Curva de dragón

La curva del dragón (o "  fractal de dragón  " o "  curva de Heighway  " o "  dragón de Heighway  ") fue estudiada por primera vez por los físicos de la NASA John Heighway, Bruce Banks y William Harter. Fue descrito por Martin Gardner en su columna de juegos matemáticos Scientific American en 1967. Muchas de sus propiedades han sido publicadas por Chandler Davis  (en) y Donald Knuth . Apareció en la novela Jurassic Park de Michael Crichton .

Construcción

Sistema L

La curva puede ser construida por L-System con:

• Ángulo de 90 °
• semilla FX
• reglas :
  • X X + YF +↦{\ Displaystyle \ mapsto}
  • Y -FX-Y↦{\ Displaystyle \ mapsto}

Lo que se traduce simplemente de la siguiente manera: a partir de un segmento base; luego, siguiendo la curva, reemplace cada segmento con dos segmentos en ángulo recto girando 45 ° alternativamente a la derecha y luego a la izquierda:

Sistema de funciones iteradas

La curva del dragón es también el conjunto límite del siguiente sistema de funciones iteradas , en el plano complejo:

F1(z)=(1+I)z2{\ Displaystyle f_ {1} (z) = {\ frac {(1 + i) z} {2}}} F2(z)=1-(1-I)z2{\ Displaystyle f_ {2} (z) = 1 - {\ frac {(1-i) z} {2}}}

(con el conjunto inicial de puntos ). S0={0;1}{\ Displaystyle S_ {0} = \ {0; 1 \}}

o de nuevo, en coordenadas cartesianas (representación más utilizada en software como Apophysis  (en) ):

F1(X,y)=12(porque⁡45∘-pecado⁡45∘pecado⁡45∘porque⁡45∘)(Xy){\ Displaystyle f_ {1} (x, y) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} \ cos 45 ^ {\ circ} & - \ sin 45 ^ {\ circ } \\\ sin 45 ^ {\ circ} & \ cos 45 ^ {\ circ} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}}} F2(X,y)=12(porque⁡135∘-pecado⁡135∘pecado⁡135∘porque⁡135∘)(Xy)+(10).{\ Displaystyle f_ {2} (x, y) = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ begin {pmatrix} \ cos 135 ^ {\ circ} & - \ sin 135 ^ {\ circ } \\\ sin 135 ^ {\ circ} & \ cos 135 ^ {\ circ} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} x \\ y \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}}.}

Plegable

Seguir una iteración de la curva del dragón revela una serie de rotaciones de 90 ° hacia la derecha o hacia la izquierda. Para las primeras iteraciones, la secuencia de "derecha" (D) e "izquierda" (G) es la siguiente:

1 st iteración: D 2 ª iteración: D D G 3 º iteración: D D G A D G G 4 º iteración: D D G D D G G D D D G G D G G

Empíricamente, podemos observar la siguiente regla de construcción: podemos construir la siguiente iteración tomando la iteración actual, agregando una D, luego agregando la iteración actual invertida e invirtiendo D y G.

Este diagrama sugiere el siguiente método de modelado de plegado: tome una tira de papel y dóblela por la mitad desde la derecha. Vuelve a doblarlo por la derecha y repite la operación tantas veces como sea posible. Desdobla la tira manteniendo los pliegues a 90 °. Aparece la curva del dragón.

Este patrón también proporciona un método para determinar la dirección de la enésima rotación en la secuencia. Escribe "n" en la forma k 2 m donde k es un número impar. La dirección de la enésima rotación está determinada por k módulo 4 (resto de la división de k por 4). Si el resto es igual a 1, entonces la enésima rotación es "derecha", de lo contrario "izquierda".

Propiedades de la curva del dragón

Dimensiones

• A pesar de su apariencia irregular, la curva del dragón se ajusta a proporciones simples. Estos resultados se pueden deducir de su método de construcción.

• Su superficie vale ½ (considerando que el segmento base tiene una longitud de 1). Este resultado se deduce de sus propiedades de pavimentación.
• Su borde tiene una longitud infinita.
• La curva nunca se cruza.
• La curva del dragón revela una serie de auto-semejanzas. Lo más visible es la repetición del mismo patrón después de girar 45 ° y reducir √ 2 .

