , frente a la corrosión de dos dimensiones		Dimensión fractal del frente de percolación por invasión en el umbral de percolación (59,3%). También es la dimensión fractal del frente de corrosión.
	1,40	Agregado de agregados en dos dimensiones		Los agregados se combinan gradualmente en un solo agregado de 1,4 dimensiones.
2-12{\ Displaystyle 2 - {\ frac {1} {2}}}	1,5	Gráfico de una función browniana ( proceso de Wiener )		Gráfico de una función tal que, para cualquier par de reales positivos y , la diferencia de sus imágenes sigue una distribución de varianza gaussiana centrada = . Generalización: Una función browniana fraccionaria de índice sigue la misma definición pero con una varianza = , en este caso, la dimensión de Hausdorff de su gráfico = . F{\ Displaystyle f}X{\ Displaystyle x}X+h{\ Displaystyle x + h}F(X+h)-F(X){\ Displaystyle f (x + h) -f (x)}h{\ Displaystyle h}α{\ Displaystyle \ alpha}h2α{\ Displaystyle h ^ {2 \ alpha}}2-α{\ Displaystyle 2- \ alpha}
Medido	1,52	Costa noruega		Ver Feder.
Medido	1,55	Caminata aleatoria sin intersección		Caminata aleatoria en una red cuadrada sin auto-intersección, con algoritmo de retroceso para evitar callejones sin salida.
53{\ Displaystyle {\ frac {5} {3}}}	1,66	Polímero tridimensional		Similar al movimiento browniano en una red cúbica, pero sin auto-intersección.
	1,70	Agregado de difusión bidimensional		En dos dimensiones, las partículas forman gradualmente por difusión un agregado de dimensión 1,70.
Iniciar sesión3⁡(9∗0,75){\ Displaystyle \ log _ {3} (9 * 0 {,} 75)}	1.7381	Percolación fractal al 75% de probabilidad		El modelo de percolación fractal se construye reemplazando gradualmente cada cuadrado con una cuadrícula de 3x3 en la que se coloca una colección aleatoria de subcuadrados, cada subcuadrado tiene una probabilidad p de ser retenido. La dimensión de Hausdorff "casi segura" es igual . Iniciar sesión3⁡(9pag){\ Displaystyle \ log _ {3} (9p)}
7/4	1,75	Límite de un cúmulo de percolación bidimensional		El límite de un cúmulo de percolación también se puede simular mediante una marcha que genere específicamente el límite o utilizando la evolución Schramm-Loewner  (en) .
9148{\ displaystyle {\ frac {91} {48}}}	1.8958	Heap percolación en dos dimensiones		Por debajo del umbral de percolación (59,3%), el grupo de percolación de invasión cubre una superficie de dimensión fractal 91/48. Más allá del umbral, el cúmulo es infinito y 91/48 se convierte en la dimensión fractal de los "claros".
Iniciar sesión⁡2Iniciar sesión⁡2{\ Displaystyle {\ frac {\ log 2} {\ log {\ sqrt {2}}}}}	2	movimiento browniano		Modelado por caminata aleatoria. La dimensión de Hausdorff permanece igual a 2 en todas las dimensiones mayores o iguales a 2.
Medido	Sobre 2	Distribución de cúmulos de galaxias		Medido a partir de los resultados de la encuesta Sloan Digital Sky Survey de 2005. Ver referencia
Iniciar sesión3⁡(13){\ Displaystyle \ log _ {3} (13)}	2,33	Superficie de coliflor		Cada rama tiene aproximadamente 13 ramas 3 veces más cortas.
	2,4 ± 0,2	Bola de papel arrugada		El diámetro de la bola de papel arrugado, elevado a una potencia no entera entre 2 y 3, es aproximadamente proporcional al área de papel utilizada. Se forman pliegues en todas las escalas.
	2,50	Agregado de difusión tridimensional		En tres dimensiones, las partículas forman gradualmente por difusión un agregado de dimensión 2.5.
	2,50	Figura de Lichtenberg		Las descargas eléctricas arborescentes, conocidas como figuras de Lichtenberg, crecen en forma de difusión por agregación.
3-12{\ Displaystyle 3 - {\ frac {1} {2}}}	2.5	Superficie browniana		Una función , da la altitud de un punto tal que, para dos incrementos positivos y , sigue una distribución de varianza gaussiana centrada = . Generalización: Una superficie browniana de índice fraccional sigue la misma definición pero con una varianza = , en este caso su dimensión de Hausdorff = . F:R2→R{\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}(X,y){\ Displaystyle (x, y)}h{\ Displaystyle h}k{\ Displaystyle k}F(X+h,y+k)-F(X,y){\ Displaystyle f (x + h, y + k) -f (x, y)}h2+k2{\ Displaystyle {\ sqrt {h ^ {2} + k ^ {2}}}}α{\ Displaystyle \ alpha}(h2+k2)α{\ Displaystyle (h ^ {2} + k ^ {2}) ^ {\ alpha}}3-α{\ Displaystyle 3- \ alpha}
Medido	2.52	Percolación de montón 3D		En el umbral de percolación, el grupo de percolación de invasión 3D tiene una dimensión fractal de aproximadamente 2,52.
Medido	2,66	Brócoli
	2,79	Superficie del cerebro humano
	2,88 - 2,97	Superficie del pulmón		La red de alvéolos pulmonares forma una superficie fractal cercana a 3
Calculado	3	Cuerda cuántica		Trayectoria de una cuerda cuántica cuyo punto representativo deriva al azar.

Notas y referencias

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Ver también

Bibliografía

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Artículos relacionados

• Arte fractal
• Teoría constructal
• Compresión fractal
• Xaos

enlaces externos

• (es) "  Fractal  " , en MathWorld
• Otros ejemplos en el sitio de Paul Bourke
• Galería de Soler
• La sección "fractales" de mathcurve.com
• ( fr ) “¿  Estás buscando fractales?  » , En USENET
• 1000fractales.free.fr - Proyecto que reúne fractales hechos con diferentes software
• Una tesis de licencia que trata sobre la dimensión de Hausdorff