Juntos en ninguna parte densa

En topología , un conjunto no es denso o raro en ninguna parte si satisface las propiedades inversas del concepto de densidad . Intuitivamente, un subconjunto A de un espacio topológico X es denso en ninguna parte en X si casi ningún punto de X se puede "se acercó" por los puntos A .

Definición

Deje X un espacio topológico y A un subconjunto de X . Las cuatro propiedades siguientes son equivalentes y A se dice que es denso en ninguna parte (o rara) en X si satisface ellos:

1. el interior de la adhesión de A está vacío  ;
2. cualquier abierto de X incluido en este enlace A está vacío;
3. A no es "denso en" ningún abierto no vacío de X  ;
4. para cualquier abierto U no vacío X , existe un abierto V no vacío incluido en U y disjunta de A .

El orden en 1. es importante: es posible encontrar subconjuntos cuya (el interior de) la adhesión es X y (la adhesión de) el interior está vacío (este es el caso de l conjunto de racionales en el espacio de reales ) .

Propiedades

• Cualquier subconjunto de un conjunto denso en ninguna parte es denso en ninguna parte, y la unión de un número finito de conjuntos densos en ninguna parte es densa en ninguna parte. Por otro lado, la unión de un número contable de conjuntos densos en ninguna parte no es necesariamente densa en ninguna parte. Tal unión se llama una magra set o conjunto de primera clase.
• Si Y es abierto en X , cualquiera de las partes A a Y es denso en ninguna parte en Y (para la topología inducida ) es denso en ninguna parte en el X .De hecho, vamos a U abierto incluidos en una . Entonces (por hipótesis A ) U ∩ Y = ∅, de modo que U es disjunta de A por lo tanto también (desde que se abrió) a A . Por lo tanto, U está vacío.

Ejemplos de

• El conjunto de números enteros relativos no es denso en ninguna parte del conjunto de reales proporcionados con la topología habitual .
• El conjunto de reales cuya expansión decimal incluye solo los dígitos 0 o 1 no es denso en ninguna parte del conjunto de reales.

Medida de Lebesgue positiva

Un conjunto denso en ninguna parte no es necesariamente de medida cero (para la medida de Lebesgue ). Por ejemplo, si X es el intervalo [0,1], no solo es posible encontrar un subconjunto denso despreciable (el de números racionales proporciona un ejemplo), sino que tampoco hay subconjuntos densos en ninguna parte de medida estrictamente positiva, como el Conjunto Smith-Volterra-Cantor . También se puede encontrar un subconjunto de X primera categoría de medición de 1. Simplemente tome una tabla de reuniones de conjuntos de Cantor que midan 1 - 1 / n , n examinando todos los números enteros positivos.

Calificación y referencia

1. En los textos iniciales de René Baire , el término utilizado es el de no denso , lo que lleva a la confusión con el hecho de no ser un todo denso.

(fr) Este artículo está tomado parcial o totalmente del artículo de Wikipedia en inglés titulado "  Conjunto denso en ninguna parte  " ( consulte la lista de autores ) .

Ver también

Artículo relacionado

• Teorema de Baire
• Conjunto flaco

Enlace externo

(es) Henry Bottomley, "  Algunos conjuntos densos en ninguna parte con medida positiva  "