Poliedro fractal

Un poliedro fractal es un conjunto de poliedros auto-similares conectados construidos iterativamente a partir de un poliedro inicial.

Construcción de poliedros fractales

Sea un poliedro de orden n, con n vértices señalados . El poliedro fractal asociado se construye aplicando iterativamente a este poliedro un sistema de n homotecias en , de proporción única como: PAG{\ Displaystyle P}SI{\ Displaystyle S_ {i}} HI{\ Displaystyle H_ {i}}R3{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}R{\ Displaystyle R}

• el centro de la homotecia es la parte superior .HI{\ Displaystyle H_ {i}}SI{\ Displaystyle S_ {i}}
• el cociente es el cociente más grande tal que la intersección de dos poliedros de la imagen sea de volumen cero.R{\ Displaystyle R}

Por lo tanto, la relación se determina de modo que el conjunto esté simplemente conectado, las intersecciones se limitan a puntos o bordes.

Definimos de la homotecia una nueva función , también Contratantes en dotado con la distancia de Hausdorff , por la expresión . es un conjunto de n poliedros similares a . HI{\ Displaystyle H_ {i}}H{\ Displaystyle H}R3{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}H(PAG)=⋃I=1noHI(PAG){\ Displaystyle \ scriptstyle {H (P) = \ bigcup _ {i = 1} ^ {n} H_ {i} (P)}}H(PAG){\ Displaystyle H (P)}PAG{\ Displaystyle P}

El teorema del punto fijo asegura la existencia y unicidad de un subconjunto fijo de tal que . Se llama atractor del sistema de funciones iteradas H. En la práctica, F se obtiene como el límite para donde está cualquier compacto , como el poliedro . F{\ Displaystyle F}R3{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ mathbb {R} ^ {3}}}H(F)=F{\ Displaystyle H (F) = F}F{\ Displaystyle F}Hno(F0){\ Displaystyle H ^ {n} (F_ {0})}no→∞{\ Displaystyle n \ to \ infty}F0{\ Displaystyle F_ {0}}PAG{\ Displaystyle P}

Para cada poliedro platónico, con la notable excepción del cubo, al iterar ad infinitum, el conjunto resultante es un conjunto fractal. Para obtener un conjunto conectado, la relación de homotecia requerida para el cubo sería 1/2. Pero el conjunto resultante es el cubo en sí y, por lo tanto, no es fractal.

Poliedros fractales platónicos

Llamamos poliedro fractal platónico a un poliedro fractal resultante de un poliedro convexo regular. El cubo no genera un conjunto fractal de acuerdo con las reglas mencionadas anteriormente.

	fractal tetraedro	Octaedro fractal	Dodecaedro fractal	Icosaedro fractal
Número de homotecia	4	6	20	12
Relación de homotecia	12=0,5{\ Displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {2}} = 0.5}}	12=0,5{\ Displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {2}} = 0.5}}	12+φ≈0,2763{\ Displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {2+ \ varphi}} \ approx 0.2763}}	11+φ≈0,3819{\ Displaystyle \ textstyle {{\ frac {1} {1+ \ varphi}} \ approx 0.3819}}
Dimensión fractal	en⁡(4)en⁡(2)=2{\ Displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (4)} {\ ln (2)}} = 2}}	en⁡(6)en⁡(2)≈2,5849{\ Displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (6)} {\ ln (2)}} \ approx 2,5849}}	en⁡(20)en⁡(2+φ)≈2,3296{\ Displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (20)} {\ ln (2+ \ varphi)}} \ approx 2,3296}}	en⁡(12)en⁡(1+φ)≈2,5819{\ Displaystyle \ textstyle {{\ frac {\ ln (12)} {\ ln (1+ \ varphi)}} \ approx 2,5819}}

Tetraedro fractal o tetraedro de Sierpinski

El fractal tetraedro es una extensión natural de la 3 ª  dimensión del triángulo de Sierpinski . Tiene la particularidad de tener por dimensión 2. En consecuencia, su superficie no varía de una iteración a otra. En el infinito, su superficie es idéntica a la del tetraedro original.

