Mandelbulb

Un Mandelbulb resultado del intento de crear un conjunto de Mandelbrot en tres dimensiones , sin ser un fractal como éste. La posibilidad de obtener un conjunto de Mandelbrot tridimensional sigue siendo incierta.

La idea de su realización ha ocupado las mentes desde 2007, pero a finales de 2009, Daniel White y Paul Nylander construyeron un Mandelbulb, un análogo tridimensional del conjunto de Mandelbrot, utilizando un álgebra de números hipercomplejos y de transformaciones escritas en coordenadas esféricas . White y Nylander dan la siguiente fórmula:

$\ langle x, y, z \ rangle ^ n = r ^ n \ langle \ cos (n \ theta) \ cos (n \ phi), \ sin (n \ theta) \ cos (n \ phi), \ sin ( n \ phi) \ rangle$

$\ begin {cases} r & = \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2} \\ \ theta & = \ arctan (y / x) \\ {\ rm y \} \ phi & = \ arctan (z / \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2}) = \ arcsin (z / r). \ end {cases}$

para la enésima potencia del número hipercomplejo 3D. A continuación, utilizan, como para el plano del conjunto de Mandelbrot, los dominios de la convergencia de las secuencias obtenidas por iteración de donde z y c son números hipercomplejos en un espacio de dimensión 3 y $z \ mapsto z ^ n + c$

z \ mapsto z ^ n

la aplicación definida anteriormente

La bombilla de Mandelb se define entonces como el conjunto de c en ℝ 3 para el cual la órbita de debajo de la iteración está acotada. Para n> 3, el resultado es una estructura tridimensional en forma de bulbo con una superficie fractal y varios "lóbulos" dependientes de n . La mayoría de las representaciones gráficas usan n = 8. Sin embargo, la ecuación se puede simplificar a polinomios racionales cuando n es impar. Por ejemplo, en el caso de n = 3, la tercera potencia se puede simplificar a una forma más elegante : ${\ Displaystyle \ langle 0,0,0 \ rangle}$ ${\ Displaystyle {\ mathbf {v}} \ mapsto {\ mathbf {v}} ^ {n} + {\ mathbf {c}}}$

{\ Displaystyle \ langle x, y, z \ rangle ^ {3} = \ left \ langle \ {\ frac {(3z ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}) x (x ^ { 2} -3y ^ {2})} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, {\ frac {(3z ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2}) y ( 3x ^ {2} -y ^ {2})} {x ^ {2} + y ^ {2}}}, z (z ^ {2} -3x ^ {2} -3y ^ {2}) \ derecha \ rangle}

Fórmula cuadrática

Otras fórmulas provienen de identidades que toman como parámetro la suma de cuadrados para dar una potencia de la suma de cuadrados como:

{\ Displaystyle (x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2}) ^ {2} + (2xz) ^ {2} + (2xy) ^ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {2}}

Puede pensar en esto como una forma de elevar al cuadrado un trío de números para que el módulo sea cuadrado. Esto da, por ejemplo:

{\ displaystyle x \ rightarrow x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} + x_ {0}}

{\ displaystyle y \ rightarrow 2xz + y_ {0}}

{\ displaystyle z \ rightarrow 2xy + z_ {0}}

u otras permutaciones variadas. Esta fórmula 'cuadrática' se puede aplicar varias veces para obtener varias fórmulas a la potencia 2.

Fórmula cúbica

Otras fórmulas provienen de identidades que toman como parámetro la suma de cuadrados para dar una potencia de la suma de cuadrados como:

{\ displaystyle (x ^ {3} -3xy ^ {2} -3xz ^ {2}) ^ {2} + (y ^ {3} -3yx ^ {2} + yz ^ {2}) ^ {2} + (z ^ {3} -3zx ^ {2} + zy ^ {2}) ^ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {3}}

Puede pensar en esto como una forma de elevar al cubo un trío de números para que el módulo sea al cubo. Esto da, por ejemplo:

{\ displaystyle x \ rightarrow x ^ {3} -3x (y ^ {2} + z ^ {2}) + x_ {0}}

u otras permutaciones, por ejemplo:

{\ Displaystyle y \ rightarrow -y ^ {3} + 3yx ^ {2} -yz ^ {2} + y_ {0}}

{\ Displaystyle z \ rightarrow z ^ {3} -3zx ^ {2} + zy ^ {2} + z_ {0}}

Esto reduce la fórmula al fractal complejo cuando z = 0 y cuando y = 0. ${\ Displaystyle w \ rightarrow w ^ {3} + w_ {0}}$ ${\ Displaystyle w \ rightarrow {\ overline {w}} ^ {3} + w_ {0}}$

Hay varias formas de combinar dos transformaciones cúbicas como estas para obtener una transformada de potencia 9 que tiene una estructura más voluminosa.

