Fractal rauzy

El Rauzy fractal (o masculino, "el fractal Rauzy") es una figura fractal asociada con la sustitución Tribonacci: , , . Este estudio fue realizado en 1981 por Gérard Rauzy , con el objetivo de generalizar las propiedades dinámicas de la sustitución de Fibonacci . Este fractal se generaliza a otras sustituciones de tres letras, generando otras figuras con propiedades interesantes (mosaico periódico del plano, auto-semejanza en 3 partes homotéticas, etc.). s(1)=12{\ Displaystyle s (1) = 12}s(2)=13{\ Displaystyle s (2) = 13}s(3)=1{\ Displaystyle s (3) = 1}

Definiciones

La palabra infinito Tribonacci se construye de acuerdo con la dicha sustitución Tribonacci: , , . De 1, las sucesivas palabras de Tribonacci son por tanto: s(1)=12{\ Displaystyle s (1) = 12}s(2)=13{\ Displaystyle s (2) = 13}s(3)=1{\ Displaystyle s (3) = 1}

• t0=1{\ Displaystyle t_ {0} = 1}
• t1=12{\ Displaystyle t_ {1} = 12}
• t2=1213{\ Displaystyle t_ {2} = 1213}
• t3=1213121{\ Displaystyle t_ {3} = 1213121}
• t4=1213121121312{\ Displaystyle t_ {4} = 1213121121312}

Muestra eso para , de ahí el nombre " Tribonacci ". no>2{\ Displaystyle n> 2}tno=tno-1tno-2tno-3{\ Displaystyle t_ {n} = t_ {n-1} t_ {n-2} t_ {n-3}}

Consideremos ahora el espacio provisto de un marco de referencia ortonormal. El fractal de Rauzy se construye de la siguiente manera: R3{\ Displaystyle R ^ {3}}

1) Interprete la secuencia de letras de la palabra infinita de Tribonacci como una secuencia de vectores unitarios del espacio según la regla: (1 = dirección x, 2 = dirección y, 3 = dirección z).

2) Luego construya una "escalera" trazando los puntos alcanzados por esta secuencia de vectores. Por ejemplo, los primeros puntos son:

• 1⇒(1,0,0){\ Displaystyle 1 \ Rightarrow (1,0,0)}
• 2⇒(1,1,0){\ Displaystyle 2 \ Rightarrow (1,1,0)}
• 1⇒(2,1,0){\ Displaystyle 1 \ Rightarrow (2,1,0)}
• 3⇒(2,1,1){\ Displaystyle 3 \ Rightarrow (2,1,1)}
• 1⇒(3,1,1){\ Displaystyle 1 \ Rightarrow (3,1,1)}

etc. Cada punto se puede colorear de acuerdo con el valor de la letra correspondiente para resaltar la auto-semejanza.

3) Luego proyecte estos puntos sobre el espacio de contracción (plano ortogonal a la dirección general de propagación de estos puntos, ninguno de los puntos proyectados escapa al infinito). El fractal Rauzy es el cierre de este conjunto.

Propiedades

• Puede ser cubierto con tres copias de sí mismo, la reducción de los factores , y con la solución : .k{\ Displaystyle k}k2{\ Displaystyle k ^ {2}}k3{\ Displaystyle k ^ {3}}k{\ Displaystyle k}k3+k2+k-1=0{\ Displaystyle k ^ {3} + k ^ {2} + k-1 = 0}k=13(-1-217+3333+17+3333)=0.54368901269207636{\ Displaystyle \ scriptstyle {k = {\ frac {1} {3}} (- 1 - {\ frac {2} {\ sqrt [{3}] {17 + 3 {\ sqrt {33}}}}} + {\ sqrt [{3}] {17 + 3 {\ sqrt {33}}}}) = 0.54368901269207636}}
• Estable por intercambio de piezas. Obtenemos la misma figura cambiando las tres copias de lugar.
• Relacionados y simplemente relacionados. No tiene agujero.
• Pavimentación periódica por traslación: Puede pavimentar el plano por traslación, periódicamente.
• La matriz de sustitución de Tribonacci tiene como polinomio característico , siendo sus valores propios un número real , llamado constante de Tribonacci , número de Pisot y dos complejos conjugados y con .X3-X2-X-1{\ Displaystyle x ^ {3} -x ^ {2} -x-1}β=1,8392{\ Displaystyle \ beta = 1.8392}α{\ Displaystyle \ alpha}α¯{\ displaystyle {\ bar {\ alpha}}}αα¯=1/β{\ Displaystyle \ alpha {\ bar {\ alpha}} = 1 / \ beta}
• Su límite es fractal y la dimensión de Hausdorff de este límite es igual a 1.0933 (solución de ).2|α|3s+|α|4s=1{\ Displaystyle 2 | \ alpha | ^ {3s} + | \ alpha | ^ {4s} = 1}

Variantes y generalización

Para cualquier sustitución del tipo Pisot y unimodular, que verifique, además, una condición particular llamada coincidencia (siempre verificada, al parecer), podemos construir un conjunto del mismo tipo llamado fractal Rauzy de la sustitución . Todos son auto-similares y generan, para los ejemplos siguientes, un mosaico periódico del espacio.

• s (1) = 12, s (2) = 31, s (3) = 1

• s (1) = 12, s (2) = 23, s (3) = 312

• s (1) = 123, s (2) = 1, s (3) = 31

• s (1) = 123, s (2) = 1, s (3) = 1132

Referencias y bibliografía

1. G. Rauzy, Números algebraicos y sustituciones, Boletín de la Sociedad Matemática de Francia, 110: 147-178, 1982
2. A. Messaoudi, Rauzy Fractal Frontier and Complex Number System, Acta Arithmetica, 2000

Ver también

• Lista de fractales
• Suite Tribonacci

enlaces externos

• Fractal Rauzy, introducción y propiedades, por Anne Siegel
• Propiedades topológicas de los fractales de Rauzy
• Geometría de sustituciones, Pierre Arnoux y Anne Siegel, 2004