	Volumen	Área
En la iteración n	23∗2no+2a3{\ Displaystyle {\ frac {\ sqrt {2}} {3 * 2 ^ {n + 2}}} a ^ {3}}	3a2{\ Displaystyle {\ sqrt {3}} a ^ {2}}
% de variación entre dos iteraciones	-50%{\ Displaystyle -50 \%}	0%{\ Displaystyle 0 \%}
Al infinito	NOtul{\ displaystyle Nul}	3a2{\ Displaystyle {\ sqrt {3}} a ^ {2}}

con = longitud del borde del poliedro original. a{\ Displaystyle a}

Octaedro fractal

El octaedro fractal es el poliedro fractal cuyo volumen disminuye más lentamente de una iteración a la siguiente.

La intersección de dos poliedros de imágenes vecinos es un borde y no un vértice.

Cada cara es un triángulo de Sierpinski.

En definitiva, su superficie infinita envuelve un volumen cero.

	Volumen	Área
En la iteración n	3no-1222noa3{\ Displaystyle {\ frac {3 ^ {n-1} {\ sqrt {2}}} {2 ^ {2n}}} a ^ {3}}	3no32no-1a2{\ Displaystyle {\ frac {{3 ^ {n}} {\ sqrt {3}}} {2 ^ {n-1}}} a ^ {2}}
% de variación entre dos iteraciones	-25%{\ Displaystyle -25 \%}	+50%{\ Displaystyle +50 \%}
Al infinito	NOtul{\ displaystyle Nul}	∞{\ Displaystyle \ infty}

con = longitud del borde del poliedro original. a{\ Displaystyle a}

Dodecaedro fractal

El dodecaedro fractal es el poliedro fractal platónico cuyo volumen disminuye más rápidamente de una iteración a la siguiente.

En definitiva, su superficie infinita envuelve un volumen cero.

	Volumen	Área
En la iteración n	20no(2+7φ/2)(2+φ)3noa3{\ Displaystyle {\ frac {20 ^ {n} (2 + 7 \ varphi / 2)} {(2+ \ varphi) ^ {3n}}} a ^ {3}}	3∗20no5(3+4φ)(2+φ)2noa2{\ Displaystyle {\ frac {3 * 20 ^ {n} {\ sqrt {5 (3 + 4 \ varphi)}}} {(2+ \ varphi) ^ {2n}}} a ^ {2}}
% de variación entre dos iteraciones	-57,7%{\ Displaystyle -57,7 \%}	+53,8%{\ Displaystyle +53,8 \%}
Al infinito	NOtul{\ displaystyle Nul}	∞{\ Displaystyle \ infty}

con = longitud del borde del poliedro original y , la proporción áurea . a{\ Displaystyle a}φ=(1+5)/2{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}}

Icosaedro fractal

El icosaedro fractal es el poliedro fractal platónico cuyo área aumenta más rápido de una iteración a la siguiente.

En definitiva, su superficie infinita envuelve un volumen cero.

	Volumen	Área
En la iteración n	5∗12no6(1+φ)3no-1a3{\ Displaystyle {\ frac {5 * 12 ^ {n}} {6 (1+ \ varphi) ^ {3n-1}}} a ^ {3}}	5∗12no3(1+φ)2noa2{\ Displaystyle {\ frac {5 * 12 ^ {n} {\ sqrt {3}}} {(1+ \ varphi) ^ {2n}}} a ^ {2}}
% de variación entre dos iteraciones	-33,1%{\ Displaystyle -33,1 \%}	+75,1%{\ Displaystyle +75,1 \%}
Al infinito	NOtul{\ displaystyle Nul}	∞{\ Displaystyle \ infty}

con = longitud del borde del poliedro original y , la proporción áurea . a{\ Displaystyle a}φ=(1+5)/2{\ Displaystyle \ scriptstyle {\ varphi = (1 + {\ sqrt {5}}) / 2}}

Generalización

Podemos generalizar la construcción e ignorar la propiedad de conectividad permitiéndonos una relación estrictamente más baja que el valor crítico.

En este caso, el conjunto de resultados ya no está conectado y ya no podemos hablar de un poliedro.

Por ejemplo, el cubo al que le aplicamos una relación de homotetía conduce a un conjunto disjunto que, por su parte, es fractal y tiene por dimensión . Se llama Cubo de Cantor . R=1/3{\ Displaystyle R = 1/3}lno(8)/lno(3)=1,8928{\ Displaystyle ln (8) / ln (3) = 1.8928}

Ver también

• Fractal
• Lista de fractales por dimensión de Hausdorff

enlaces externos

• Tetraedros fractales platónicos en el sitio de Paul Bourke

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