• Su dimensión de Hausdorff se puede calcular: en cada iteración, el número de segmentos se duplica con un factor de reducción de √ 2 . Por tanto, la dimensión de Hausdorff es válida . Por tanto, esta curva cubre el plano.Iniciar sesión⁡2Iniciar sesión⁡2=2{\ Displaystyle {\ frac {\ log 2} {\ log {\ sqrt {2}}}} = 2}
• Su límite es un fractal cuya dimensión de Hausdorff es 1,5236 (calculada por Chang y Zhang).Iniciar sesión2⁡(1+73-6873+73+68733)≈{\ Displaystyle \ log _ {2} \ left ({\ frac {1 + {\ sqrt [{3}] {73-6 {\ sqrt {87}}}} + {\ sqrt [{3}] {73 +6 {\ sqrt {87}}}}} {3}} \ derecha) \ approx}

Pavimentación

• La curva del dragón puede pavimentar el avión de múltiples formas (ver recuadro).

• 1 st  elemento 4 de pavimentación por curvas

• 2 e  elemento de pavimentación 4 por curvas

• 3 e  elemento de pavimentación 4 por curvas

• La curva del dragón puede pavimentarse sola.

• 1 st  elemento de pavimentación 2 Curve

• 2 e  elemento de pavimentación 2 Curve (dragón gemelo)

• 3 e  elemento de pavimento 2 Curva

• Un ejemplo de teselación del plan.

• Otro ejemplo de teselación del plan.

• Otro ejemplo de teselación del plan.

• Las curvas de tamaño creciente (proporción de raíces (2)) forman una espiral infinita. 4 de estas espirales, dispuestas a 90 °, pavimentan el plano.

Variantes de la curva del dragón

Twindragon

El Twindragon (verbatim "dragón gemelo", también conocido como el dragón Davis-Knuth ) es una variación de la curva de dragón que se puede construir mediante la colocación de dos dragones espalda con espalda. Esta curva es el límite del siguiente IFS:

F1(z)=(1+I)z2{\ Displaystyle f_ {1} (z) = {\ frac {(1 + i) z} {2}}} F2(z)=(1+I)z+1-I2{\ Displaystyle f_ {2} (z) = {\ frac {(1 + i) z + 1-i} {2}}}.

Terdragon

El terdragon se puede construir a partir del siguiente sistema L:

• ángulo 120 °
• semilla F
• regla: F F + FF↦{\ Displaystyle \ mapsto}

Este es también el límite de las siguientes IFS:

F1(z)=λz {\ Displaystyle f_ {1} (z) = \ lambda z ~} F2(z)=I3z+λ{\ Displaystyle f_ {2} (z) = {\ frac {i} {\ sqrt {3}}} z + \ lambda} F3(z)=λz+λ∗ {\ Displaystyle f_ {3} (z) = \ lambda z + \ lambda ^ {*} ~} otu'' λ=12-I23 y λ∗=12+I23.{\ Displaystyle \ mathrm {o {\ grave {u}} ~} \ lambda = {\ frac {1} {2}} - {\ frac {i} {2 {\ sqrt {3}}}} {\ mbox {y}} \ lambda ^ {*} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {i} {2 {\ sqrt {3}}}}.}

Otro

Genoma humano

Según Jean-Claude Perez (investigador multidisciplinario independiente), las poblaciones de los mil millones de codones triplete de todo el genoma humano están organizadas según la curva del dragón.

Notas y referencias

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Dragon curve  " ( ver la lista de autores ) .

1. (in) Angel Chang y Tianrong Zhang, "  Sobre la estructura fractal de la curva límite del dragón  " .
2. (in) AD Perez, "  Codon Populations in Single-Stranded DNA Whole Human Genome Are Fractal and Fine-Tuned by the Golden Ratio 1.618  " en Ciencias interdisciplinarias, ciencias de la vida computacionales , en septiembre de 2010 ( PMID  20658335 , consultado el 26 de mayo de 2020 )

Ver también

Artículo relacionado

Lista de fractales por dimensión de Hausdorff

enlaces externos

• (en) Eric W. Weisstein , "  Dragon Curve  " , en MathWorld
• (es) El plegado de papel y la curva del dragón
• Curva de dragón en Flash

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