Fórmula quíntica

Otra forma de crear Mandelbulbs de simetría cúbica es tomando la fórmula de iteración compleja para un entero my sumando los términos para hacer la estructura simétrica en 3 dimensiones pero manteniendo la sección transversal con el mismo fractal bidimensional (el 4 proviene del hecho de que ) . Por ejemplo, tome el caso de . En dos dimensiones donde , es: ${\ Displaystyle z \ rightarrow z ^ {4m + 1} + z_ {0}}$ ${\ Displaystyle i ^ {4} = 1}$ ${\ Displaystyle z \ rightarrow z ^ {5} + z_ {0}}$ $z = x + iy$

{\ displaystyle x \ rightarrow x ^ {5} -10x ^ {3} y ^ {2} + 5xy ^ {4} + x_ {0}}

{\ displaystyle y \ rightarrow y ^ {5} -10y ^ {3} x ^ {2} + 5yx ^ {4} + y_ {0}}

Esto se puede extender a tres dimensiones para dar:

{\ displaystyle x \ rightarrow x ^ {5} -10x ^ {3} (y ^ {2} + Ayz + z ^ {2}) + 5x (y ^ {4} + By ^ {3} z + Cy ^ {2} z ^ {2} + Byz ^ {3} + z ^ {4}) + Dx ^ {2} yz (y + z) + x_ {0}}

{\ displaystyle y \ rightarrow y ^ {5} -10y ^ {3} (z ^ {2} + Axz + x ^ {2}) + 5y (z ^ {4} + Bz ^ {3} x + Cz ^ {2} x ^ {2} + Bzx ^ {3} + x ^ {4}) + Dy ^ {2} zx (z + x) + y_ {0}}

{\ displaystyle z \ rightarrow z ^ {5} -10z ^ {3} (x ^ {2} + Axy + y ^ {2}) + 5z (x ^ {4} + Bx ^ {3} y + Cx ^ {2} y ^ {2} + Bxy ^ {3} + y ^ {4}) + Dz ^ {2} xy (x + y) + z_ {0}}

para las constantes arbitrarias A, B, C y D (la mayor parte del tiempo ajustadas a 0) que dan diferentes Mandelbulbs. El caso de da un Mandelbulb bastante similar al primer ejemplo donde n = 9. Se obtiene un resultado más agradable para la quinta potencia basado en la fórmula fractal . ${\ displaystyle z \ rightarrow z ^ {9}}$ ${\ displaystyle z \ rightarrow -z ^ {5} + z_ {0}}$

Nueva fórmula de energía

Este fractal tiene secciones transversales del fractal de Mandelbrot de noveno poder. Tiene 32 pequeños bulbos que emergen de la esfera principal. Está definido por, por ejemplo:

{\ displaystyle x \ rightarrow x ^ {9} -36x ^ {7} (y ^ {2} + z ^ {2}) + 126x ^ ​​{5} (y ^ {2} + z ^ {2} ) ^ {2} -84x ^ {3} (y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {3} + 9x (y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {4} + x_ { 0}}

{\ displaystyle y \ rightarrow y ^ {9} -36y ^ {7} (z ^ {2} + x ^ {2}) + 126y ^ {5} (z ^ {2} + x ^ {2}) ^ {2} -84y ^ {3} (z ^ {2} + x ^ {2}) ^ {3} + 9y (z ^ {2} + x ^ {2}) ^ {4} + y_ {0} }

{\ displaystyle z \ rightarrow z ^ {9} -36z ^ {7} (x ^ {2} + y ^ {2}) + 126z ^ {5} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} -84z ^ {3} (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {3} + 9z (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {4} + z_ {0} }

Estas fórmulas se pueden escribir de una manera más sencilla:

{\ displaystyle x \ rightarrow {\ frac {1} {2}} (x + i {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}}) ^ {9} + {\ frac {1} { 2}} (xi {\ sqrt {y ^ {2} + z ^ {2}}}) ^ {9} + x_ {0}}

y también para otras coordenadas.

Fórmula esférica

Una fórmula esférica perfecta se puede definir mediante la fórmula:

{\ Displaystyle (x, y, z) \ rightarrow (f (x, y, z) + x_ {0}, g (x, y, z) + y_ {0}, h (x, y, z) + z_ {0})}

{\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}) ^ {n} = f (x, y, z) ^ {2} + g (x, y, z) ^ { 2} + h (x, y, z) ^ {2}}

donde f, gyg son n-ésimas potencias de trinomios racionales y n es un número entero. El fractal cúbico de arriba es un ejemplo.

En la cultura popular

En la película de Disney The New Heroes , el clímax emocional de la película tiene lugar en medio de un agujero de gusano , que está representado por el interior estilizado de un Mandelbulb.

Al final de la película Annihilation (2018), la forma de vida de origen extraterrestre finalmente se materializa en una forma nebulosa muy cercana a una estructura tipo Mandelbulb.

Referencias

Jos Leys, “ Mandelbulb ” , en images.math.cnrs.fr ,16 de enero de 2010(consultado el 16 de diciembre de 2017 ) .
(en) Jennifer Ouellette, " Meet the Mandelbulb " en blogs.scientificamerican .com ,8 de abril de 2013(consultado el 16 de diciembre de 2017 ) .
Fractal de Mandelbrot 3D .
(in) " Mandelbulb: The Unraveling of the Real 3D Mandelbrot Fractal " ver "fórmula".
(en) Bill Desowitz , " Inmerso en las películas: entrando en el portal de ' Big Hero 6' ' en Animation Scoop , Indiewire,30 de enero de 2015.

Ver también

enlaces externos